專題平面向量常見題型與解題指導(dǎo)

1、平面向量常見題型與解題指導(dǎo)一、考點回顧1、本章框圖2、咼考要求1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。2、掌握向量的加法和減法的運算法則及運算律。3、掌握實數(shù)與向量的積的運算法則及運算律，理解兩個向量共線的充要條件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算。5、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題， 掌握向量垂直的條件。6、掌握線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形。8、通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運用所學(xué)知識解

2、決實際問題的能力。3、熱點分析對本章內(nèi)容的考查主要分以下三類：1. 以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質(zhì).此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題.2. 以解答題考查圓錐曲線中的典型問題.此類題綜合性比較強，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為主.3. 向量在空間中的應(yīng)用 （在B類教材中）.在空間坐標系下， 通過向量的坐標的表示， 運用計算的方法研究 三維空間幾何圖形的性質(zhì).在復(fù)習(xí)過程中，抓住源于課本，高于課本的指導(dǎo)方針.本章考題大多數(shù)是課本的變式題，即源于課本.因此，掌握雙基、精通課本是本章關(guān)鍵.分析近幾年來的高考試題，有關(guān)平面向量部分突出考查了向量的基本運算。對

3、于和解析幾何相關(guān)的線段的定比分點和平移等交叉內(nèi)容，作為學(xué)習(xí)解析幾何的基本工具，在相關(guān)內(nèi)容中會進行 考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重點。總而言之，平面向量這一章的學(xué)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)，強化 運算，重視應(yīng)用。考查的重點是基礎(chǔ)知識和基本技能。4、復(fù)習(xí)建議由于本章知識分向量與解斜三角形兩部分，所以應(yīng)用本章知識解決的問題也分為兩類：一類是根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對向量進行運算，并能運用向量知識解決平面幾何中的一些計算和證明問題；另一類 是運用正、余弦定理正確地解斜三角形，并能應(yīng)用解斜三角形知識解決測量不可到達的兩點間的距離問題。在解決關(guān)于向量問題時，一是要善于運用向量的平移、伸縮、合成、

4、分解等變換，正確地進行向量的各種 運算，進一步加深對“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認識，并體會用向量處理問題的優(yōu)越性。二是向量的坐 標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過向量法和坐標法的運用，進一步體會數(shù)形結(jié)合思 想在解決數(shù)學(xué)問題上的作用。在解決解斜三角形問題時，一方面要體會向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會解斜三角形是 重要的測量手段，通過學(xué)習(xí)提高解決實際問題的能力。二、常見題型分類題型一：向量的有關(guān)概念與運算此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在復(fù)習(xí)中要充分理解平面向量的相關(guān)概念，熟練掌握向量的坐標運算、數(shù)量積運算，掌握兩向量共線、垂直的充要條件1 :已知a是以點A

5、(3, 1)為起點，且與向量b = ( 3,4)平行的單位向量，則向量 a的終點坐標思路分析：與a平行的單位向量e=士-a-|a|方法一：設(shè)向量a的終點坐標是(x,y),則a =( X-3, y+1)，則題意可知4(x3)3(y1)0(x 3)2( y + 1)21解得125或1518T，故填97丄)或(一,-)555方法二 與向量b = (-3,4)平行的單位向量是1-(-3,4)，故可得534a= (-,)，從而向量a的終點坐標是55(x,y)= a-(3, 1),便可得結(jié)果.點評：向量的概念較多，且容易混淆，在學(xué)習(xí)中要分清、理解各概念的實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向 量、同向向量、反向向

6、量、單位向量等概念例2:已知| a |=1,| b |=1 , a與b的夾角為60 , x =2 a b, y=3b a,則x與y的夾角的余弦是多少?思路分析：要計算x與y的夾角e，需求出| x|,| y|, x y的值.計算時要注意計算的準確性1 a b=| a| b| cos a =2解：由已知| a|=| b|=1 , a與 b的夾角 a 為 60要計算X與y的夾角e，需求出I x| , |y| , X y的值.2 2 2 2 2 1/1 x| =x =(2a b) =4a 4a b+b =4 4x +1=3,2| y| 2=y2=(3b a) 2=9b2 6b - a+a2=9 6x

7、1 +1=7. 2x y=(2a b) (3 b a)=6 a b 2a2 3b2+a b=7 a b 2a2 3b2 =7 x 1 2 3=-,2 2又 x y=| x| y| cos e，即一 3= 73 x V? cos e ,/ cos e =214點評：本題利用模的性質(zhì)|a|2=a2，在計算x,y的模時，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得: 如圖所示，設(shè) AB =b, AC =a, AD =2a, / BAC60 .由向量減法的幾何意義， 得BD = AD AB =2a b.由余 弦定理易得I BD |= J3，即|x|= J3，同理可得I y|= J7 .題型二：向量共線與垂直

8、條件的考查其中 R且 + =1，求點C的軌跡方程。uuuOB ,uuuLuur例1 .平面直角坐標系中，0為坐標原點，已知兩點A(3, 1) , B( 1,3),若點C滿足OC OA解：(法一)設(shè) C(x, y)，則 OC =( x, y)，由 OC =( x, y)= a (3,1)+ 卩(-1,3)=(3 a -卩，a +3 3 )(可從中解出3 )又a + 3 = 1 消去 a、卩得 x+2y-5=0(法二) 利用向量的幾何運算，考慮定比分點公式的向量形式，結(jié)合條件知:A, B, C三點共線，故點C的軌跡方程即為直線 AB的方程x + 2y 5=0,例2.已知平面向量a= ( J3 ,

