冪函數(shù)(高一新教材A版必修第一冊

1、專函數(shù)自主預(yù)習(xí)。探新Ml口新知初探口1. 幕函數(shù)的概念一般地，函數(shù)丫=屮叫做幕函數(shù),其中丄是自變量，幺是常數(shù).2. 幕函數(shù)的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫岀幕函數(shù)）=?。?宀）=x y=J, y=xl的圖象如圖所示:3幕函數(shù)的性質(zhì)y=x=界y=x1y=A?y=xl定義域RRR0, +8)值域R0, +8)R0, +8)奇偶性奇偶童非奇非偶童單調(diào)性增函數(shù)用0, +8） 時，壇函數(shù) xe（-oo, o 時，邀函數(shù)壇函數(shù)壇函數(shù)時，減函數(shù)%E（oo, 0）時，減函數(shù)初試身手?。?. 下列函數(shù)中不是幕函數(shù)的是（）A. y=xB y=x3C. y=3xD. y=xC 只有y=3x不符合幕函數(shù)y=的形式，故

2、選C.2. 已知滄)=(?+1)腫+2是幕函數(shù)，則加=()A. 2B. 1C. 3D. 0D 由題意可知加+1 = 1,即加=0, A/(x)=x2.3. 已知幕函數(shù)的圖象過點(2,半)，則幾4)=I 由斤2)=半可知2。=，即a=12 1幾4)=4=2-合作探究？幄素弄 - -幕函數(shù)的概念空型2【例1】 已知y=(w2+2m2)yw 當(dāng) A-e(-oo, 0)U(l, 4-00)時，ntg(x)；+2n3是幕函數(shù)，求m川的值.nr+2m 2= 1, 加2_1工0, 2n-3=0,加=一 3,所以? = 3,規(guī)律方法判斷一個函數(shù)是否為幕函數(shù)的方法判斷一個函數(shù)是否為幕函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=

3、l(a為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一 個無的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.働跟蹤訓(xùn)練1. (1)在函數(shù))=右，)=，y=x2+x, y=中，幕函數(shù)的個數(shù)為()A. 0B. 1C. 2D. 3(2)若函數(shù)用)是幕函數(shù)，且滿足/(4) = 3/(2),則眉)的值等于.(1) B (2)| (1)：了=寺=八，.是幕函數(shù)；=2由于出現(xiàn)系數(shù)2,因此不是幕函數(shù)；$=壬+尤是兩項和的形式，不是幕函數(shù)；y= 1 =x(xO),可以看出，常函數(shù)y= 1的圖象比幕函數(shù)y=x的圖象多了一個點(0,1),所以常 函數(shù)y= 1不是幕函數(shù).(2) 設(shè) f(x)=xa,7(4)

4、 = #(2), 0=3X23 解得 a=logz3, /|)=(|)g21 當(dāng) A=1 時，/(x)=g(x): 當(dāng) 00,1)時，f(x)g(x)； (2)/(x)=g(x)；解設(shè)金)=対，g(x)=戲麗a=2, (-2/=-|,/=2, /?= 1,5)=啟g(x)=x.分別作出它們的圖象,如圖所示.由圖象知，8跟蹤訓(xùn)練2. (1)若四個幕函數(shù))=也y=Z,)=M在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖, 則b, c, 的大小關(guān)系是()A. clcbaB. abcdC. clcabD. abclcB (2)B令 a=2, b=，c= 1,正好和題目所給的形式相符合.在第一象限內(nèi)，x=l的右側(cè)部分的圖象，

5、圖象由下至上，幕指數(shù)增大，所以Qbcd.故選B.(2)y=*的圖象位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)/ 1的圖象可看作 由)，=的圖象向下平移一個單位得到的(如選項A中的圖所示)，將y=-的圖象關(guān)于x軸對稱E 即為選項B.幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用空型3探究問題1. 幕函數(shù))，=屮在(0, +)上的單調(diào)性與a有什么關(guān)系？提示：當(dāng)a0時，幕函數(shù)yif在(0, +8)上單調(diào)遞增：當(dāng)a0時，幕函數(shù))=屮在(0, +) 上單調(diào)遞減.2. 2.372和2.2一2可以看作哪一個函數(shù)的兩個函數(shù)值？二者的大小關(guān)系如何？提示：2.3-02和2.2 可以看作幕函數(shù)y(x)=x02的兩個函數(shù)值，因為函數(shù)f

