第15章時間序列回歸

1、1 本章我們討論分析時間序列數據（檢驗序列相關性，估 計arma模型，使用分布滯后，非平穩(wěn)時間序列的單位根檢 驗）的單方程回歸方法。 2 時間序列回歸中的一個普遍現象是：殘差和它自己的滯后值相關。這種 序列相關性違背了回歸理論的標準假設：不同時點的擾動項互不相關。與序 列相關相聯系的主要問題有： 在線性估計中ols不再是有效的； 使用ols公式計算出的標準差不正確； 如果在方程右邊有滯后因變量，ols估計是有偏的且不一致。 eviews提供了檢測序列相關和估計方法的工具。但首先必須排除虛假序 列相關。虛假序列相關是指模型的序列相關是由于省略了顯著的解釋變量而 引起的。例如，在生產函數模型中，如

2、果省略了資本這個重要的解釋變量， 資本對產出的影響就被歸入隨機誤差項。由于資本在時間上的連續(xù)性，以及 對產出影響的連續(xù)性，必然導致隨機誤差項的序列相關。所以在這種情況下， 要把顯著的變量引入到解釋變量中。 3 如果隨機過程 的均值和方 差、自協方差都不取決于 t，則稱 y t 是協方差平穩(wěn)的或弱平穩(wěn)的： , 12101 ttt yyyyyyy )( t ye 2 )( t yvar 對所有的 t 對所有的 t 對所有的 t 和 s 注意，如果一個隨機過程是弱平穩(wěn)的，則y t與y t- s之間的協方差僅取決 于s ，即僅與觀測值之間的間隔長度s有關，而與時期t 無關。一般所說的 “平穩(wěn)性”含義就

3、是上述的弱平穩(wěn)定義。給定一個樣本值為t 的時間序列可 以看作是隨機過程 y t 的一個實現，仍記為 。 , 21tt yyyy sstt yye )( 4 一般地，我們考慮如下形式： ttt uxy ttt zu 1 是在t時刻的解釋變量向量； 是前期已知變量向量； 是參數向量； 是殘差； 是殘差的擾動項； 可能包含 的滯后值或 的滯后值。 是無條件殘差,它是基于結構成分 的殘差，但它不使用 中包 含的信息。 是一步預測誤差，它是因變量真實值和以解釋變量以及以前預測誤 差為基礎的預測值之差。 t x 1t z, t u 1t z ),( t x t u t t t u 1t z t 5 最簡單

4、且最常用的序列相關模型是一階自回歸ar(1)模型。定義如下： ttt uxy ttt uu 1 參數 是一階序列相關系數，實際上，ar(1)模型是將以前觀測值的殘差 包含到現觀測值的回歸模型中。 更為一般，帶有p階自回歸的模型，ar(p)誤差由下式給出： ttt uxy tptpttt uuuu 2211 ar(p)的自相關將漸漸衰減至零，同時高于p階的偏自相關也是零。 6 在使用估計方程進行統計推斷（如假設檢驗和預測）之前，一般應檢驗 殘差（序列相關的證據），eviews提供了幾種方法來檢驗當前序列相關。 eviews將d-w統計量視為標準回歸輸出的一部分。 還可估算回歸模型鄰近殘差的線性

5、聯系。d-w統計量是在下面定義中檢驗原假設: 0 ttt uu 1 如果序列不相關，d-w值在2附近。如果存在正序列相關，d-w值將小于 2（最小為0），如果存在負序列相關，d-w值將在2 - 4之間。 正序列相關最為普遍，根據經驗，對于有大于50個數據和較少的解釋變 量，d-w值小于1.5的情況，說明存在強正一階序列相關。參考johnston and dinardo（1997版6.6.1章）關于d-w檢驗和統計量顯著性的論述。 7 1d-w統計量的擾動項在原假設下依賴于數據矩陣x。 2回歸方程右邊如果存在滯后因變量，d-w檢驗不再有效。 3僅僅檢驗原假設（無序列相關）與備選假設（一階序列相關

