【高清】高等數(shù)學(xué)公式大全集備課講稿

1、精品文檔高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2( ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1 x2(cscx)cscx ctgx(arctgx )1( ax )a x ln a1x2(log a x)1(arcctgx )11x2x ln a基本積分表：tgxdxln cosxCdxsec2 xdxtgxCctgxdxln sin xCcos2 xdx2secxdxln secxtgx Csin 2 xcscxdxctgxCcscxdxln cscxctgxCsecx tgxdxsecxCdx1xcsc xctgxdxcscx

2、Ca2x2a arctgaCa xdxa xCdx1xaln ax2a22alnCxashxdxchxCdx1axa2x22alnCchxdxshxCaxdxx2arcsin xCdxln( xx 2a2 )Ca2ax2a222n1I nsin n xdxcosn xdxI n200nx2a2dxxx2a2a2ln( xx2a2)C22x2a2 dxxx 2a2a2 ln xx2a 2C22a2x2 dxxa 2x2a 2arcsin xC22a三角函數(shù)的有理式積分：sin x2u， cos x1u2，utg x，dx2du1u 21u 221u2精品文檔精品文檔一些初等函數(shù)：雙曲正弦: sh

3、xexe x2雙曲余弦: chxexe x2雙曲正切: thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x21x兩個重要極限：lim sin x1x 0xlim (11)xe 2.718281828459045.x xxx三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式：函數(shù)sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg -ctg 180+-sin -cos tg ctg 270-cos -sin ctg tg 270+-cos si

4、n -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差角公式：和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2 coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22精品文檔精品文檔倍角公式：sin 22 sincoscos22 cos2112sin 2cos2sin2sin 33sin4sin3ctg 2ctg 21cos34 cos33 cos2ctg3tgtg 3t

5、g32tg1 3tg 2tg 21tg 2半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos22正弦定理：abcRsin Asin BsinC2余弦定理：c2a 2b22ab cosC反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinxarccosxarctgxarcctgx22高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（ Leibniz）公式：n(uv) ( n)Cnku (n k ) v(k)k 0u ( n) vnu (n 1) vn( n 1) u( n 2 )vn(n 1) ( n k 1) u( n k )v (k)uv (n)2!

6、k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b)柯西中值定理：f (b)f ( a)f ( )(ba)f (a)f ( )F (a)F ( )當(dāng) F( x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。精品文檔精品文檔曲率：弧微分公式： ds1 y 2 dx, 其中 y tg平均曲率：Ks.: 從 M 點到 M 點，切線斜率的傾角變化量；M 點的曲率： Klimdy.sds23s0(1y)直線： K0;1半徑為 a的圓： K.a定積分的近似計算：bba ( y0矩形法： f ( x)y1yn 1 )anbba 1 ( y梯形法： f ( x)0yn )y1yn1 an2bba拋物線法： f (x

7、)yn )2( y2y4yn 2 )4( y1 y3( y0a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： W F s水壓力： FpA引力： Fm1m2, k為引力系數(shù)k2rb1函數(shù)的平均值： yf ( x)dxba ab均方根：1f 2 (t )dtba as： M M 弧長。yn 1 )精品文檔精品文檔空間解析幾何和向量代數(shù)：空間 2點的距離： dM1M2( x2x1 ) 2( y2y1 ) 2(z2z1 ) 2向量在軸上的投影： Pr ju ABABcos ,是 AB與 u軸的夾角。Pr ju ( a1a2 ) Pr j a1Pr ja2a b ab cosaxbxa ybyazbz ,是一個數(shù)量 ,兩

8、向量之間的夾角： cosax bxa ybyazbzax 2ay 2az2bx 2by2bz2ijkc a baxayaz , cab sin.例：線速度： vwr .bxbybzaxayaz向量的混合積： abc (ab )cbxbybzabc cos , 為銳角時，cxc ycz代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點法式： A(xx0 )B( yy0 )C (z z0 ) 0，其中 n A, B,C, M 0 ( x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一點到該平面的距離： dAx0 By0A2B2空間直線的方程： x x0y