6、(x)=x02在(0, +) 上單調(diào)遞減，所以2.3_0-2=x3是增函數(shù)，且0.21 0.23,A0.213亍11,且）=/在0, +8）上單調(diào)遞増,1.2.|罟卜1.1*, 即 1.2*0.9 2vn.母題探究把本例的各組數(shù)據(jù)更換如下，再比較其大小關(guān)系:皿在0, +8）上是單調(diào)遞增的,因為幕函數(shù)）=廠在（一8, 0）上是單調(diào)遞減的,比較無的大小時若指數(shù)相同，則利用專函數(shù)的單調(diào)性比較大小；若底數(shù)、指數(shù)均不同，則考慮用 中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1” .了遽堂心績匚1. 判斷一個函數(shù)是否為幕函數(shù)，其關(guān)鍵是判斷其是否符合），=屮為常數(shù)）的形式.2. 幕函數(shù)的圖象是幕函數(shù)性質(zhì)的

7、直觀反映，會用類比的思想分析函數(shù)），=屮為常數(shù)）同五個函 數(shù)0=x，y=, y=x y=xlf y=）圖象與性質(zhì)的關(guān)系.3. 幕函數(shù)的單調(diào)性是比較幕值大小關(guān)系的重要依據(jù)，要學(xué)會用幕函數(shù)的圖象及性質(zhì)處理幕值大 小的比較問題.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)。1. 思考辨析（1）幕函數(shù)的圖象都過點（0,0）, （1,1）.（）（2）幕函數(shù)的圖象一定不能出現(xiàn)在笫四象限.（）當(dāng)幕指數(shù)a取1,3,扌時，幕函數(shù)是增函數(shù).（）（4）當(dāng)幕指數(shù)a= l時，幕函數(shù) ，=屮在定義域上是減函數(shù).（）答案(1)X(2)V(3) J (4)X2. 幕函數(shù)的圖象過點（2,邁），則該幕函數(shù)的解析式是（）A. y=xlB y=xC. y=x2D. y

8、=x3B 設(shè)/（勸=屮，則2。=&,1.a=/（兀）=屮選B3.函數(shù)），=的圖象是（45C 函數(shù)y=x是非奇非偶函數(shù)，故排除A、B選項.又故選CJ4 比較下列各組數(shù)的大小:(1) 3 與 3.1 :23(2) 4氏 3.8 , (-1.9)一 2解(1)因為函數(shù)=x在(0, +8)上為減函數(shù),55一 T一亍2 222十T(2)4.PP=L03.8 1 =1,又33.1巧，-3-5而(-1.9)3.8 (-1.9)課后作業(yè)幕函數(shù)（建議用時：60分鐘）合格基礎(chǔ)練一、選擇題1.已知幕函數(shù)f（x）=k 的圖象過點G，血），則k+a等于（）A*B. 1C.|D. 2A 幕函數(shù)/（力=也伙WR, aGR）

9、的圖象過點（*,迄）,上=1, G）=（h= 即 =；+a=2如圖所示，給出4個幕函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)的大致對應(yīng)是（）A.B.C.D.y花0Xy=，y=x2,y=x2,y=云，y=xy=”，y=，y=x y=xy=0,y=衣，y=x2f y=x因為的定義域為r且為奇函數(shù)，故應(yīng)為圖;，=/為開口向上的拋物線且頂點為原點,應(yīng)為圖.同理可得出選項B正確.3. 幕函數(shù)的圖象過點（3,羽），則它的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. 1, +）B. 0, +）C. （8, 4-00）D. （8, 0）B 設(shè)幕函數(shù)為f（x）=xa9因為幕函數(shù)的圖象過點（3,羽），所以/（3） = 3。=羽=克 解得a=所以所以幕函

10、數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0, +）,故選B.3廠則使函數(shù)，=屮的定義域是R,且為奇函數(shù)的所有a的值是（）I4設(shè) a 1, 1, 2tA. 1,3B 一1,1C1,3D1,1,3A 當(dāng)a= 1時，y的定狡域是xLtHO,且為奇函數(shù)；當(dāng)a=l時，函數(shù)y=x的定義域是R,且為奇函數(shù)；當(dāng)a=4時，函數(shù)），=左的定茨域是xLrO,且為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)a=3時，函數(shù) 的定艾域是R且為奇函數(shù).故選A.5. 幕函數(shù)f（x）=xa的圖象過點（2,4）,那么函數(shù)/（勸的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. (-2, +8)B. -1, +8)C. 0, +8)D. (一8, -2)C 由題意得4=2a,即22 = 2a,所以a=2.