6、）。 其他兩種檢驗序列相關方法：q-統計量和breush-godfrey lm檢驗克 服了上述不足，應用于大多數場合。 例子：工作文件15_1eq_cs 8 在方程工具欄選擇view/residual tests/correlogram-q-statistics 。 eviews將顯示殘差的自相關和偏自相關函數以及對應于高階序列相關的 ljung-box q統計量。如果殘差不存在序列相關，在各階滯后的自相關和 偏自相關值都接近于零。所有的q-統計量不顯著，并且有大的p值。 k 階滯后的。計算 式如下 k j j lb jt r ttq 1 2 2 是 j 階自相關系數，t是觀測值的個數。 j

7、r 9 下面是這些檢驗程序應用的例子，考慮用普通最小二乘估計的簡單消費 函數的結果： 10 瀏覽這些結果：系數在統計上是很顯著的，并且擬合得很好。但是，如果 誤差項是序列相關的，那么估計ols標準誤差將是無效的，并且估計系數由于 在方程右端有滯后因變量會發(fā)生偏倚和不一致。在這種情況下d-w統計量作為 序列相關的檢驗是不合適的，因為在方程右端存在著一個滯后因變量。選擇 view/residual test/correlogram-q-statistice會產生如下情況 11 選擇view/residual tests/serial correlation lm test，一般地 對高階的，含有a

8、rma誤差項的情況執(zhí)行breush-godfrey lm （lagrange multiplier，拉格朗日乘數檢驗）。在滯后定義對話 框，輸入要檢驗序列的最高階數。 eviews將給出兩個統計量：f統計量和nr2（觀測值個數乘 以r2），nr2在原假設下服從 分布。f統計量分布未知，但常 用來對原假設進行非正規(guī)檢驗。 2 12 上一例子中相關圖在滯后值3時出現峰值。q統計量在各階滯后值中都 具有顯著性，它顯示的是殘差中的顯著序列相關。 進行序列相關的lm檢驗，選擇view/residual tests/serial correlation lm test，輸入滯后2產生如下結果： 此檢驗拒絕

9、直至2階的無序列相關的假設。q-統計和lm檢驗都表明： 殘差是序列相關的，并且方程在被用于假設檢驗和預測之前應該重新定 義。 13 在使用本章描述的工具之前，可以首先檢驗模型其他方面的錯誤。誤差存 在序列相關是模型定義存在的嚴重問題。特別地，應注意使用ols得出的過分 限制的定義。有時，在回歸方程中添加不應被排除的變量會消除序列相關。 在eviews中估計一個ar(1)模型，選擇quick/estimate equation打開一個方 程，用列表法輸入方程后，最后將ar(1)項加到列表中。例如：估計一個帶有 ar(1)誤差的簡單消費函數 ttt uu 1 應定義方程為： cs c gdp cs

10、(-1) ar(1)。例子：工作文件15_1eq_cs_ar1 tttt ucscgdpcccs 1321 cst = -22.35 + 0.0924 * gdpt + 0.874 * cst-1 ut = 0.2789 * ut-1 14 估計高階ar模型稍稍復雜些，為估計ar(k)，應輸入模型的定義和所包 括的各階ar值。如果想估計一個有1-5階自回歸的模型 tttt uuu 5511 應輸入： cs c gdp cs(-1) ar(1) ar(2) ar(3) ar(4) ar(5) 例子：工作文件15_1eq_cs_ar5 可以輸入在模型中想包括的各個自回歸，eviews在消除序列相關

11、時給予 很大靈活性。例如，如果有季度數據而且想用一個單項來說明季節(jié)自回歸， 可以輸入：cs c gdp cs(-1) ar(4)。 tttt ucscgdpcccs 1321 15 15.3.3 存在序列相關的非線性模型存在序列相關的非線性模型 eviews可以估計帶有ar誤差項的非線性回歸模型。例如：估計如下的帶 有附加ar(2)誤差的非線性方程 t c tt ugdpccs 2 1 tttt ucucu 2413 使用eviews表達式定義模型，在后面的方括號內描述ar修正項，對每 一階ar滯后項都應包括一個系數，每項之間用逗號隔開。 cs=c(1)+gdpc(2)+ar(1)=c(3),

