計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)第二章[課堂課資]

1、第二章第二章 功能原理功能原理 計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué) 1章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 1、靜力法推導(dǎo)桁式單元的單元?jiǎng)偠染仃囈演^為麻煩，復(fù)雜、靜力法推導(dǎo)桁式單元的單元?jiǎng)偠染仃囈演^為麻煩，復(fù)雜 單元就更為困難只能求助于功能原理。單元就更為困難只能求助于功能原理。 2、靜力法推導(dǎo)結(jié)構(gòu)剛度矩陣也很困難，由功能原理可推導(dǎo)、靜力法推導(dǎo)結(jié)構(gòu)剛度矩陣也很困難，由功能原理可推導(dǎo) 出組裝結(jié)構(gòu)剛度矩陣的直接剛度法。出組裝結(jié)構(gòu)剛度矩陣的直接剛度法。 3、處理單元荷載。、處理單元荷載。 4、由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，用靜力法往往較為困難，求助、由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，用靜力法往往較為困難，求助 于功能原理可

2、以求得各種問(wèn)題的精確解或近似解。于功能原理可以求得各種問(wèn)題的精確解或近似解。 5、了解功能原理和力學(xué)上的平衡原理、了解功能原理和力學(xué)上的平衡原理(或變形協(xié)調(diào)原理或變形協(xié)調(diào)原理)的的 等價(jià)性。等價(jià)性。 2-1 2-1 概述概述: :學(xué)習(xí)功能原理的目的學(xué)習(xí)功能原理的目的 一、基本知識(shí)一、基本知識(shí) 2章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 1、靜力加載、靜力加載(比例加載比例加載)。 2、應(yīng)變能：彈性體因受外力作用變形而具有恢復(fù)原狀態(tài)、應(yīng)變能：彈性體因受外力作用變形而具有恢復(fù)原狀態(tài) 的能力，即具有做功的能力，又稱為的能力，即具有做功的能力，又稱為形變勢(shì)能形變勢(shì)能。 3、功能方程、功能方程(前提：

3、靜力加載；無(wú)耗散功前提：靜力加載；無(wú)耗散功Q=0)：在：在 微小的微小的t 內(nèi)，荷載在結(jié)構(gòu)位移上所作的功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變內(nèi)，荷載在結(jié)構(gòu)位移上所作的功全部轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變 能：能：W=U。 4、總勢(shì)能：結(jié)構(gòu)的形變勢(shì)能、總勢(shì)能：結(jié)構(gòu)的形變勢(shì)能+荷載勢(shì)能荷載勢(shì)能 =U+V 二、先修有關(guān)概念二、先修有關(guān)概念 3章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 1、虛位移：為約束所允許的，在平衡附近的，、虛位移：為約束所允許的，在平衡附近的， 可任意虛設(shè)的微小位移。所謂可任意虛設(shè)的微小位移。所謂虛虛，并非指不存在，并非指不存在， 而是指與實(shí)際的力態(tài)獨(dú)立無(wú)關(guān)。而是指與實(shí)際的力態(tài)獨(dú)立無(wú)關(guān)。 2、理想約束：實(shí)際力態(tài)的約束力

4、在虛設(shè)的位移、理想約束：實(shí)際力態(tài)的約束力在虛設(shè)的位移 態(tài)上所做的功恒等于零的那種約束。態(tài)上所做的功恒等于零的那種約束。 3、虛功、虛功 W*=F u* (1) 虛功并非不存在，只是強(qiáng)調(diào)功的兩要素獨(dú)立無(wú)虛功并非不存在，只是強(qiáng)調(diào)功的兩要素獨(dú)立無(wú) 關(guān)。關(guān)。 2-2 2-2 虛位移原理虛位移原理 一、幾個(gè)概念一、幾個(gè)概念 4章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 4、虛應(yīng)變能、虛應(yīng)變能(內(nèi)力虛功、虛變形能、虛變形功內(nèi)力虛功、虛變形能、虛變形功)。 式中：式中： ：力：力F所引起的應(yīng)力所引起的應(yīng)力(力態(tài)力態(tài))； *：虛位移：虛位移u* 所引起的虛應(yīng)變所引起的虛應(yīng)變(虛設(shè)的位虛設(shè)的位 移態(tài)移態(tài))。 *