11、所以/(x)=*所以二次函數(shù)幾巧的單調(diào)遞增區(qū)間是0, +8).二、填空題6. 已知幕函數(shù)f(x) = xJtl的圖象經(jīng)過點血則斤6)=.尋依題意*=(羽) = 3?,所以#= 1,加=2,所以f(x)=x2,所以/(6) = 6_2=.7. 若幕函數(shù)f(x) = (nrm 1 )x2/M 3在(0, + 8)上是減函數(shù)，則實數(shù)m=.-19：J(x)=(m2-m-)x2,n3 為幕函數(shù)， nrm 1 = 1, ？ = 2 或加=1.當(dāng)in = 2時，f(x)=x,在(0, +8)上為增函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng)“?= 1時，/(x)=x-5,符合 題意.綜上可知，加=1.8. 若幕函數(shù)y=xhm,

12、 nGN*且加，“互質(zhì))的圖象如圖所示，則下列說法中正確的是.m, n是奇數(shù)且彳vl；加是偶數(shù)，是奇數(shù)，且牛1；加是偶數(shù)，“是奇數(shù)，且細(xì);加, 是偶數(shù)，且牛1. 由題圖知，函數(shù))，=云為偶函數(shù)，加為偶數(shù)，n為奇數(shù)，又在第一象限向上凸”，所以律vl, 選.三、解答題9. 已知函數(shù)妙=(加2+2加)加為何值時，函數(shù)/U)是：正比例函數(shù)；反比例函數(shù)； 幕函數(shù).解(1)若函數(shù)幾I)為正比例函數(shù)，則w2 + /?71 = 1,1 :.m=.(2) 若函數(shù)/U)為反比例函數(shù)，則p?72 + /M1 = 1,I o ,/ m 1.1廣+2加$0,(3) 若函數(shù)幾。為幕函數(shù)，則/zr+2/n=l,加=一1仕1

13、0. 已知幕函數(shù)y=/U)經(jīng)過點(2,甘.(1) 試求函數(shù)解析式；(2) 判斷函數(shù)的奇偶性并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解(1)由題意，得/(2) = 2=|,即=3,故函數(shù)解析式為f(x)=x(2Y：f(x)=x吉，要使函數(shù)有意義，則g),即定爻域為(-00, 0)U(0, +,關(guān)于原點對 稱.*7(-x) = (-x)-=-x3= -f(x),該幕函數(shù)為奇函數(shù).當(dāng)x0時，根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)=x3在(0, +oo)上為減函數(shù)，函數(shù)/U)是奇函數(shù)，在 (00, 0)上也為減函數(shù)，故其單調(diào)減區(qū)間為(00, 0), (0, +oo).等級過關(guān)練1.函數(shù)y=x $在區(qū)間2上的最大值是()-B.C4

14、D一4C 函數(shù)=x-2在區(qū)間g, 2上為減函數(shù)，所以當(dāng)x=g時有最大值4./)=&:/*)=其中滿足條件耳門2.給出幕函數(shù)：J(x)=x；/儀)=疋；J(x)=x：幾(XAY20)的函數(shù)的個數(shù)是()A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個A 函數(shù)jx)=x的圖象是一條直線，故當(dāng)xiX20時，/( y).函數(shù)f(x)=x2的圖象是凹形曲線，故當(dāng)XiX20時，/； : 在第一象限，函數(shù)f(x)=的圖象是凹形曲線，故當(dāng)XiX20時，/；; 函數(shù)f(x)=x的圖象是凸形曲線，故當(dāng)X1 X20時，/!; 在第一象限，函數(shù)/(力=丄的圖象是一條凹形曲線，A故僅有函數(shù)/()= &滿足當(dāng)XlX20時,彳寧)型護故選A.3. 幕函數(shù)九)=衛(wèi)心(隹N)在(0, +呵上是減函數(shù)，且_Ax)=/W，則加可能等于1幕函數(shù)幾)=0廠5伽EN)在