9、 y0z z0t ,其中 smnp二次曲面：Cz0 DC 2xx0mt m, n, p; 參數(shù)方程： yy0ntzz0pt221、橢球面： x y a2 b2222z12、拋物面： xy2 p2q3、雙曲面：22單葉雙曲面： x y a2 b222雙葉雙曲面： x y a2 b2z（,p, q同號）z2c21z2c 2（1馬鞍面）精品文檔精品文檔多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計算：z dz f x (x, y)xf y ( x, y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf u(t), v(t )dzzuzvdtutvtzf u( x,

10、 y), v( x, y)zzuzvxuxvx當(dāng)u，v(x, y)時，u( x, y) vduu dxu dydvv dxv dyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dyFx ，d2 yFxFxdy0dxF ydx2()()x Fyy Fydx隱函數(shù)， zFx ，zFyF ( x, y, z) 0xFzyFz隱函數(shù)方程組： F ( x, y,u,v)0(F ,G)FFFuFvJuvG( x, y,u,v)0(u, v)GGGuGvuvu1(F ,G)v1(F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F ,G)v1(F ,G)yJ( y, v)yJ(u, y)微分法在幾何上

11、的應(yīng)用：x(t), y0 , z0 )處的切線方程： x x0yy0z z0空間曲線y(t)在點 M (x0z(t)(t0 )(t0 )(t0 )在點 M處的法平面方程：(t 0 )( x x0 )(t0 )( yy0 )(t0 )( zz0 )F ( x, y, z) 0FyFzFzFxFx若空間曲線方程為：,則切向量 T G y,G ( x, y, z) 0G z G zG x G x曲面 F ( x, y, z) 0上一點 M ( x0 , y0 , z0 )，則：1、過此點的法向量： n Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 ,

12、 y0 , z0 )2、過此點的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy (x0 , y0 , z0 )( yy0 )3、過此點的法線方程：x x0y y0zz0Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz( x0 , y0 , z0 )0F yG yFz (x0 , y0 , z0 )( zz0 )0精品文檔精品文檔方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù) zf (x, y)在一點 p( x, y)沿任一方向 l 的方向?qū)?shù)為： ffcosf sinlxy其中 為 軸到方向的轉(zhuǎn)角。xl函數(shù) zf (x, y)在一點 p( x, y)的梯度： gr

13、adf ( x, y)f ifjxy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是 ：f，其中ecosisin j，為方向上的grad f ( x, y) ell單位向量。f 是gradf ( x, y)在l 上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) f x ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )0，令： f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB2A 0, (x0 , y0 )為極大值0時，B 2A 0, (x0 , y0 )為極小值則： AC0時，無極 值A(chǔ)CB 20時 ,不確定重積分及其應(yīng)用：f (x, y)dxdyf (r

14、 cos, r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面積 A1zzxdxdyDyM xx( x, y) dM yy( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM(x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于 x軸 I xy2(x, y) d,對于 y軸 I yx2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）對 z軸上質(zhì)點 M(0,0,a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz ，其中：Fxf( x, y) xd，F(xiàn)yf(x, y) yd，F(xiàn)zfa(x, y) xd333D ( x 2y 2a 2 ) 2D ( x2y 2a 2 ) 2D (x 2

15、y 2a 2 ) 2柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：精品文檔精品文檔xr cos柱面坐標(biāo)： yr sin , f ( x, y, z) dxdydz F ( r , , z)rdrd dz, z z其中： F (r , z)f (r cos , r sinx r sin cos球面坐標(biāo)： y r sin sin ，zr cos, z)dvrdr sinddrr 2 sindrdd2r (, )f ( x, y, z)dxdydzF (r , ) r 2 sindrddddF (r ,)r 2 sindr0001x dv,y1ydv,z1z dv，其中 Mxdv重心： xMMM轉(zhuǎn)動慣量： I x( y2z2

16、 )dv，I y(x 2z2 )dv，I z( x2y 2 )dv曲線積分：第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：設(shè) f ( x, y)在 L上連續(xù)， L的參數(shù)方程為： x(t ) ,(t),則：y(t )f ( x, y) dsf (t),(t )2 (t)2 (t )dt()特殊情況：xtLy(t)精品文檔精品文檔第二類曲線積分（對坐 標(biāo)的曲線積分）：設(shè) 的參數(shù)方程為x(t )，則：Ly(t )P( x, y) dxQ( x, y)dy P(t ),(t )(t)Q(t),(t )(t ) dtL兩類曲線積分之間的關(guān) 系：PdxQdy( P cosQ cos，其中 和 分別為)dsLL上積分