5、 V UdV (2) 5章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 虛位移原理的敘述：彈性結(jié)構(gòu)處于平衡狀虛位移原理的敘述：彈性結(jié)構(gòu)處于平衡狀 態(tài)的必要與充分條件是對(duì)于任意微小的態(tài)的必要與充分條件是對(duì)于任意微小的虛位移，虛位移， 外力所作的虛功外力所作的虛功W*等于虛變形功等于虛變形功U* ( (虛應(yīng)變虛應(yīng)變 能，內(nèi)力虛功能，內(nèi)力虛功) )。 研究對(duì)象：實(shí)際的力態(tài)。研究對(duì)象：實(shí)際的力態(tài)。 虛虛 設(shè)：位移態(tài)設(shè)：位移態(tài)(滿足變形協(xié)調(diào)條件滿足變形協(xié)調(diào)條件)。 于是，虛功原理可表述為：于是，虛功原理可表述為： 體系平衡體系平衡 W*=U* (3) 其中其中：在虛設(shè)的任一幾何可能的位移態(tài)上。：在虛設(shè)的任一

6、幾何可能的位移態(tài)上。 二、虛位移原理及其證明二、虛位移原理及其證明 6章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 證明：證明： 以最簡(jiǎn)單的桿件結(jié)構(gòu)為例，如圖：以最簡(jiǎn)單的桿件結(jié)構(gòu)為例，如圖： 桿端力：結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力。桿端力：結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力。 結(jié)點(diǎn)力：桿端對(duì)結(jié)點(diǎn)的作用力稱為結(jié)點(diǎn)力：桿端對(duì)結(jié)點(diǎn)的作用力稱為 結(jié)點(diǎn)力。結(jié)點(diǎn)力。 桿端力和結(jié)點(diǎn)力是作用力和反作用桿端力和結(jié)點(diǎn)力是作用力和反作用 力。力。 對(duì)結(jié)點(diǎn)對(duì)結(jié)點(diǎn)1，由平衡條件，由平衡條件 X=0:P1-F12=0 對(duì)結(jié)點(diǎn)對(duì)結(jié)點(diǎn)2，由平衡條件，由平衡條件 X=0:P2-F21-F23=0 1 2 123 , P1 2 EA1 EA2 1 P1F12

7、 F12 12F21 2 P2F21F23 F232 * 1 u * 2 u (4) 7章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 外力虛功為：外力虛功為： 式中：式中： 表示微小，表示微小，* 表示虛設(shè)。表示虛設(shè)。 虛應(yīng)變能為：虛應(yīng)變能為： * 1122 WPuPu 23 * 12 23 * 12 * 212121232 * 121212232 ()0() UNdxNdx NduNdu FuFuFu FuFuFu 8章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) * * 1122121212232 * 1121221232 * ()() (4) WU WUP uP uFuFuFu PFuPFFu

8、 WU 證證必必要要性性：體體系系平平衡衡 式式的的平平衡衡方方程程成成立立 必必要要性性得得證證 * * 1121221232 * 12 112 22123 ()()0 0 0 4 WU WUPFuPFFu uu PF PFF 證證充充分分性性：體體系系平平衡衡 又又、可可任任意意假假設(shè)設(shè)，且且不不全全為為零零，故故要要上上式式成成立立，必必須須有有 因因上上式式即即為為平平衡衡方方程程（ ）式式，故故充充分分性性得得證證。 注意注意: :雖然是就上述特雖然是就上述特 殊情況進(jìn)行的證明，殊情況進(jìn)行的證明， 但可推廣到其它的受但可推廣到其它的受 力狀態(tài)及由若干個(gè)單力狀態(tài)及由若干個(gè)單 元所組成的

