圓錐曲線起始課教學(xué)設(shè)計

1、指定課題：圓錐曲線與方程（起始課）一、教學(xué)設(shè)計1教學(xué)內(nèi)容解析圓錐曲線與方程 安排在普通高中人教 A 版選修 2-1 中 教材通過章引言介紹了圓錐曲 線的名稱由來、發(fā)展歷史、實際用途和坐標(biāo)方法，主要說明圓錐曲線是什么、為什么要學(xué)習(xí)圓 錐曲線和怎樣學(xué)習(xí)圓錐曲線尤其是著重說明了類比研究直線與圓的坐標(biāo)法，研究圓錐曲線的 基本套路同時教材又進(jìn)一步通過【探究與發(fā)現(xiàn)】介紹了 Dandelin 雙球證法，說明了為什么二 次函數(shù)的圖象是拋物線；通過【信息技術(shù)應(yīng)用】介紹了用幾何畫板探究橢圓的軌跡；通過 【閱讀與思考】介紹了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用基于教材對本章內(nèi)容設(shè)置的前后一致邏輯連貫的結(jié)構(gòu)順序，作為本章起始課

2、，擬定以了解 圓錐曲線的發(fā)展過程和理解圓錐曲線的心理過程為基本線索， 力圖為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連 貫的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生在領(lǐng)悟圓錐曲線名稱由來、廣泛應(yīng)用和研究方法的過程中學(xué)會思考，并 側(cè)重于橢圓定義的探究及初步應(yīng)用根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)重點確定為教學(xué)重點： 橢圓的定義探究及初步應(yīng)用（ Dandelin 雙球證法）2學(xué)生學(xué)情診斷首先，學(xué)生在數(shù)學(xué) 2中學(xué)習(xí)了研究直線與圓的坐標(biāo)法，初步具備了運用代數(shù)方法研究 幾何問題的意識，初步感受了數(shù)形結(jié)合的基本思想，對橢圓、拋物線和雙曲線的概念也僅僅停 留在直觀感性認(rèn)識的層面上因此， 圓錐曲線作為學(xué)生再度理解坐標(biāo)法和進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合 思想的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是螺旋

3、上升的過程中掌握解析幾何思想方法的一個突破口其次，本節(jié)課授課班級是我校實驗班，盡管數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總體水平較好，但如何將幾何問題代 數(shù)化仍然是多數(shù)學(xué)生所面臨的難題為此，在起始課中，為降低難點，只讓學(xué)生初步嘗試給定 數(shù)據(jù)的具體橢圓方程的推導(dǎo)方法，而將引發(fā)學(xué)生推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一般式作為后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點確定為教學(xué)難點： 具體條件下橢圓方程的推導(dǎo)和化簡；坐標(biāo)法的應(yīng)用3教學(xué)目標(biāo)設(shè)置（ 1）通過動態(tài)演示平面與圓錐面的截線，學(xué)生經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、雙曲線、 拋物線模型的過程，感知圓錐曲線的來由；（ 2）通過豐富多彩的實例，學(xué)生體會圓錐曲線應(yīng)用的廣泛性，數(shù)與形的辯證統(tǒng)一的關(guān)系 和圓錐

4、曲線的內(nèi)在美、和諧美和統(tǒng)一美，感受學(xué)習(xí)圓錐曲線的理由；3）借助展板動手操作和類比圓的定義，學(xué)生探究橢圓的定義，能用文字和符號語言描 述橢圓的定義，會用 Dandelin雙球證明截口曲線為橢圓的情形，感悟圓錐曲線學(xué)法的因由.（4）通過具體畫出的特殊橢圓，學(xué)生類比直線與圓的方程，會初步運用坐標(biāo)法推導(dǎo)具體給定的橢圓方程，能說出圓錐曲線又作為二次曲線的特征，感觸圓錐曲線方程的情由.4 教學(xué)策略分析根據(jù)章起始課應(yīng)體現(xiàn)統(tǒng)領(lǐng)全局的地位和作用的特點，采用“引言導(dǎo)入一問題誘導(dǎo)一啟發(fā)討論一抽象概括一探索歸納一總結(jié)規(guī)律”的探究式教學(xué)方法，緊緊圍繞為什么學(xué)、學(xué)什么以及怎樣學(xué)等問題展開，通過“引、思、探、練、歸”相結(jié)合