12、 ar(2)=c(4) eviews通過差分來轉換這種非線性模型且使用gauss-newton迭代法來估 計轉換后的非線性模型。 16 15.3.4 存在序列相關的二階段回歸模型存在序列相關的二階段回歸模型 通過把二階段最小二乘法或二階段非線性最小二乘法和ar項結合起來， 對于在回歸因子和擾動項存在相關性的情況和殘差存在序列相關一樣估計模 型。 如果原始回歸模型是線性的，eviews使用marquardt算法來估計變形后模 型的參數。 如果原始回歸模型是非線性的，eviews使用gauss-newton算法來估計ar 修正后的模型。 對于存在序列相關的情況，可以通過向方程添加ar項來調整tsl

13、s。 eviews會自動將模型轉化為非線性最小二乘問題，并用工具變量估計模型。 估計對話框中的options 鈕用來改變非線性工具變量過程的迭代次數限制和收 斂標準。 17 例子：例子：15_1eq_cs_tsls_ar 假設用二階段最小二乘估計消費函數，考慮存在一階序列相關。 二階段最小二乘變量列表為： cs c gdp ar (1) 工具變量列表為： c gov log(m1) cs(-1) gdp(-1) 注意因變量的滯后（cs(-1)）和內生變量的滯后（gdp(-1)）都包括 在工具變量表中。 類似地，考慮消費函數， cs c cs(-1) gdp ar(1) 有效的工具變量表為： c

14、 gov log(m1) cs(-1) cs(-2) gdp(-1) 18 當估計某個含有ar項的模型時，在解釋結果時一定要小心。在用通常的方 法解釋估計系數，系數標準誤差和t-統計量時，涉及殘差的結果會不同于ols的 估計結果。 要理解這些差別，記住一個含有ar項的模型有兩種殘差： 第一種是 bxyu ttt 通過原始變量以及估計參數 算出。在用同期信息對y t值進行預測時， 這些殘差是可以觀測出的誤差，但要忽略滯后殘差中包含的信息。 19 第二種殘差是估計的 。如名所示，這種殘差代表預 測誤差。如果使用前期數據殘差和當前信息作預測，實際上，通過利用滯后 殘差的預測能力，改善了無條件預測和殘

15、差。 對于含有ar項的模型，基于殘差的回歸統計量，如r2 (回歸標準誤差)和 d-w值都是以一期向前預測誤差為基礎的。含有ar項的模型獨有的統計量是 估計的ar系數 。對于簡單ar(1)模型， 是無條件殘差的序列相關系數。 對于平穩(wěn)ar(1)模型， 在-1（極端負序列相關）和+1（極端正序列相關）之 間。 eviews在回歸輸出的底部給出這些根：inverted ar roots。如果存在虛 根，根的模應該小于1。 i 20 課本上經常描述估計ar模型的技術。探討最多的方法，如cochrane- orcutt (科克蘭內-奧克特) 、prais-winsten、hatanaka以及hildre

16、th-lu程序 都是使用標準線性回歸進行估計的多步方法。當使用滯后因變量作為回 歸自變量或使用高階ar項定義模型時所有這些方法都有嚴重的缺點。見 davidson& mackinnon (1994, pp.329-341), greene(1997, p.600-607)。 eviews估計ar模型采用非線性回歸方法。這種方法的優(yōu)點在于：易 被理解，應用廣泛，易被擴展為非線性定義的模型。注意：非線性最小 二乘估計漸進等于極大似然估計且漸進有效。 21 為估計ar(1)模型，eviews通過將線性模型 ttt ttt uu uxy 1 轉換成非線性模型。將第二個方程代入第一個方程，整理 tttt

17、t xxyy )( 11 參數通過應用marquarat非線性最小二乘法估計。 對于非線性定義，eviews將非線性模型 ttt ttt uu uxfy 1 ),( 轉換成： ttttt xfxfyy ),(),( 11 使用gauss-newton算法來估計參數。 22 高階ar定義情況也類似。例如，在方程中運用非線性最小二乘估計的 非線性ar(3)如下： ),(),()( 11332211 ttttyt xfxfyyyy ttt xfxf ),(),( 3322 23 arma估計理論都是基于平穩(wěn)時間序列。如果一個序列的均值和自協方 差不依賴于時間，就說它是平穩(wěn)的。 非平穩(wěn)序列的典型例子是