9、彈性結(jié)構(gòu)。元所組成的彈性結(jié)構(gòu)。 9章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 關(guān)于虛位移原理的討論：關(guān)于虛位移原理的討論： 1、仍然是一個(gè)、仍然是一個(gè)(虛功虛功)體系，兩個(gè)狀態(tài)；體系，兩個(gè)狀態(tài)； 2、力態(tài)靜力可能的證明，建立在位移態(tài)、力態(tài)靜力可能的證明，建立在位移態(tài)(虛設(shè)虛設(shè)) 的幾何可能上；的幾何可能上； 3、若力態(tài)轉(zhuǎn)換成位移表達(dá)式，則要求力態(tài)變、若力態(tài)轉(zhuǎn)換成位移表達(dá)式，則要求力態(tài)變 形協(xié)調(diào)；形協(xié)調(diào)； 4、力態(tài)和虛設(shè)的位移態(tài)一定是獨(dú)立無(wú)關(guān)。、力態(tài)和虛設(shè)的位移態(tài)一定是獨(dú)立無(wú)關(guān)。 10章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 2-3 虛應(yīng)變能與外力虛功虛應(yīng)變能與外力虛功 利用虛位移原理于具體問(wèn)

10、題時(shí)，必須利用虛位移原理于具體問(wèn)題時(shí)，必須 列出虛應(yīng)變能列出虛應(yīng)變能U*和各種荷載的外虛功和各種荷載的外虛功W*， 本節(jié)以平面桿系為例，具體介紹本節(jié)以平面桿系為例，具體介紹虛位移、虛位移、 虛應(yīng)變、虛應(yīng)變能、外力虛功虛應(yīng)變、虛應(yīng)變能、外力虛功的概念及表的概念及表 達(dá)式。達(dá)式。 一、虛應(yīng)變能一、虛應(yīng)變能 11章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 這里，這里，“*”表示表示“虛設(shè)虛設(shè)”，為一階變分算子，為一階變分算子，“” 與與“d”的運(yùn)算規(guī)律相同，意義類似，的運(yùn)算規(guī)律相同，意義類似，亦可看成是亦可看成是“微微 小小”。 3 3、虛應(yīng)變能、虛應(yīng)變能( (內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功) ) 1 1、虛位移

11、、虛位移2 2、虛應(yīng)變、虛應(yīng)變 忽略剪切應(yīng)變忽略剪切應(yīng)變 * * zz dv dx * * * z u v (5) * * * * 2* 2 x z du dx dv dx (6) 12章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 1）、軸向拉壓）、軸向拉壓 實(shí)際的力態(tài)實(shí)際的力態(tài)x；虛設(shè)的位移態(tài)；虛設(shè)的位移態(tài)u*，所引起，所引起 的虛應(yīng)變?yōu)榈奶搼?yīng)變?yōu)?* * * * 0 () () x l xx l d u dx d udu UAdxEAdx dxdx (7) 13章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 2）、彎曲）、彎曲 實(shí)際的力態(tài)實(shí)際的力態(tài)Mz；虛設(shè)的位移態(tài)；虛設(shè)的位移態(tài) * * ()

12、, zz dv v dx 、且 2*2 * 22 0 () () l zz l dvd v UMdxEIdx dxdx 則則 (8) 14章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 對(duì)于三維應(yīng)力狀態(tài)。設(shè)實(shí)際的力態(tài)為：對(duì)于三維應(yīng)力狀態(tài)。設(shè)實(shí)際的力態(tài)為： 虛設(shè)的位移態(tài)為：虛設(shè)的位移態(tài)為： 則虛應(yīng)變能為則虛應(yīng)變能為: 對(duì)于僅考慮拉壓、彎曲的桿件，由小變形假設(shè)，對(duì)于僅考慮拉壓、彎曲的桿件，由小變形假設(shè)， 故可分開表示為：故可分開表示為： * xyzxyyzzx T yzxyyzzx x x * () T x V Udv (9) 15章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 與前述單獨(dú)變形的結(jié)果一致。

13、與前述單獨(dú)變形的結(jié)果一致。 * * *22 * 22 0 22 *2 22 0 () () ( )() ( )() () ()()* ()() ( ()() ( Vxx VxxVxxV l xx VV l UdV dVdVydV ddddudd v u EAdxvy Ey dVr GrdV dxdxdxdxdxdx dddudd v u EAdxv Ey dAdx dxdxdxdx 總 總 彎彎扭 扭軸軸 * 2 0 22 * 22 00 ) () ()()( l xx AlA lll xx zp d Gr dAdx dxdx ddddudd v u EAdxv EIdxGJdx dxdxdx

