-隱函數(shù)求導(dǎo)公式[章節(jié)練習(xí)]

1、第5節(jié)：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式教學(xué)目的：掌握由一個(gè)方程和方程組確定的隱函數(shù)求導(dǎo)公式，熟練計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)求導(dǎo)方法。教學(xué)難點(diǎn)：隱函數(shù)的高階導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算。教學(xué)方法：講授為主，互動(dòng)為輔教學(xué)課時(shí)：2教學(xué)內(nèi)容：一、一個(gè)方程的情形 在第二章第六節(jié)中我們已經(jīng)提出了隱函數(shù)的概念，并且指出了不經(jīng)顯化直接由方程 =0 (1) 求它所確定的隱函數(shù)的方法。現(xiàn)在介紹隱函數(shù)存在定理，并根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法來(lái)導(dǎo)出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，, ，則方程=0在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 （2

2、） 公式（2）就是隱函數(shù)的求導(dǎo)公式這個(gè)定理我們不證?，F(xiàn)僅就公式(2)作如下推導(dǎo)。將方程(1)所確定的函數(shù)代入，得恒等式 ,其左端可以看作是的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，求這個(gè)函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)，由于恒等式兩端求導(dǎo)后仍然恒等，即得 由于連續(xù)，且，所以存在(x0,y0)的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)，于是得 如果的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(2)的兩端看作的復(fù)合函數(shù)而再一次求導(dǎo)，即得 例1 驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)=0時(shí)，的隱函數(shù)，并求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在=0的值。解 設(shè)，則,.因此由定理1可知，方程在點(diǎn)(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)=0時(shí)，的

3、隱函數(shù)。下面求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù) =， ; = 。隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù).既然一個(gè)二元方程(1)可以確定一個(gè)一元隱函數(shù)，那末一個(gè)三元方程 ()=0 (3)就有可能確定一個(gè)二元隱函數(shù)。與定理1一樣，我們同樣可以由三元函數(shù)()的性質(zhì)來(lái)斷定由方程()=0所確定的二元函數(shù)=的存在，以及這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。這就是下面的定理。隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)()在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程()=0在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 =,=. (4)這個(gè)定理我們不證.與定理1類似，僅就公式(4)作如下推導(dǎo).由于 (, )0,將上式兩端分別對(duì)和

4、求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 +=0, +=0。因?yàn)檫B續(xù)，且,所以存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在這個(gè)鄰域內(nèi)0，于是得 =,=。 例2 設(shè)，求解 設(shè) () =，則=2, =.應(yīng)用公式(4)，得 =。再一次對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得二、方程組的情形下面我們將隱函數(shù)存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方程中變量的個(gè)數(shù)。而且增加方程的個(gè)數(shù)，例如，考慮方程組 (5)這時(shí)，在四個(gè)變量中，一般只能有兩個(gè)變量獨(dú)立變化，因此方程組(5)就有可能確定兩個(gè)二元函數(shù)。在這種情形下，我們可以由函數(shù)、的性質(zhì)來(lái)斷定由方程組(5)所確定的兩個(gè)二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì)。我們有下面的定理。隱函數(shù)存在定理3 設(shè)函數(shù)、在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變

5、量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，,且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(Jacobi)式): =在點(diǎn)不等于零，則方程組，在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有 (6) 這個(gè)定理我們不證.與前兩個(gè)定理類似，下面僅就公式(6)作如下推導(dǎo)。由于 ,0, ,0,將恒等式兩邊分別對(duì)求導(dǎo)，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得 這是關(guān)于, 的線性方程組，由假設(shè)可知在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)，系數(shù)行列式 從而可解出, ，得 , . 同理，可得 , .例3 設(shè)，求,和.解 此題可直接利用公式(6)，但也可依照推導(dǎo)公式(6)的方法來(lái)求解。下面我們利用后一種方法來(lái)做。將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)并移項(xiàng)，得 在的條件下， 將所給方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)，用同樣方法在的條件下可得 例4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)()的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 (1)證明方程組 (7)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)。(2)求反函數(shù)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)。解 (1)將方程組(7)改寫(xiě)成下面的形式 則按假設(shè) 由隱函數(shù)存在定理3，即得所要證的結(jié)論。(2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)代入（7），即得 將上述恒等式兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得 由于0，故可解得 同理，可得 小結(jié)：本節(jié)在前面已提出隱函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，根據(jù)多元