5、的做法，讓學(xué)生初識圓錐曲線的相關(guān)背景、知識結(jié)構(gòu)、邏輯體系和應(yīng)用價值，明晰本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)特點和學(xué)習(xí)方法.為避免以教師講解為主的告知式，采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的教學(xué)方式，形成師生互動的教學(xué)氛圍，充分調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生對圓錐曲線進(jìn)一步學(xué)習(xí)的強烈期待，為全章內(nèi)容的后續(xù)學(xué)習(xí)起到較好的鋪墊作用.具體教學(xué)策略分成如下五個環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：引言啟導(dǎo)，追溯緣由.從嫦娥奔月”的情景和閱讀章引言出發(fā)，通過問題設(shè)疑,引導(dǎo)學(xué)生在不斷思考中獲取圓錐曲線的來龍去脈；第二環(huán)節(jié)：應(yīng)用開路，初識性質(zhì)從圓錐曲線廣泛的應(yīng)用性出發(fā)，通過引言解讀和趣味傳說，引導(dǎo)學(xué)生初識圓錐曲線的幾何特征和光學(xué)性質(zhì)；第三環(huán)

6、節(jié)：定義探究，雙球驗證.從抽象概括橢圓的定義出發(fā)，通過類比圓的定義、動手操作畫橢圓和探討 Dandelin雙球證法，引導(dǎo)學(xué)生歸納和運用橢圓的定義；第四環(huán)節(jié)：方程推導(dǎo)，方法研究.從特殊橢圓方程的推導(dǎo)出發(fā)，通過類比直線與圓的方程的推導(dǎo)方法，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運用坐標(biāo)法的基本步驟導(dǎo)出具體給定的橢圓方程；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)，有效建構(gòu)從學(xué)生自主歸納小結(jié)出發(fā)，通過引言提煉的內(nèi)容概述圖和融合三種圓錐曲線的知識結(jié)構(gòu)圖，讓整章的知識體系和邏輯線索鮮活地展現(xiàn)在學(xué)生面前.其教學(xué)流程如下：二、課堂實錄（一）情景引入引言：隨著我國航天技術(shù)的發(fā)展日新月異，嫦娥奔月”這一古老而美麗的傳說正在逐步變?yōu)楝F(xiàn)實請同學(xué)們觀看視頻.師：這是

7、嫦娥3號環(huán)月運行時變軌的過程變軌后軌道是什么曲線？生：橢圓.師：對！橢圓這一類曲線正是我們在本章將要研究的主要內(nèi)容.請同學(xué)們翻開課本第 頁，閱讀本章引言.（板書標(biāo)題：圓錐曲線與方程）（二）課內(nèi)建構(gòu)師：好！請同學(xué)們停下來，看大屏幕，同學(xué)們看書之后，知道圓錐曲線包括哪幾種曲線嗎 生：圓，橢圓，雙曲線，拋物線.師：對！那么為什么稱為圓錐曲線呢？與圓錐有怎樣的關(guān)系嗎？請看動畫.我們知道，用平面截一個圓錐，當(dāng)平面與圓錐的軸垂直時， 截口曲線是一個圓.用 平面截圓錐面還能得到哪些曲線 ？（教師以flash動畫給學(xué)生展示：當(dāng)平面與軸所成的角變化（其中截面不過頂點）時，截口曲線的變化情況.）師：早在公元前約