18、隨機游動: ttt yy 1 是平穩(wěn)隨機擾動項。序列y的方差隨時間增長，若設 ，則 的方差 是 。但是隨機游動是差分平穩(wěn)序列，因為y一階差分后平穩(wěn)： t tttt ylyy )1 ( 1 差分平穩(wěn)序列稱為單整，記為i(d)，d為單整階數。單整階數是使序列平穩(wěn) 而差分的階數。對于上面的隨機游動，有一個單位根，所以是i(1)，同樣，平 穩(wěn)序列是i(0)。檢查序列平穩(wěn)性的標準方法是單位根檢驗。 0 0 y t y 2 t 24 arima（autoregressive integrated moving average, 自回歸單整動平均）模 型是簡單的ar模型的一般化，使用三種工具來為擾動項的序列

19、相關建模。 上述的ar(1)模型只運用了一階ar項，一般地，可以使用高 階ar項。每一個ar項對應于在無條件殘差預測方法中的滯后值。p 階的自回歸 模型ar(p)有下面的形式： tptpt t t uuuu 22 1 1 每一單整階數對應于對序列進行差分。一階單整意味著對原 始序列進行一次差分，二階單整對應于進行兩次差分，依此類推。 25 動平均預測模型使用預測誤差的滯后值來改善當前預測。一 階動平均利用前期預測誤差，二階動平均利用前兩期預測誤差，以此類推。 ma(q)有如下形式： qtqttt u 11 請注意，一些教科書和軟件包的系數使用的是與常規(guī)相反的符號，因此 ma系數也可能是相反的。

20、 自回歸和動平均可以結合在一起形成arma(p , q)定義為： tptpttt uuuu 2211 qtqtt 2211 盡管計量經濟學家常應用arma模型于回歸模型殘差分析，它也可直接應 用于序列。后種方法提供了一種單變量模型，將條件序列均值設定為一個常數， 將殘差估計成均值的序列差分。 26 在arima預測中，用上述的三種程序塊的結合來建立一個完整的預 測模型。建立殘差序列arima模型的是看其自相關性，可以使用 相關圖來達到這一目的。arima模型建模過程被稱為識別（勿與有關聯 立方程的著作中使用的同一詞混淆）。殘差當前值與過去值之間的相關性 為選擇arima形式提供了導向。自相關很

21、容易解釋每一值是序列當 前值和滯后一定區(qū)間的值的相關系數。偏自相關有些復雜，它們是考慮了 序列所有值滯后后的預測能力后，計算當前和滯后序列的相關性。例如滯 后6階偏自相關是計算當 已在預測模型中時， 的預測能力。 實際上， 如果懷疑左側的因變量和其他的預測值之間存在一個分布滯后關系， 那么可以在執(zhí)行估計前看它們的交叉相關。 51tt uu 6t u 6t u t u 27 是決定使用何種arima模型。如果自相關函數以幾何速率衰減， 偏自相關函數一階滯后后為零，即為一階自回歸模型。同樣，如果自相關一 階滯后后為零，而偏自相關以幾何速率衰減，即為一階動平均。如果自相關 有季節(jié)特征，這說明存在季節(jié)

22、arma結構。例如：選擇eviews example filesdatahshs序列工作欄中view/correlogram便可以檢驗基本住房序列相 關圖。 28 上圖中存在季節(jié)頻度的波動循環(huán)，建議用季節(jié)arma模型擬合hs序列。 arima分析的目的是控制殘差過程的一種過度節(jié)約的表示法。也可 僅用ar或ma來擬和殘差的特性。使用aic 準則和schwarz準則來選擇滯 后階數。 建立合適的arima模型后，應當確認模型沒有殘差自相關。檢查擾 動項的自相關和偏自相關，還要考慮是否有重要的預測能力被忽略。 eviews提供了估計之后的診斷檢查方案。 29 eviews估計的是考慮到具有右側解釋變

23、量的arima(p, d, q)設定形式，盡 管這樣的模型有時叫做arimax模型： arima模型是arimax模型的特例，但是我們把這一類的模型都叫做arima 模型。 為建立arima模型，首先需要做以下兩點： 1確定單整階數，差分因變量序列； 2描述結構回歸模型（因變量和解釋變量），用前面介紹的方式加入ar 或ma項。 qtqttptpttt tktkttt uuuu uxxxy 112211 2211 30 d算子被用來定義序列差分。定義一階差分，僅把序列名寫入d后的括 號。例如，d(gdp)定義gdp的一階差分，或gdp-gdp(-1)。更復雜的差分形 式可以使用兩個參數 n，s。

