《橢圓的定義及其標準方程》教學設計

1、課題： 2. 1. 1橢圓的定義及其標準方程 鹿城中學 田光海 一、教案背最： 1 面向對象：高中二年級學生 2.學科：數(shù)學 3課時：2課時 4教學內容：高中新課程標準教科書數(shù)學北師大版選修1-1 第二章圓錐曲線與方程2.1.1橢圓及其標準方程 二. 教材分析 本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時，它是繼學生學習了直線和圓的方 程，對曲線和方程的概念有了一些了解，對用坐標法研究幾何問題有 了初步認識的基礎上，進一步學習用坐標法研究曲線。橢圓的學習可 以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎。因此這節(jié)課 有承前啟后的作用，是本章的重點內容之一。 1. 教法分析 結合生活經驗觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導、探究

2、合作。在學生的生活體 驗、直觀感知、知識儲備的基礎上，引導學生逐步建構概念，為學生 數(shù)學思想方法的形成打下基礎。利用多媒體課件，精心構建學生自主 探究的教學平臺，啟發(fā)引導學生觀察，想象，思考，實踐，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律、 突破學生認知上的困難，讓學生體驗問題解決的思維過程，獲得知識, 體驗成功。主要采用探究實踐、啟發(fā)與講練相結合。 2. 學法分析 從知識上看，學生已掌握了一些橢圓圖形的實物與實例，對曲線 和方程的概念有了一些了解，對用坐標法研究幾何問題有了初步的認 識。 從學生現(xiàn)有的學習能力看，通過一年多的學習，學生已具備了一 定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經驗，在一定程度上具 備了抽象、概

3、括的能力和語言轉換能力。 從學生的學習心理上看，學生頭腦中雖有一些橢圓的實物實例， 但并沒有上升為“概念”的水平，如何給橢圓以數(shù)學描述P如何“定 性” “定量”地描述橢圓是學生關注的問題，也是學習的重點問題。 他們渴望將感性認識理性化，渴望通過自己動手作圖、觀察來辨析和 完善概念，通過對比產生頓悟，渴望獲得這種學習的積極心向是學生 學好本節(jié)課的情感基礎。 3 .教學目標 知識與技能：掌握橢圓的定義；理解橢圓標準方程的推導過程， 掌握橢圓標準方程的兩種形式，會運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方 程。 過程與方法：經歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，逐步提 高學生的觀察、分析、歸納、類比、概括能力；通

4、過橢圓標準方程的 推導，進一步掌握求曲線方程的一般方一坐標法，并滲透數(shù)形結 合、等價轉化的數(shù)學思想方法。 情感態(tài)度與價值觀：通過課堂活動參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的 興趣，提高學生審美情趣，培養(yǎng)學生勇于探索的精神。 4 教學重點與難點 重點：橢圓的定義和橢圓標準方程的兩種形式 難點：橢圓的標準方程的建立和推導教學方法 5 教學準備 通過百度搜索與橢圓有關的圖片資料，利用百度搜索相關的教學 資料制作多媒體課件，自制教具：繪圖板、圖釘、細繩。 三、教學過程 教 學 環(huán) 節(jié) 教師活動 學生活動 設計意圖 情最1:用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在 引入生活 水平桌面上，截面為圓形.當端起水杯喝水時， 學生

5、觀察 情境激發(fā) 水杯傾斜，再觀察水平面，此時截面為橢圓 學生的學 形.（演示） 習欲望，自 問題1:聯(lián)想生活中還有哪些是橢圓圖形？ 然引入新 n 12 - 學生舉例 課，同時與 其實際相 1 91 聯(lián)系，拓寬 創(chuàng) 學生思維， 設 發(fā)展他們 情 聯(lián)想、類比 引 入 新 課 問題2: (1)圓是怎么畫出來的？ (2) 圓的定義是什么？ (3) 圓的標準方程是什么形式的？ 能力。 使學生在 感嘆祖國 科技輝煌 發(fā)展的氛 圍中認識 橢圓。 用類比的 思想，通過 學生思考已經學過 后回答。的圓的知 識猜想橢 圓，開展后 續(xù)教學。 猜想：1、橢圓是怎么畫出來的？ 2、橢圓的定 義是什么？ 3、橢圓的標準方