14、dxdxdx 16章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 1、集中荷載情況、集中荷載情況 實(shí)際的力態(tài)實(shí)際的力態(tài)Pi 虛設(shè)的位移態(tài)虛設(shè)的位移態(tài) 則則 2、分布荷載情況、分布荷載情況 實(shí)際的力態(tài)實(shí)際的力態(tài)q(x) 虛設(shè)的位移態(tài)虛設(shè)的位移態(tài) 則則 3、既有、既有1又有又有2的情況，則的情況，則W*為為1與與2之和。之和。 * * 1 i n ii i WP * * ( ) () l x Wqdx (10) (11) 二、外力虛功二、外力虛功 17章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 2-4 虛位移原理的應(yīng)用虛位移原理的應(yīng)用 應(yīng)熟練了解運(yùn)用虛位移原理的前提條件。應(yīng)熟練了解運(yùn)用虛位移原理的前提

15、條件。 虛位移原理的研究對(duì)象是實(shí)際的力態(tài)，虛位移原理的研究對(duì)象是實(shí)際的力態(tài)， 實(shí)際力態(tài)的平衡關(guān)系以及實(shí)際力態(tài)中力與位實(shí)際力態(tài)的平衡關(guān)系以及實(shí)際力態(tài)中力與位 移之間的關(guān)系。為此，移之間的關(guān)系。為此，需任意虛設(shè)一位移態(tài)，需任意虛設(shè)一位移態(tài)， 此位移態(tài)一定要幾何可能。此位移態(tài)一定要幾何可能。 18章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 桿件位移態(tài)的幾何可能條件桿件位移態(tài)的幾何可能條件 * * 12 * * 12 * * 12 2* * 1 2 * * () ,(0),( ) () ,(0),( ) () ;(0),( ) () ,(0),( ) () x x xxxx z zzzzz zz du

16、 uuu lu dx d l dx dv vvv lv dx dv l dx dv dx 對(duì)對(duì)軸軸向向變變形形桿桿件件： 對(duì)對(duì)受受扭扭桿桿件件： 對(duì)對(duì)受受彎彎桿桿件件： 且且虛虛剪剪應(yīng)應(yīng)彎彎 * 0(Euler梁梁) ) 19章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 主要應(yīng)用：主要應(yīng)用： 1、推導(dǎo)各類單元的剛度矩陣，將在后面章節(jié)、推導(dǎo)各類單元的剛度矩陣，將在后面章節(jié) 重點(diǎn)介紹；重點(diǎn)介紹； 2、求結(jié)構(gòu)內(nèi)力與位移，注意方法過(guò)程，詳請(qǐng)、求結(jié)構(gòu)內(nèi)力與位移，注意方法過(guò)程，詳請(qǐng) 參考結(jié)構(gòu)力學(xué)教程，運(yùn)用中應(yīng)特別注意參考結(jié)構(gòu)力學(xué)教程，運(yùn)用中應(yīng)特別注意u*、 v* 為任意虛設(shè)的位移，為任意虛設(shè)的位移，u、v為

17、實(shí)際的位移，兩種為實(shí)際的位移，兩種 位移應(yīng)獨(dú)立無(wú)關(guān)。位移應(yīng)獨(dú)立無(wú)關(guān)。 20章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 式中式中h2i稱為轉(zhuǎn)移系數(shù)，稱為轉(zhuǎn)移系數(shù)， 具體可求出。現(xiàn)求：僅當(dāng)具體可求出?，F(xiàn)求：僅當(dāng) 發(fā)生變形發(fā)生變形e2時(shí)，求相應(yīng)時(shí)，求相應(yīng) 的的i(如圖如圖)。 為此，可虛設(shè)此位移為此，可虛設(shè)此位移 態(tài)，則力態(tài)的外力在此位態(tài)，則力態(tài)的外力在此位 移態(tài)上的外力虛功為：移態(tài)上的外力虛功為： W*=Pii 虛位移原理應(yīng)用舉例虛位移原理應(yīng)用舉例 設(shè)僅有設(shè)僅有Pi=1時(shí)，在單元中引起的內(nèi)力的時(shí)，在單元中引起的內(nèi)力的h2i；則由；則由 于為線性結(jié)構(gòu)，當(dāng)為于為線性結(jié)構(gòu)，當(dāng)為Pi時(shí)，時(shí)， 中內(nèi)力為中內(nèi)