24、d(x, n)定義序列x的n 階差分 xlnxd n )1 (),( l是滯后算子。例如：d(gdp, 2)定義了gdp的2階差分： d(gdp, 2)=gdp - 2*gdp(-1)+gdp(-2) d(x, n, s)定義序列x的n階普通差分，帶有滯后s階的季節(jié)差分： xllsnxd sn )1 ()1 (),( 例如：d(gdp, 0, 4)定義帶有滯后4階季節(jié)差分的零階普通差分，即gdp- gdp(-4)。 如果需要對數形式，可以使用dlog算子，它以對數值返回差分。例如： dlog(gdp)定義log(gdp)的一階差分，即 log(gdp)-log(gdp(-1)。 31 可以直接

25、在估計定義式中包含差分算子d。例如：gdpi(1)，即gdp是 一階單整序列。對gdp估計arima(1,1,1)模型，可以輸入列表(15_1eq_dy)： d(gdp) c ar(1) ma(1) 使用因變量差分因子d(gdp)定義模型， eviews將提供水平變量gdp的預測值。 模型中ar和ma部分應使用關鍵詞ar和ma定義。在上面ar定義中，我們 已見過這種方法的例子。這對ma也同樣適用。 32 例如，估計一個2階自回歸和1階動平均過程arma(2,1)，應將ar(1), ma(1), ar(2)和其它解釋變量一起包含在回歸因子列表中： y c gov ar(1) ar(2) ma(1

26、) 不必連續(xù)使用ar和ma項。例如想用4階季節(jié)自回歸模型來擬合季節(jié) 變化，可以僅使用ar(4)： y c gov ar(4 ) 也可僅用ma項來定義純動平均模型。如可以表示出殘差的ma(2)模型。 y c gov ma(1) ma(2) 在這種情況下，解釋變量將僅包含一個c加上ar，ma項，例如： y c ar(1) ar(2) ma(1) ma(2) 這是標準的box-jenkins arma(2, 2)模型。 33 對于帶有季節(jié)因素的季度數據，box and jenkins(1976) 建議使用季節(jié)自 回歸sar和季節(jié)動平均sma。sar(p)定義為帶有p階滯后的季節(jié)自回歸項。 估計中使用

27、的滯后多項式是ar項和sar項定義的結合。 與此類似，sma(q)定義為帶有q階滯后的季節(jié)動平均。估計中使用的滯 后多項式是ma項和sma項定義的結合。存在sar項則允許建立一個滯后多項 式。 例如：沒有季節(jié)項的2階ar過程 tttt uuu 2211 ntt n xxll , 用滯后算子 ，則上式可表示為： tt ull)1 ( 2 21 可以通過回歸自變量的ar(1)，ar(2)項來估計這個過程。 34 對于季度數據，可以加入sar(4)來表示季節(jié)因素，定義方程： y c x ar(1) ar(2) sar(4) 估計誤差結構為： tt ulll)1)(1 ( 42 21 等價于 tttt

28、ttt uuuuuu 625142211 參數 和季節(jié)因素相聯系。注意：這是對系數有非線性約束的ar(6)模型。 在另一個例子中，無季節(jié)性的二階ma過程如下 , 2211 tttt u 可以通過包含ma(1)和ma(2)來估計二階ma過程。 35 對季度數據，可以添加sma(4)考慮季節(jié)性。例如定義方程： y c x ma(1 ) ma(2) sma(4) 估計模型為： tt lllu)1)(1 ( 42 21 等價于： 625142211 ttttttt u 參數 和季節(jié)因素相聯系。這是對系數有非線性約束的ma(6)模型。還可以 在方程說明中同時包括sar，sma項。 ttt uxy 21

29、36 含有ar或ma項的模型的估計輸出和ols模型一樣，只是在底部增加了一 個ar，ma多項式的根的倒數。如果我們利用滯后多項式 和 寫一般 的arma模型： )(l)(l tt lul)()( 輸出表中報告的結果相當于下列多項式 0)( 1 x和0)( 1 x 如果 有絕對值大于1的實根或一對復根的逆在單位圓外（即模大于1）， 這意味著自回歸過程是發(fā)散的。如果 的根的倒數在單位圓外，說明ma過程是 不可逆的，應使用不同的初值重新估計模型，直到得到滿足可逆性的動平均。 如果估計的ma模型的根的模接近于1，有可能是對數據差分過多，這就很難估 計和預測 。如果可能的話，應減少差分階數重新估計。 的