6、程又是什么形 式？ 探究1 給學生提 將圓心從一點“分裂”成兩點，給你兩個圖釘， 供一個動 一根無彈性的細繩，一張紙板，能畫出橢圓 手操作，合 嗎？ 作學習的 同桌同學 讓學生自己動手畫圖，使其探究性學習， 機會;通過 互 按照老師 再提出以下問題： 實驗讓學 動 的要求合 思考1:在紙板上作圖說明什么？ 生去探究 探 作畫圖，并 思考2：在作圖過程中，有哪些物體的位 “滿足什 究 思考軌跡 置沒變？有哪些量沒有變？ 么樣的條 上的點具 思考3:若調節(jié)兩圖釘?shù)南鄬ξ恢茫?所得 件下的點 備什么特 到的圖形有何變化？ 的集合為 點。 根據(jù)橢圓畫法，從中歸納橢圓定義一一與兩個 橢圓”;讓 形 展示

7、學生 定點的距離之和為定長（繩長）的點的軌跡為 每個人都 成 成果。請學 橢圓（繩長大于兩定點間距離） 動手畫圖， 概 生代表本 動態(tài)演示動點生成軌跡的全過程，印證猜想 自己思考 念 小組交流 問題，由此 探究結論: 培養(yǎng)學生 f 的自信 心。 互 動 探 究 深 化 概 念 探究2 在繩長不變的情況下，改變兩個圖釘之間 的距離，畫出的橢圓有何變化？ 當兩個圖釘重合在一起時，畫出的圖形是 什么？ 當兩個圖釘之間的距離等于繩長時，畫出 的圖形是什么？ 當兩個圖釘之間固定，能使繩長小于兩個 圖釘之間的距離嗎？ 定義：平面內與兩個定點碼距離的和等于常 數(shù)（大于區(qū)即）的點的軌跡叫橢圓。 教師指出：這兩

8、個定點叫橢圓的焦點，兩焦點 的距離叫橢圓的焦距。 思考1：焦點為弘瑪?shù)臋E圓上任一點M,有什 么性質？ 令橢圓上任一點M,則有 陋引+ |胚引=2a （2a 2c =虧巧D 補充：若加c時，軌跡是線段碼碼；若玄 /? 0 ) ( )叫做橢圓的標 W b 準方程。它表示焦點在x軸上，焦點坐標為 耳(一c,0),耳(c,0),其中 c2 =a2-b2 學生思考 后主動發(fā) 言回答。 厶 +占=1 (/?0 ),它也是橢圓的標準 a- b 方程。 此時，橢圓的焦點在)軸上， 焦點坐標為斥(0,c)耳(0,-c),其中c2=a2-b2 我們可以發(fā)現(xiàn)，以上兩種方案是最好的。 問：觀察一下焦點分別在X軸、y軸

9、上的橢圓 的標準方程，如何根據(jù)方程判斷其焦點在X軸 上還是在y軸上？(看分母大小,哪個分母大焦 點就在哪一條軸上) 說明： 以上三條, 盡量由學 生總結出 解曲線與 方程的關 系，感受恰 當選擇坐 標系的優(yōu) 越性，感受 標準方程 的簡潔、對 稱、和諧之 美,并在實 踐中通過 對比提高 決策能力、 計算能力、 培養(yǎng)學生 簡約的思 維能力。 培養(yǎng)學生 的觀察、分 (1)在兩個方程中，總有ab0 (2)橢圓的三個參數(shù)a、b、c滿足： 即 a2=b2+c29 a 最大 (3)要分清焦點的位置，只要看F和y2的分母的 2 ? 大小。例如橢圓+ = 1 ( m 0 , /? 0 , m n 當用“時表7K