8、200年時，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollonius，約前262年約前190年）對圓錐曲線的性質(zhì)就做了系統(tǒng)的研究（純幾何方法），并幾乎網(wǎng)羅殆盡，使后人難以有新的發(fā)現(xiàn)阿波羅尼奧斯和歐幾里得、阿基米德合稱為古希臘三大數(shù)學(xué)家.【評析】 借助動畫演示介紹名稱由來，嵌入數(shù)學(xué)史話，加深認(rèn)知印象.2.廣泛應(yīng)用圓錐曲線不僅在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的過程中熠熠生輝，而且在科學(xué)文化的其他領(lǐng)域閃爍光芒比如，圓錐曲線為開普勒、牛頓、哈雷等數(shù)理天文學(xué)家研究行星和彗星軌道提供了數(shù)學(xué)基 礎(chǔ).師：讓我們回到本章引言，這一段話的主要內(nèi)容是什么呢生：圓錐曲線的應(yīng)用.師：那么有哪些方面的應(yīng)用呢?請看圖片，這是太陽系行星的運行軌跡，是什

9、么曲線生：橢圓.師：對！有些彗星的軌跡是橢圓，比如著名的哈雷彗星，這是鹿林彗星，不為我們熟知一 些，軌跡是雙曲線.它的軌跡是如此的長，圖片中顯示的只是其中一部分.師：當(dāng)人造天體被以不同的速度從地球發(fā)射出去的時候，它的軌跡分別是圓，橢圓，拋物線，雙曲線這涉及到物理中所講的三大宇宙速度.師：這是荊門熱電廠的通風(fēng)塔，同學(xué)們見過嗎？我們作它的軸截面，取出兩側(cè)的輪廓線，是什么曲線？生：雙曲線.師：這是橄欖球和探照燈.它們的表面分別是由橢圓和拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周而來（顯示旋轉(zhuǎn)動畫）為什么探照燈要做成這種形狀呢，只是為了美觀嗎？生：應(yīng)該是為了實用性.師：實際上由于圓錐曲線具有特殊的光學(xué)性質(zhì)，在生產(chǎn)生活中

10、具有廣泛的應(yīng)用請同學(xué)們也來解決一個問題，請看傳說：杰尼西亞的耳朵”：據(jù)說，很久以前，意大利西西里島有一個山洞，敘拉古的暴君杰尼西 亞把一些囚犯關(guān)在這個山洞里.囚犯們多次密謀逃跑，但每次計劃都被杰尼西亞發(fā)現(xiàn).起初囚犯們認(rèn)為出了內(nèi)奸，但始終未發(fā)現(xiàn)告密者.后來他們察覺到囚禁他們的 山洞形狀古怪，洞壁把囚犯們的話都反射到獄卒耳朵里去了，于是囚犯 們詛咒這個山洞為“杰尼西亞的耳朵”.師：其中的奧秘，同學(xué)們解開了嗎？生：囚洞的剖面近似于橢圓，犯人聚居的地方恰好在橢圓的一個焦點附近，獄卒在另一個焦點處偷聽.師：很好！恭喜你揭開了這個奧秘！這里是聲波，不過聲波和光波具有相同的傳播性質(zhì).【評析】用傳說創(chuàng)設(shè)情境，

11、激發(fā)學(xué)生興趣，達(dá)到引入課題的目的師：事實上有很多美麗的建筑也與圓錐曲線有關(guān)，比如拋物面形天線，雙曲線形建筑. 師：噴泉是什么形狀？生：拋物線.師：中國國家大劇院美嗎 ？生：很美【評析】 了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作 用，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣3定義探究師：既然到處都有圓錐曲線美麗的身影， 那么我們就有必要了解和研究它們， 如何了解呢 ? 首先就要知道它的定義那么圓錐曲線的定義是怎樣的呢?我們重點看一看橢圓的定義請大家思考這樣的問題：（ 1）繩子一端固定在平整草地上，另一端拴著一只羊，小羊活動的最大邊界是什么曲線?生：圓師：圓的定義是什么 ?生：平