30、根。這些根（可能是虛根）的模應小于1，如果不滿足這個條件，輸出表中將 顯示警告信息。 37 38 這個arma估計輸出例子的結果對應于如下定義： 或等同于： 注意：ma項的符號和教科書中的符號可能相反。倒根的模接近于1，這對 于許多宏觀經濟序列是很典型的。 541 57. 091. 063. 0 ttt tt tt llull ur )91. 01)(63. 01 ()93. 01)(86. 01 ( 21. 7 44 ttttt rrrr 541 80. 093. 086. 007. 0 39 如前所述，帶有ar或ma的模型用非線性最小二乘法估計。非線性估計 方法對所有系數估計都要求初值。e

31、views自行確定初值。 有時當迭代最大值達到時，方程終止迭代，盡管還未達到收斂。從前一 步初值重新開始方程，使方程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試 試不同的初值來保證估計是全部而不是局部平方誤差最小，可以通過提供初 值加速估計過程。 為控制arma估計初值，在方程定義對話框單擊options。在eviews提供 的選項中，有幾項設置初值的選擇。 eviews缺省方法是ols/tsls，這種方法先進行沒有arma項的預備估計， 再從這些值開始非線性估計。另一選擇是使用ols或tsls系數的一部分作為 初值?？梢赃x擇0.3，0.5，0.8或者可以將所有初值設為零。 用戶確定初值選項是us

32、er supplied。在這個選項下，eviews使用c系數向 量中的值。為設置初值，雙擊圖標，為c系數向量開一窗口，進行編輯。 40 為適當地設置初值，需對eviews如何為arma設置系數多些了解。eviews 使用c系數向量。它按下列規(guī)則為變量安排系數： 1. 變量系數，以輸入為序。 2. 定義的ar項，以輸入為序。 3sar，ma，sma系數（以輸入為序） 這樣，下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數 y c x ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) y sma(4 ) c ar(1) ma(2) x ma(1) 也可使用程序指令安排c向量值 param c(1) 50 c(2 )

33、 0.8 c(3) 0.2 c(4) 0.6 c(5) 0.1 c(6) 0.5 初值：常數是50， x系數的初值是0.8， ar(1)、ma(2)、ma(1)、sma(4) 系數 的初值分別是0.2 ， 0.6，0.1，0.5。 估計后，可在方程表達式representation選項見到系數安排。也可以從估計 方程中填寫c向量，選擇pros/update/ coefs from equations。 41 對于arma模型估計，要考慮一些問題。首先，ma模型很難估計。 特別的，應避免高階ma，除非模型非常需要，因為它們可能引起估計困 難。例如，相關圖上滯后57有一個大波峰并不要求必須在模型中

34、包括 ma(57)，除非知道每57期都有特別事情發(fā)生。相關圖中的突起很可能是序 列中的一個或多個奇異值的結果。模型中含有許多ma項，將會喪失自由 度，并且可能犧牲估計的穩(wěn)定性和可靠性。 如果ma過程的根的模接近于1，可能會遇到估計困難。eviews會報告 在迭代到最大次數時，不能收斂或不能提高平方和，這說明可能對數據差 分過多，應檢查序列相關圖來看是否可以減少差分階數來重新估計。 42 對arima進行二階段最小二乘法或工具變量法沒有什么特殊困難。 eviews將估計帶有自回歸項的非線性最小二乘模型。 eviews目前不估計有ma誤差的非線性模型。然而，可以運用狀態(tài)空 間方法來定義估計這些模型

35、。 eviews不會自動估計帶有arma誤差項的加權模型如果對一加權 模型加入ar項，加權序列會被忽略。 43 如果arma模型定義正確，模型殘差將為白噪聲。這意味著殘差中應不存 在序列相關。d-w統計量是當方程右邊沒有滯后變量時對一階序列相關的檢驗。 如上所述，對殘差中序列相關更多的檢驗可以如：view/residual tests/ corre- logram-q-statistic和view/residual tests/serial correlation lm test。 44 在經濟分析中人們發(fā)現，一些經濟變量，它們的數值是由自身的滯后量 或者其他變量的滯后量所決定的，表現在計量經