10、焦點在X軸上的橢圓；當時 表示焦點在y軸上的橢圓。 析歸納能 力。 例1 適負理看代職懶標準方程 lr / (1) a =4, b=l,焦點在x軸 培養(yǎng)學生 例 (2) a =4, c= 用,焦點在y軸上 運用知識 題 解決問題 研 (3)兩個焦點的坐標是(0 , -2)和(0,2) 能力 討 并且經過點(-1.5 , 2.5) 解：因為焦點在x軸上，所以設所求方程為 學生獨立 T 存4名驗如0) cr 肝 完成學生 所求方程為 討論 變 (2)因為焦點在y稱圭刪設所求方程為 式 2 2 精 牙 戸+薩電(妒00) 解決情景 析 所求方程為 y2 設置中的 因為橢圓的焦點詁祇，矯以設它的標準

11、問題 方程為 由橢圓的定義知， 2“=J(-討+(|+呵+J(-|)2*i|l 劭 31 = -Vio+-Vio =2Vio 22 a = y/0c = 2_f/2 _c2 所以所求橢圓方程為 r2 v2 + = 1. 例2我國發(fā)射的神舟八尊飛胡叟軌前，是在以 地心F2為一個焦點的橢圓軌道上運行，已知它 的近地點E距地面200公里，遠地點A距地 面330公里，并且F2、A、B在同一直線上， 地球半徑約為6371km,求軌道方程(精確到 1km) o 練 習 檢 測 當 堂 1、如果橢圓君+ J = 1上一點P到焦點F】 10036 距離是6,則點P到另一個焦點F2距離 是。 2、求適合下列條件

12、的橢圓的標準方程 (1)兩個焦點坐標分別是(0, 2) , (0, -2), 橢圓經過點P(-|冷) (2)a+b=10,c=2 薦 學生練習 檢測學習 成果 鞏 固 最后進行課堂小結，先由學生小組討論，再個 學生總結 擺脫傳統(tǒng) 教學中教 師小結的 別提問，然后集體補充，最后教師才引導和完 出在知識、 做法，以表 善。師生應共冋歸納本節(jié)所學內容、知識規(guī)律 數(shù)學思想 格形式出 總 以及所學的數(shù)學思想和方法。 等方面的 現(xiàn),讓學生 結 收獲 自己總結， 概 這一節(jié)課你收獲到了什么？ 加深對本 括 布矍作業(yè) 節(jié)課內容 層次1 的認識 1教材練習A 3.4題 練習E第二題 層次1的 2.你能用直尺和圓

13、規(guī)作出橢圓上的任意一點 目的是強 課 嗎？作圖的依據(jù)是什么？根據(jù)你的作圖方法， 化鞏固本 后 能找到與之相應的方法求出橢圓方法嗎？ 節(jié)內容 提 升 層次2 層次2的 目的是激 課后利用【百度搜索】深入的對橢圓的相關知 發(fā)學生學 識進行了解。 習的興趣， 提高數(shù)學 文化品位。 六、板書設計 橢圓的標準方程 1、橢圓的定義 2、橢圓的標準方程 (1)、焦點在x軸上 (2 )、焦點在y軸上 橢圓標準方程的推導過程 書寫 例1： 例2： (1) 詳寫 (2) 寫關鍵步驟 七、教學反思 本節(jié)課整個教學過程為：提出問題探索解決問題一一歸 納反思提高。在問題的設計中，從多角度探究，縱向挖掘知識深 度，橫向加強知識間的聯(lián)系，這樣的設計不但突出了重點，更使難點 的突破水到渠成。 本節(jié)課以問題為紐帶，以探究活動為載體，學生在自覺進入問題 情境后，在問題的指引下和老師的指導下，通過實踐、探索、體驗、 反思等活動把探究活動層層展開、步步深入，親身經歷知識的產生過 程。使學生在知識的形成過程中，獲得數(shù)學的情