12、面內(nèi)到兩定點的距離等于定長的點的軌跡（ 2）繩子兩端都固定在草地上（繩長大于兩固定點間的距離），繩上套個小環(huán)，環(huán)上拴一只羊，小羊活動的最大邊界是什么曲線 ?師：我們請每組同學(xué)相互配合，來畫出小羊活動的最大邊界（事先發(fā)給學(xué)生每組一塊黑板，兩個圖釘，一根繩子，繩長 2a 40cm ； 每組選一位同學(xué) 做代表畫圖，學(xué)生畫圖，老師走動，指導(dǎo)；畫完后請三組畫的好一些的，2c 的取值不同的三位同學(xué)拿著黑板上臺展示 ）【評析】 學(xué)生以小組為單位相互配合，動手操作，體驗自主、合作的探究理念，印象更加 深刻師：這三個橢圓，給我們最直觀的感受，區(qū)別在哪兒 ? 生：扁平程度不同師：你覺得橢圓的扁平程度與什么有關(guān) ?

13、 生：兩定點間的距離，繩長師：很好！我來采訪一下，這位同學(xué)橢圓畫得這么好，有什么訣竅嗎 ? 生：在畫的過程中要使得繩子繃直師：使得繩子繃直，也就是說 生：保證繩長為定值師：非常好！若細(xì)繩長度等于 |F1F2 |，畫出的圖形是什么 ?不妨在小黑板上試試小于呢 ? 生：繩長等于 |F1F2 |，畫出的圖形是線段 F1F2 ；小于 |F1F2 |時，畫不出任何圖形 師：同學(xué)們回答得很好那么大家能類比圓的定義，能給出橢圓的定義嗎 ?（學(xué)生歸納，互相補充，教師再匯總）橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩個定點 F1,F2 的距離的和等于常數(shù) （大于 |F1F2 |）的點的軌跡叫做橢圓，兩個定點Fi,F2叫做橢圓的焦

14、點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.即 M |MF1 | |MF2 | 2a（2a2c）.師：在前面三種用平面截圓錐的過程中，為什么第一種情況得到的截口曲線是橢圓呢事實上在19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家 Dandelin就想到一種絕妙的方法證明了這個問題.他是怎 么做的呢？讓我們一起來分享一下：（Dan deli n雙球證法）如圖， Da ndelin在截面的兩側(cè)分別放置一個球，使它們都與截面相切（切點分別為f1,f2 ），且與圓錐的側(cè)面相切，兩球與圓錐側(cè)面的公共點分別構(gòu)成圓01和圓。2 .設(shè)點M是截口曲線上任一點，Dandelin過M點作圓錐的一條母線（輔助線）分別交圓Oi和圓02于P, Q兩點.現(xiàn)在我

15、們要證明點 M的軌跡是橢圓，用我們剛剛得到的橢 圓的定義，如何來證明呢？根據(jù)定義，只需證明M點到某兩個定點的距離之和為常數(shù) 即可.應(yīng)該是哪兩個定點呢 ？是f1,f2嗎？（學(xué)生探討，說明F1,F2為何是定點.）師：好！我們只需證明 |MF1| |MF2|為定值即可.下面請同學(xué)們以小組為單位，開始討 論.（學(xué)生分組討論，老師走動指導(dǎo)）（幾分鐘后，相關(guān)小組的代表上臺講解）學(xué)生講解圖中所示線段長度之間的關(guān)系：|MF1 | |MP | , |MF2 | |MQ |，并說明理由：因為過球外一點所作球的切線段的長相等.故| MR | | MF2 |MP | |MQ | |PQ | .師：線段PQ的長度是常數(shù)