36、濟模型中，解釋變量中經常 包含某些滯后變量。以投資函數為例，分析中國的投資問題發(fā)現，當年的投 資額除了取決于當年的收入（即國內生產總值）外，由于投資的連續(xù)性，它 還受到前1 個、2個、3個時期投資額的影響。已經開工的項目總是要繼續(xù)下 去的，而每個時期的投資額又取決于每個時期的收入，所以可以建立如下關 于投資的計量經濟方程 其中i 表示投資額，y 表示國內生產總值。 ttttt yyyi 22110 45 對于有限滯后長度的情形，分布滯后模型的一般形式如下 tktktttt xxxy 110 系數 描述x對y作用的滯后。在模型中解釋變量與隨機誤差項不相關的 情況下，可以直接使用ols估計參數。但

37、是，一個顯然的問題是解釋變量之 間，即x的當前和滯后值之間具有高度共線性，而共線性問題的一個直接后 果是參數估計量失去意義，不能揭示x的各個滯后量對因變量的影響，所以 必須尋求另外的估計方法。 可以使用多項式分布滯后（polynomial distributed lags , pdls）來減少 要估計的參數個數，以此來平滑滯后系數。平滑就是要求系數服從一個相對 低階的多項式。p 階pdls模型限制 系數服從如下形式的p階多項式 p pj cjcjcj)()()( 1 2 321 j = 0 , 1 , 2 , , k (15.2) (15.1) 46 是事先定義常數： c 是偶數 是奇數（ p

38、k pk c 2/ )( 2/ ) 1( pdls有時被稱為almon分布滯后模型。常數 僅用來避免共線性引起的數 值問題，不影響 的估計。這種定義允許僅使用參數 p 來估計一個x 的 k 階 滯后的模型（如果 p k，將顯示“近似奇異“錯誤信息）。 定義一個pdl模型，eviews用(15.2)式代入到(15.1)式，將產生如下形式方 程 c tppt zzzy 112211 其中 kt p t p t p p kttt kttt xckxcxcz xckxcxcz xxxz )()1 ()( )()1 ( 11 12 11 (15.3) 47 一旦從(15.3)式估計出 ，利用(15.2)

39、式就可得到 的各系數。這一過程 很明了，因為是 的 線性變換。定義一個pdls要有三個元素：滯后長度k， 多項式階數（多項式最高次冪數）p和附加的約束條件。 一個近端約束限制x對y一期超前作用為零： 0)1()1()1( 1 2 3211 p p ccc 一個遠端約束限制x對y的作用在大于定義滯后的數目衰減： 0)1()1()1( 1 2 3211 p pk ckckck 如果限制滯后算子的近端或遠端，參數個數將減少一個來解釋這種約束。 如果對近端和遠端都約束，參數個數將減少二個。 eviews缺省不加任何約束。 48 通過pdl項定義一個多項式分布滯后，信息在隨后的括號內，按下列規(guī)則 用逗號

40、隔開： 1、序列名 2、滯后長度（序列滯后數） 3、多項式階數 4、一個數字限制碼來約束滯后多項式： 1 = 限制滯后近端為零 2 = 限制遠端 3 = 兩者都限制 如果不限制滯后多項式，可以省略限制碼。方程中可以包含多個pdl項。 例如： sales c pdl(y , 8 , 3 )是用常數，解釋變量y的當前和8階分布滯后來 擬合因變量sales，這里解釋變量y的滯后系數服從沒有約束的3階多項式。 49 類似地， y c pdl(x , 12 , 4 , 2) 用常數，解釋變量x的當前和12階分布滯后擬合因變量y，這里解釋變量x的 系數服從帶有遠端約束的4階多項式。 pdl也可用于二階段最

41、小二乘法tsls。如果pdl序列是外生變量，應當在工 具表中也包括序列的pdl項。為此目的，可以定義pdl(*)作為一個工具變量，則 所有的pdl變量都將被作為工具變量使用。例如：如果定義tsls方程為 sales c inc pdl(y(-1) , 12 , 4) 使用工具變量 z z(-1) pdl(*) 則y的分布滯后和z，z(-1)都被用作工具變量。 50 三、例子三、例子 投資inv關于關于gdp的 分布滯后模型的結果如下 51 逐個觀察，inv滯后的系數統計上都不顯著。但總體上講回歸具有一個合 理的r2， (盡管dw統計量很低)。這是回歸自變量中多重共線的典型現象， 建議擬合一個多