18、力為 F2=h2iPi (12) 1 7 6 5 2 3 4 1 2 i i+1 P( ) n ii P( ) nn P ( ) n+1n+1 21 5 i 1 i 7 6 2 3 4 圖 2.2 e2 nn 1 i+1 21章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 虛變形功為：虛變形功為： U*=F2e2=h2iPie2 由虛位移原理由虛位移原理 W*=U* 便有便有 Pii=h2iPie2 最后得最后得 i=h2ie2 (13) 這就是應(yīng)用虛位移原理的實(shí)例。這就是應(yīng)用虛位移原理的實(shí)例。 22章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 即當(dāng)單元有單位變形時(shí)，未知量即當(dāng)單元有單位變形時(shí)，未知

19、量i方向方向 上的位移亦為上的位移亦為h2i，因此可說(shuō)系數(shù)，因此可說(shuō)系數(shù)h2i是把是把Pi“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 移移”為中內(nèi)力為中內(nèi)力F2的系數(shù)，或者說(shuō)是把單元的系數(shù)，或者說(shuō)是把單元 的變形的變形“轉(zhuǎn)移轉(zhuǎn)移”為為i方向位移的系數(shù)。這是方向位移的系數(shù)。這是 很重要的概念很重要的概念 (逆步變換的概念逆步變換的概念)，反映了結(jié)，反映了結(jié) 構(gòu)本身的屬性。構(gòu)本身的屬性。 23章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 力和位移、應(yīng)力和應(yīng)變均稱為結(jié)構(gòu)分析力和位移、應(yīng)力和應(yīng)變均稱為結(jié)構(gòu)分析 中的中的對(duì)偶參數(shù)對(duì)偶參數(shù)，本節(jié)主要完善，本節(jié)主要完善虛功的對(duì)偶性虛功的對(duì)偶性 原理原理。 介紹虛力原理的目的：介紹虛力原理的目的：

20、 導(dǎo)出柔度矩陣，作為在特殊情況下推導(dǎo)導(dǎo)出柔度矩陣，作為在特殊情況下推導(dǎo) 剛度矩陣的補(bǔ)充，其它應(yīng)用情況暫略。剛度矩陣的補(bǔ)充，其它應(yīng)用情況暫略。 研究對(duì)象：實(shí)際的位移態(tài)。研究對(duì)象：實(shí)際的位移態(tài)。 虛設(shè)狀態(tài)：任一靜力可能的力態(tài)。虛設(shè)狀態(tài)：任一靜力可能的力態(tài)。 2-5 2-5 虛力原理簡(jiǎn)介虛力原理簡(jiǎn)介 24章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 與外力虛功對(duì)應(yīng)的是虛余功：與外力虛功對(duì)應(yīng)的是虛余功： (1) 與虛應(yīng)變能對(duì)應(yīng)的是虛應(yīng)變余能：與虛應(yīng)變能對(duì)應(yīng)的是虛應(yīng)變余能： (2) * 1 * T cc V c V UdV EdV * c WF 25章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 彈性結(jié)構(gòu)處于

21、變形協(xié)調(diào)狀態(tài)的必要與彈性結(jié)構(gòu)處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)的必要與 充分條件是：對(duì)于平衡的任意虛力系在結(jié)充分條件是：對(duì)于平衡的任意虛力系在結(jié) 構(gòu)實(shí)際位移上所作的虛余功等其虛應(yīng)變余構(gòu)實(shí)際位移上所作的虛余功等其虛應(yīng)變余 能。即：能。即： (3) 其中其中：在任一靜力可能的虛力態(tài)上。：在任一靜力可能的虛力態(tài)上。 * cc WU 體系變形協(xié)調(diào) 虛力原理虛力原理 26章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 2-6 2-6 能量原理能量原理 介紹結(jié)構(gòu)在外力和在該外力所引起的位介紹結(jié)構(gòu)在外力和在該外力所引起的位 移及變形上的功能情況。移及變形上的功能情況。 主要內(nèi)容包括主要內(nèi)容包括 ：結(jié)構(gòu)總勢(shì)能，勢(shì)能駐值原理：結(jié)構(gòu)總