16、嗎？生：|PQ|是常數(shù).師：為什么？生：|PQ|VP| |VQ|，即為圓臺的母線.師：也就是說，截口曲線上任意一點到兩個定點 F1,F2的距離的和等于常數(shù)（大于IF1F2I）這 就說明了截口曲線是橢圓. 事實上Dandelin還利用雙球證明了截口曲線是雙曲線的情形，禾U用單球證明了截口曲線是拋物線的情形.這位卓越的數(shù)學(xué)家實在是具有非凡的天才.【評析】介紹歷史上數(shù)學(xué)家的巧妙方法，并引導(dǎo)學(xué)生自主思考，自主講解，不僅強化了橢 圓的定義，更滲透了數(shù)學(xué)家追求完美的理性精神.4.研究方法師：讓我們再一次回到本章引言，如何來研究圓錐曲線呢？在古希臘時代是如何研究圓錐曲線的？生：幾何法.師：后來呢？生：代數(shù)的

17、方法，也就是坐標(biāo)法.師：是誰發(fā)明了坐標(biāo)系 ？生：笛卡爾.（簡要介紹笛卡爾的生平）師：事實上我們以前已經(jīng)用坐標(biāo)法研究過直線與圓了，請同學(xué)們回顧一下直線方程及方程 的形式.生：點斜式，斜截式，兩點式，截距式，一般式.師：利用直線方程，我們可以研究與直線有關(guān)的位置關(guān)系與相應(yīng)的性質(zhì)比如，我們在初 中的時候，要證明兩直線平行用的什么方法？生：若同位角相等，或內(nèi)錯角相等，則兩直線平行.師：建立了平面直角坐標(biāo)系，得到直線方程后，又是怎么判斷兩直線平行的呢？生：若兩直線斜率存在且斜率相等，截距不等，則兩直線平行.師：圓的方程有哪些形式呢 ？生：標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.師：對.如果我們將坐標(biāo)原點選取在圓心，方程又將

18、如何呢？（演示坐標(biāo)平移動畫）生：x2 y2 r2師：很好！坐標(biāo)系不同，方程的形式也不同一般來說，形式越簡單，越易于我們研究曲 線的性質(zhì).師：我們知道，圓的一般方程是一個特殊的二元二次方程，那么，更一般的形式怎樣的？2 2（屏幕顯示）Ax Bxy Cy Dx Ey F 0.（探）（探究）（探）式方程能否表示我們今天介紹的圓錐曲線的方程？在以前我們所學(xué)的函數(shù)中有沒有表示橢圓、雙曲線、拋物線的例子？請同學(xué)們相互討論一下.學(xué)生舉出反比例函數(shù)和二次函數(shù)的例子學(xué)生答完后顯示動畫，先顯示雙曲線.11師：這是反比例函數(shù) y ，我們將坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)一下.（旋轉(zhuǎn)動畫）方程還是 y -嗎?xx生：不是.師:那么方程是怎

19、樣的呢 ？（停頓片刻）我們后面再研究.師:這是二次函數(shù) y ax2 bx c（a 0），現(xiàn)在將坐標(biāo)系平移，如圖，方程變?yōu)槭裁葱问缴?2y ax .師：對，方程的形式變簡單了，對吧？旋轉(zhuǎn)一下呢？方程是一一我們后面將要學(xué)習(xí).再旋轉(zhuǎn)一下呢？生：yax2 .師：當(dāng)（探）式方程中的系數(shù)滿足一定關(guān)系的時候，就可以表示不同的圓錐曲線，所以圓 錐曲線也稱為二次曲線.【評析】由復(fù)習(xí)舊知引出新知，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.師：同學(xué)們在先前畫橢圓時， 繩長為4分米，其中有同學(xué)選取的兩圖釘間的距離為2分米，那么這個橢圓的方程如何求呢 ？第一步該做什么？生：建立平面直角坐標(biāo)系.師：如何建立平面直角坐標(biāo)系呢 ？生1:以兩定點Fi,F2所在直線為x軸，線段F1F2的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.生2 :以兩定點Fi,F2所在直線為x軸，點Fi為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系.師：分兩大組分別在兩種建系的情形下計算.（將全班學(xué)生分兩組，分別計