17、起止點處切向量 的方向角。L格林公式：(QP)dxdy格林公式：(QP)dxdyPdxQdyxyPdx QdyxyDLDL當(dāng)Py, Qx，即： QP時，得到D的面積：Adxdy1xdy ydxxy22 LD平面上曲線積分與路徑 無關(guān)的條件：、是一個單連通區(qū)域；1G、，Q( x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，且 QP 。注意奇點，如，應(yīng)2P( x, y)xy(0,0)減去對此奇點的積分， 注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積 ：在 Q P 時， Pdx Qdy才是二元函數(shù) u( x, y)的全微分，其中：x y( x, y)，通常設(shè)x0。u( x, y)P(x, y)dx Q(x, y)dyy

18、0 0( x0 , y0 )曲面積分：對面積的曲面積分：f (x, y, z)dsf x, y, z( x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y)dxdyDxy對坐標(biāo)的曲面積分：P(x, y, z)dydz，其中：Q(x, y, z) dzdx R( x, y, z)dxdyR(x, y, z)dxdy，取曲面的上側(cè)時取正 號；R x, y, z(x, y)dxdyD xyP(x, y, z)dydzP x( y, z), y, zdydz，取曲面的前側(cè)時取正 號；D yzQ(x, y, z)dzdxQ x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右側(cè)時取正 號。D zx兩

19、類曲面積分之間的關(guān) 系： PdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosRcos ) ds精品文檔精品文檔高斯公式：PQR() dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos) dsxyz高斯公式的物理意義 通量與散度：散度： divPQR ,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若 div0,則為消失 .xyz通量： An dsAnds( P cosQ cosR cos)ds，因此，高斯公式又可寫成：div AdvAn ds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：( RQ )dydz ( PR)dzdx ( QP )dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdx

20、 dxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無 關(guān)的條件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量場 沿有向閉曲線的環(huán)流量：PdxQdyRdz A t dsA常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列：q2qn 11q n1q1q等差數(shù)列：23n(n 1)n12調(diào)和級數(shù)：111 是發(fā)散的123n精品文檔精品文檔級數(shù)審斂法：、正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判 別法）：1時，級數(shù)收斂1設(shè)：limnun，則時，級數(shù)發(fā)散1n時，不確定1、比值審斂法：2時，級數(shù)收斂U n 1 ，則1設(shè)：lim時，級數(shù)發(fā)散U n1n時，不確定1、定義法：3sn

21、u1 u2un ; lim sn存在，則收斂；否則發(fā) 散。n交錯級數(shù) u1u2u3 u4(或 u1 u 2 u3,un 0)的審斂法 萊布尼茲定理：unun1u1 ,其余項 rn的絕對值 rn un 1。如果交錯級數(shù)滿足，那么級數(shù)收斂且其和 slim un0n絕對收斂與條件收斂：(1)u1u2un，其中 un為任意實數(shù)；(2) u1u2u3un如果 (2)收斂，則 (1)肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；如果 (2)發(fā)散，而 (1)收斂，則稱 (1)為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：1 發(fā)散，而( 1) n 收斂；nn1級數(shù)：n2 收斂；1 時發(fā)散p級數(shù)：n pp1時收斂精品文檔精品文檔冪級數(shù)：x1時，收

22、斂于11 x x2x3x n1 xx 1時，發(fā)散對于級數(shù) (3)a0a1 xa2 x2an xn，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全x R時收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在 R，使 xR時發(fā)散 ，其中 R稱為收斂半徑。xR時不定10時， R求收斂半徑的方法：設(shè)liman 1，其中 an， an 1是 (3)的系數(shù)，則0時， Rann時，R 0函數(shù)展開成冪級數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f ( x)f (x0 )( x x0 )2f (n ) ( x0 )nf (x0 )( x x0 )( x x0 )f (n 1) ( ) (x2!n!余項： Rnx0 ) n 1, f ( x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是： lim Rn0(n 1)!nx0 0時即為麥克勞林公式：f (