22、勢(shì)能，勢(shì)能駐值原理 和勢(shì)能極小原理。和勢(shì)能極小原理。 1、結(jié)構(gòu)總勢(shì)能的定義、結(jié)構(gòu)總勢(shì)能的定義 以桿件為例以桿件為例=U+V=U-W(1) 27章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 可知可知W是位移的二次函數(shù)；由于應(yīng)變和位移是位移的二次函數(shù)；由于應(yīng)變和位移 是線性關(guān)系，故是線性關(guān)系，故U亦是位移的二次函數(shù)。亦是位移的二次函數(shù)。 （2） （3） （4） 0 00 2 : : 1 :()() 2 11 22 l ii VVV VVWqdxP UdUdE d UdUdvdvEdv 其其中中 外外力力勢(shì)勢(shì)能能 外外力力 勢(shì)勢(shì) 能能線線彈彈性性 28章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 1 1

23、 2. (), . 0(5) (6) (),(5), 0(1,2, )(7) in in i in 勢(shì)勢(shì)能能駐駐值值原原理理平平衡衡條條件件虛虛位位移移原原理理 在在彈彈性性結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu) 線線性性或或非非線線性性 的的一一切切可可能能位位移移中中 真真實(shí)實(shí)位位 移移總總是是使使勢(shì)勢(shì)能能取取駐駐值值 即即 證證明明見見結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)力力學(xué)學(xué)教教程程。 鑒鑒于于虛虛位位移移 可可能能位位移移 的的任任意意性性 要要使使式式成成立立 就就應(yīng)應(yīng)有有 29章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 3、勢(shì)能極小原理、勢(shì)能極小原理 即：對(duì)于穩(wěn)定平衡，真實(shí)位移總是使即：對(duì)于穩(wěn)定平衡，真實(shí)位移總是使取極小值。取極小值。

24、(證明證明 參見結(jié)構(gòu)力學(xué)教程參見結(jié)構(gòu)力學(xué)教程) P1P2P3P4 3 :. : ()(8) ,0(9) (10) i ii i i UVUP U P U P 例例 推推導(dǎo)導(dǎo)材材料料力力學(xué)學(xué)中中的的卡卡氏氏定定理理 解解 結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)總總勢(shì)勢(shì)能能為為 適適用用所所有有彈彈性性結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu) 當(dāng)當(dāng)平平衡衡時(shí)時(shí) 有有 30章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 22 . , ()(11) : (12) . ,0, 0(13) iijj i ijji ijji i U PKi UU KK P 卡卡氏氏第第一一定定理理可可運(yùn)運(yùn)用用于于線線彈彈性性和和非非線線彈彈性性材材料料 對(duì)對(duì)于于線線彈彈性性結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)由由于

25、于 剛剛陣陣第第 列列 再再求求導(dǎo)導(dǎo) 這這就就證證明明了了剛剛度度矩矩陣陣的的對(duì)對(duì)稱稱性性 對(duì)對(duì)于于線線性性結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)當(dāng)當(dāng)取取力力為為求求知知量量時(shí)時(shí)由由于于 亦亦可可推推得得 31章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 2 :0 :()(14) , ()(15) (16) . i i i i iijj i ijji ij U P V P U Pi P U P P 亦亦有有 亦亦即即卡卡二二定定理理 卡卡二二定定理理只只適適用用于于線線性性結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu) 并并由由于于 柔柔陣陣第第 列列 再再求求導(dǎo)導(dǎo)便便得得 證證明明了了柔柔度度系系數(shù)數(shù)的的對(duì)對(duì)稱稱性性 32章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 2-7 2-7 互等定理互等定理 1、功的互等定理、功的互等定理 當(dāng)結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)時(shí)，力當(dāng)結(jié)構(gòu)處于線彈性狀態(tài)時(shí)，力P1在由在由P2 所引起的位移上所作的虛功等于力所引起的位移上所作的虛功等于力P2在由力在由力P1 所引起的位移上所作的虛功，即所引起的位移上所作的虛功，即 P1T2=P2T1(1) P1 1 P2 2 圖 2.4 33章節(jié)內(nèi)容 首頁(yè)首頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè) 121212 1 21 2