高等教育：函數(shù)的最大值與最小值

1、復(fù)司引入1 當(dāng)函數(shù)f(x)在X。處連續(xù)時(shí)，判別f(x)是極大(小)值的 方法是： 如果在X。附近的左側(cè)f/ (x) 0,右側(cè)f/(x)v0,那 么,f(Xo)是極夭值； 如果在X。附近的左側(cè)f/(x)v0,右側(cè)f/(x)0 ，那 么,f(x()是極小值.2 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，而不是充 分條件極值只能在函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零且在其附近左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)時(shí)取到.3 在某些問(wèn)題中，往往關(guān)心的是函數(shù)在一個(gè)定義區(qū)間上, 哪個(gè)值最大，哪個(gè)值最小，而不是極值.二.新礫一餡敎的眾值 2觀察右邊一個(gè)定義 在區(qū)間a,b上的函數(shù) y=f(x)商圖象，你能 找由函數(shù)y=f (x)在 區(qū)間a, b上的最大

2、值、最小信嗎？ 發(fā)現(xiàn)圖中 心1)、3)是極小值,“2丿是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是一 f(b),最小值 是.f(xj。*2X3b xfg)問(wèn)題在于如果在沒(méi)有給出函數(shù)圖象的情況下，怎 樣才能判斷出f(X3)是最小值，而f(b)是最大值呢？例1:求函數(shù)y=xx2+5在區(qū)間卜2,2上的最大值與最小 值.解:j, = 4x3-4xX-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y0+00+y134/5X4713令臚=0,解得Xh1,0,1當(dāng)X變化時(shí)的變化情況如下表:=|從上表可知，最大值是13,最小值是4.一般地，求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值與最小 值的步驟如下：:求y=f

3、(x)在(a, b)內(nèi)的極值(極大值與極小值);:將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、 f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最 小值.求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： EJ(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問(wèn)題,是一個(gè)局部概 念，而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言,是在整體范圍 內(nèi)討論問(wèn)題，是一個(gè)整體性的概念.(2)閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，但若有唯一的極值，則此極 值必是函數(shù)的最值.（3）函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各 有一個(gè)，而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有 極值，并且極大值（極小值）不一定就是最大值

4、（最小 值），但除端點(diǎn)外在區(qū)間內(nèi)部的最大值（或最小值），則 一定是極大值（或極小值）.（4）如果函數(shù)不在閉區(qū)間a, b上可導(dǎo)，則在確定函 數(shù)的最值時(shí)，不僅比較該函數(shù)各導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)與端 點(diǎn)處的值，還要比較函數(shù)在定義域內(nèi)各不可導(dǎo)的點(diǎn) 處的值.（5）在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只 有一個(gè)極值點(diǎn)（這樣的函數(shù)稱(chēng)為單峰函數(shù)），那么要根 據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再 與端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.2 -延伸1 :設(shè)q V 0 V1，函數(shù)/(兀)=戲-2 +b(-l xf(a),f(O) f(-1 ),f(1 )f(-1) 故需比較 f(1 )與口0)的大小.f(O)f=3a/210,所以

5、f(x)的最大值為f(O)=b,故b 又f(1 )-f(a)=(a+1 )2 (a-2)/21,0x1，故1 1/2P 所以f(x)的最小值為右，最大值為*I從而函數(shù)f(x)的值域?yàn)檎?1練習(xí)1:求函f(x)=2x3+3x2-12x+14在區(qū)間卜3,4上的最 大值和最小值.答案:最大值為f=142,最小值為f=7練習(xí)2:求函數(shù)f(x)=p2x2(1 -x)P(p是正數(shù))在0,1 上的最 大值.解：fr(x) = p2x(l- x)p_12- (2 + p)x.2令/=0,解得兀1 = 0,兀2 =1,兀3 = 2 + p，在0,1 上，有 f(O)=O,f(1 )=0, /(缶)=4(乙嚴(yán)，故

6、所求最大值是4(乜-)2+2 + p叫實(shí)徐疝用1 實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.在日常生活、生產(chǎn)和科研中，常常會(huì)遇到求函數(shù)的 最大（?。┲档膯?wèn)題建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法 求最值是求解這類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)的解題思路.在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，一定要注意確定函數(shù)的定義域 在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使r=o的情形，如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大（小）值,那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最大（小）值. 這里所說(shuō)的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間.滿(mǎn)足上述情況的函數(shù)我們稱(chēng)之為“單峰函數(shù)”.60H圖 3-13xHX例1:在邊長(zhǎng)為60cm的正 方形鐵皮的四角切去相等 的正方形，再把它的邊沿虛 線折起（如圖），做成一個(gè)無(wú)