42、項式分布滯后模型。估計一個無限制的5階多項式滯后模型， 輸入變量列表：log(inv) c pdl(log(gdp), 12, 5)，窗口中顯示的多項式估計系 數，pdl01, pdl02, pdl03 , 分別對應方程(15.3)中z1, z 2 , 的系數。 52 方程（15.1）中的系數 在表格底部顯示。 j 表格底部的滯后值是分布滯后的估計系數值，并且在平穩(wěn)的假設下有 gdp對inv的長期影響的解釋。 53 eviews提供兩種單位根檢驗：dickey-fuller(df)、增廣df(augmented df)檢驗和phillips - perron（pp）檢驗。本節(jié)提供這兩種檢驗的一

43、些理論背 景。 為說明adf檢驗的使用，先考慮一個ar(1)過程 ttt yy 1 是參數， 假設為白噪聲。如果-1 1，y是平穩(wěn)序列。如果 =1， y是 非平穩(wěn)序列（帶漂移的隨機游動）。如果這一過程在某一點開始， y的方差隨 時間增長趨于無窮。如果 的絕對值大于1，序列發(fā)散。因此，一個序列是否平 穩(wěn)，可以檢驗 是否嚴格小于1。df和pp都用單位根作為原假設， 。 因為發(fā)散序列沒有經濟學含義，所以備選假設為單邊假設 。 , t 1: 0 h 1: 1 h （15.4） 54 從方程兩邊同時減去 1t y ttt yy 1 其中 1 所以原假設和備選假設可改為 0: 0: 1 0 h h （15

44、.5） 單位根檢驗可以看作對 進行t 檢驗。對于（15.5）可使用常規(guī)的ols方法 得到 的估計量和t統計量(即系數的估計量除以其標準偏差)，但是這時t統計量 不再漸近正態(tài)，甚至不對稱。dickey和fuller(1979)通過蒙特卡洛方法研究發(fā)現， 檢驗 的統計量的臨界值依賴于回歸的形式(是否引進了常數項和趨勢項)， 并且和樣本長度n有關，一般臨界值隨著n的增大而減小。t 統計量在原假設下不 具有一般 t 分布。dickey和fuller對選擇的樣本序列模擬了臨界值，近年來 mackinnon又進行了更大規(guī)模的模擬，允許d-f計算的臨界值適用于任何樣本和 任何數目的右邊變量。eviews為單

45、位根檢驗提供了這些臨界值。 0 （15.6） 55 上面描述的簡單單位根檢驗稱為df檢驗，該檢驗只有當序列為ar(1)時才 有效。如果序列存在高階滯后相關，這就違背了擾動項是白噪聲的假設。adf 和pp檢驗使用不同的方法來控制高階序列相關。 adf方法通過在回歸方程右邊加入因變量y的滯后差分項來控制高階相關 ptptttt yyyy 1111 擴展定義將檢驗 0: 0: 1 0 h h eviews將df，adf檢驗都看成為adf檢驗。adf檢驗考慮如下三種回歸 形式： t p i ititt yyy 1 1 t p i ititt ytayay 1 210 t p i ititt yyay

46、1 10 56 通過在模型中增加的滯后項來消除殘差的序列相關性 。eviews在檢驗回 歸時,詢問是否包含有其它外生變量，即上面三種形式：包含截距，即常數項， 包含截距和線性趨勢項，或兩者都不包含。 如果序列含有趨勢（確定的或隨機的），序列回歸中應既有常數又有趨勢。 如果序列沒有表現任何趨勢且有非零均值，回歸中應僅有常數。如果序列在零 均值波動，檢驗回歸中應既不含有常數又不含有趨勢。 phillips和perron（1988）提出一種非參數方法來控制序列中高階序列相關。 對ar(1)的pp檢驗為： ttt yy 1 57 adf檢驗通過在方程右邊添加滯后差分項來修正高階序列相關。pp檢驗參 數的t 統計量來修正ar(1)的序列相