9、1), b= (1 ,).(1)若存在實數(shù)k和t,便得x= a+ (t2 3)b, y= ka2 2+ tb，且x丄y，試求函數(shù)的關(guān)系式k = f(t) ； (2)根據(jù)(1)的結(jié)論，確定k = f(t)的單調(diào)區(qū)間.思路分析：欲求函數(shù)關(guān)系式 k=f(t)，只需找到k與t之間的等量關(guān)系，k與t之間的等量關(guān)系怎么得到?求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有哪些方法？(導(dǎo)數(shù)法、定義法)導(dǎo)數(shù)法是求單調(diào)區(qū)間的簡捷有效的方法?t2233),解：(1)法一：由題意知 x=(1y = ( -t V3k, t + k)，又 X丄y 一 2整理得:t3 3t 4k= 0,A(t V3 k)2憑2 朋 2 Tt + k) = 0.2法二：

10、a=(43),2a = 2,/ x丄y,A x2-y = 0，即一k a + t(t2 3) b2= 0, t3 3t 4k = 0,即 k = - t3 -t44由知:k = f(t) = 113 3 t441)和(1,+).令 k / 0 得 1 t 0 得 t 1.故k = f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一 1, 1 )，單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,一點評：第(1)問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的坐標運算分別求得兩.第(2)問中求函數(shù)的極值運用的個向量的坐標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量垂直的充要條件，其過程要用到向量的數(shù)量積 公式及求模公式，達到同樣的求

11、解目的(但運算過程大大簡化，值得注意) 是求導(dǎo)的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用 例3:已知平面向量a心，- 1) ,b =(，號)，若存在不為零的實數(shù)k和角a，使向量c = a + (sina 3) b , d = ka + (sin a ) b ,且C丄d，試求實數(shù)k的取值范圍.13 29解：由條件可得：k = ( sin a ),而一1 w sin aW 1,42161當(dāng)sin a= 1時，k取最大值1; sin a = 1時，k取最小值 -2又 kM0 k的取值范圍為評U(0.點撥與提示：將例題中的略加改動,舊題新掘，出現(xiàn)了意想不到的效果， 很好地考查了向量與三角函數(shù)、不等式綜合運

12、用能力.例4:已知向量a (1j2),b(72,1)，若正數(shù)k和t使得向量x a (t2 1)b與 yka嚴垂直，求解：x yX y 0即a(t21)b?( ka1b)ka2 ifk(t 1)a b a(Ij2),b( 72,1), I a 1=73, lb 1=43b = 72 +72 ,代入上式3k + 31t1當(dāng)且僅當(dāng)t= 1，即t=1時，取“=”號，即k的最小值是2.t題型三：向量的坐標運算與三角函數(shù)的考查向量與三角函數(shù)結(jié)合，題目新穎而又精巧，既符合在知識的“交匯處”構(gòu)題，又加強了對雙基的考查例 7.設(shè)函數(shù) f ( X)= a b，其中向量 a= (2cos x , 1), b= (c

13、os x,sin2 x), x R. (1 )若 f( x) = 1 品且x ,，求x； ( 2)若函數(shù)y= 2sin2 x的圖象按向量 c = (m , n) ( m33 )平移后得到函數(shù)y= f( x)2的圖象，求實數(shù)m n的值.思路分析：本題主要考查平面向量的概念和計算、平移公式以及三角函數(shù)的恒等變換等基本技能,解：(1)依題設(shè)，f(x)=( 2cosx,1) (cosx,J3sin2x)= 2cos2x3 sin2 x = 1 + 2sin(2 xT)6由 1 + 2sin(2 x+ )=1 ，得 sin(2 x T)6 65w xw ,w 2x + w 33266 2x+ =一 ,即

14、 x =634(2)函數(shù)y = 2sin2 x的圖象按向量 c =( m , n)平移后得到函數(shù) y = 2sin2( X m)+n的圖象，即函數(shù) y =f( X)的圖象.由(1)得 f (x) = 2sin2(x 了 1 nn=, n 1.12點評： 把函數(shù)的圖像按向量平移，可以看成是C上任一點按向量平移，由這些點平移后的對應(yīng)點所組成的圖象是C,明確了以上點的平移與整體圖象平移間的這種關(guān)系，也就找到了此問題的解題途徑.一般地，函數(shù)y = f ( X)的圖象按向量a= (h , k)平移后的函數(shù)解析式為y k = f (x h)、例 8:已知 a= (cos a , sin a ) , b=

15、( cos 3 , sin 3 ) (0 a 3 n ) , (1)求證：a+b與 a- b互相垂直；(2)若ka+b與a-kb的模大小相等(k R且kmo)，求3 a解：(1)證法一： a= (cos a , sin a ) , b= (cos 3 , sin 3 )- a+b =( cos a +cos 3 , sin a + sin 3 ) ,a- b=( cos a - cos 3 , sin a - sin 3 )- (a+b) (a- b)= (cos a +cos 3 , sin a + sin 3 ) (cos a -cos 3 , sin a- sin 3 )22 c ,2.

16、2 c c=cos a - cos 3 +Sin a - Sin 3 =0 (a+b)丄(a- b)證法二： a= (cos a , sin a ) , b= ( cos 3 , sin 3 )2 2 2 2 (a+b) (a-b)= a-b=|a| -| b| =0丨 a| = 1, | b| = 1/ (a+b)丄(a- b)證法三：a= (cos a , sin a ) , b= ( cos 3 , sin 3 )|b| = 1,記 OA = a, OB = b,則 |0A| =|0B|=1,又a M 3 , O A B三點不共線.由向量加、減法的幾何意義，可知以0A 0B為鄰邊的平行四邊形OACBi菱形，其中 OC = a+b, BA = a-b,由菱形對角線互相垂直，知(a+b)丄(a-b)(2)解：由已知得| ka+b|