7、 蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為 多少時(shí)，箱子的容積最大?最大容積是多少?解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為X,則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60)-令 Vz(x) = 60x-3x2 = 0 廨得 x=0(舍去),x=40 且 V(40)=16000. 2由題意可知，當(dāng)x過(guò)?。ń咏?）或過(guò)大（接近60）時(shí)，箱子 的容積很小，因此,16000是最大值.答:當(dāng)x=40c m時(shí)，箱子容積最尢最大容積是16000cm3-類(lèi)題:圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省?解:設(shè)圓柱的高為h,底半徑為則表面積S=2iTrh+27Tr2 由 V

8、=TTr2h,得 h =厶，貝 0V 妙 2 2V。2 S(r) = +2購(gòu)= 2加V2龍7ZT/令S3二-牛+ 4加二0,解得心區(qū),從而產(chǎn)r，即h=2r由于S(r)只有一個(gè)極值，所以它是最小值 答:當(dāng)罐的高與底半徑相等時(shí)，所用的材料最省例2:如圖，鐵路線上AB段長(zhǎng) 100km，工廠C到鐵路的 距離CA=20km.現(xiàn)在要 在AB上某一處D,向C修 一條公路已知鐵路每噸 千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5 為了使原料 從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,D應(yīng)修在何處？解哼 DA=xkm,那么 DB=(100x)km,CD=7i西二 V400+x2km.又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元，則公路上每噸

9、千 米的運(yùn)費(fèi)為5t元這樣，每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠 C的總運(yùn)費(fèi)為y = 5t CD + 3t BD = 5V400+x2 + 3(100-x)(0 x 100)令臚(祈盞于-3) = 0,在0SV100的范圍內(nèi)有 唯一解 x=*l 5.所以，當(dāng)x=15(km),即D點(diǎn)選在距A點(diǎn)15千米時(shí)，總運(yùn) 費(fèi)最省.注河以進(jìn)一步討論，當(dāng)AB的距離大于15千米時(shí)，要找的 最優(yōu)點(diǎn)總在距A點(diǎn)15千米的D點(diǎn)處;AB之間的距離 不超過(guò)15千米時(shí)，所選D點(diǎn)與B點(diǎn)重合.練習(xí):已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求內(nèi)接于這個(gè)圓 錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn)答:設(shè)圓柱底面半徑為r,可得r=R(H-h)/H.易得當(dāng)h=H/3

10、時(shí)，圓柱體的體積最大.2 與數(shù)學(xué)中其它分支的結(jié)合與應(yīng)用.例1:如圖，在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與X軸麻圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD,求這 個(gè)矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0vXv2),則 A(x, 4x-x2).y /aZd從而|AB|= 4xx2,|BC|=2(2-x)故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x0） X 23證:設(shè)/（x）= lnx +丄一 （兀_1）2 + f（兀一 1）（兀 0）x 23貝=丄一 4一（兀一1） + 2（1）2=匕一1）3.1,X XX令/(兀)=0，結(jié)合X0得X=1而 Ovxvl 時(shí) 5/f(x

11、)1 時(shí) f 0,所以 x=1 是 f(x)的 極小值點(diǎn).所以當(dāng)x=1時(shí),f(x)取最小值f(1 )=1從而當(dāng)X0時(shí),f(X)恒成立，即：In兀+ ： - (兀-1)2 l + |(l-x)3 成立.五、小結(jié)*1 求在a,b上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在a,b上的 最值的步驟：求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè) 是最大值，最小的一個(gè)是最小值.2 求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1 )要正確區(qū)分極值與最值這兩個(gè)概念.(2)在a,b上連續(xù),(a,b)上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)未 必肴最大值E最小眉.(3)旦給出的函數(shù)在(a,b)上有個(gè)別不可導(dǎo)點(diǎn)的話，不 要忘記在步驟(2)中，要把這些點(diǎn)的函數(shù)值與各極值 和f(a)、f(b)放在一起比較.3 應(yīng)用問(wèn)題要引起重視.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在求函數(shù)的