正弦和余弦的相互關(guān)系

1、正弦和余弦的相互關(guān)系公式 教學(xué)目標(biāo) 1 使學(xué)生理解正、余弦相互關(guān)系的兩個公式的推導(dǎo)過程，理解公式成立的條件，并能 利用它們及其變形公式解答一些基本問題； 2 通過公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般提出猜想和發(fā)現(xiàn)問題的能力； 3 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識結(jié)構(gòu)總結(jié)問題的能力。 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 公式的推導(dǎo)和應(yīng)用是重點(diǎn)；而公式的應(yīng)用又是難點(diǎn)。 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 一、從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)提出問題 （投影）問：直角三角形有什么性質(zhì)？（圖 ca, cb a+b c, a2+b2=c2。 / A+ / B=90。 邊的關(guān)系: 6-13) B 角的關(guān)系： 邊角關(guān)系： 教師歸納指出：由此可見，在一個直角三角形中，由于三邊之

2、間，兩個銳角之間和邊角 之間都有一定的關(guān)系，而正弦和余弦又是表示直角邊和斜邊的比值， 余弦之間有什么樣的相互關(guān)系？這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的問題。 二、互為余角的正、余弦相互關(guān)系公式的教學(xué)過程 1 復(fù)習(xí)特殊角三角函數(shù)值。 （邊問邊按下列格式打出投影片，如圖 si n30 = si n60 = sin45 = 問：你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 答：sin30 =cos60 , sin60 =cos30 2 .從特殊到一般提出猜想。 猜想：設(shè) A和B互為余角，則：sinA=cosB , cosA=s inB。 3 證明猜想，形成公式。 （采取學(xué)生口述，教師板演，在此基礎(chǔ)上歸納出互為余的 正、余弦相互關(guān)系的三種

3、表達(dá)形式。） 互為余角的正、余弦的相互關(guān)系： （1）若/ A+ / B=90 ，貝U sinA=cosB，或 cosA=sinB。 （2）sin a =cos （90 - a ）, 或 cos a =sin （90 - a ）o （3）數(shù)學(xué)語言敘述：任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值， 它的余角的正弦值。 練習(xí)1 sin 37 (2) (3) （口答） =cos sin47 -cos43 sinA=a/c , cosA=b/c , 4 .應(yīng)用公式，變式練習(xí)。 因此自然要問：正弦和 （板書課題） 6-14) cos60 cos30 cos45 ,sin45 =cos45 cos62 =sin

4、cos 18 sin 72 4 1 圖 6-14 任意銳角的余弦值等于 例 1（1）已知 sinA=1/2，且/ B=90 -/ A。求 cosB; （2）已知 sin35 =0.573 6，求 cos55; （3）已知 cos47 6/ =0.680 7,求 sin42 54，。 分析：觀察每小題兩銳角的關(guān)系均為互余兩角，都可運(yùn)用上述關(guān)系式。 2 2 二、sinA+cosA=1的教學(xué)過程 1. 從學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)講授sin 2A+cos2A=1 ”公式 （投影）如圖 6-15 , ABC 中，/ C=90 。 2 2 2 復(fù)習(xí)：a+b c, a +b =c。 a - b a 亠ba b a

5、 b 引導(dǎo)：1,21,1,飛 二1。 ccc c c c 發(fā)現(xiàn)：sinA+cosA1 , sin A+cos A=1。 由此得到sinA, cosA相互關(guān)系的兩條性質(zhì)：（A為銳角） （1）sinA+cosA1 , （了解） 2 2 （2）sin A+cos A=1。（重點(diǎn)） 對于（1 ）要求學(xué)生了解；（2）要求學(xué)生理解和掌握。所以下面講公式（2）的變形和 應(yīng)用。 2 2 2. 理解公式 sin A+cos A=1 2 2 sin A+cos A=1 , sinA= . 1 一 cos 2 A , 2 cosA= ,1 -sin A。 3. 解公式成立的條件。 4. 應(yīng)用舉例，變式練習(xí)。 練習(xí)2

6、 (口答)下列等式是否成立? (1) sin230 +cos245 =1; 2 2 (3) cos 56 +sin 56 =1; (5) sin2 a +sin2 (90 - a ) =1。 和幾種變形。 2 2 sin A=1-cos A= (1+cosA) (1-cosA ), 2 2 cos A=1-sin A= (1+sinA ) (1-sinA ), 2 2 (2) sin 37 +sin 53 =1; 2 2 (4) sin 46 +cos 46 =1; 例2 已知/ A為銳角，且cosA= 。求sinA的值。 13 解：因?yàn)閟in2A+cos2A=1，且/ A為銳角，所以 / 2

7、 12 2 5 sinA= 1cos A =、1 （）=。 X 1313 教師指出：解題時，根據(jù)sin2A+cos2A=1，當(dāng)/ A為銳角時，已知 cosA可求sinA,同 樣已知sinA也可以求cosA，利用上面的公式，還可以將式子化簡。 4 2 2 2 例 3 化簡：sin A+sin A cos A+cos A。 （/ A 為銳角） 分析：由于原式中的指數(shù)為2和4，且底數(shù)為sinA和cosA，于是從結(jié)構(gòu)上聯(lián)想到 “ sin 2A+cos2A=1 ”這個公式。 解：sin4A+sin2A cos2A+cos2A 222 2 =sin A （ sin A+cos A） +cos A 22 =

8、sin A+cos A 例 4 已知： ABC 中，/ C=90 , AC=2 , 5 , BC=4，如圖 6-16。 求 sinA, cosA, sinB , cosB。 解: AB= . AC 2 BC 2 =(2 . 5)4? =6，所以 BC2AC寸 5 sinA= =, cosA= = AC3AB3 sinB=sin (90 -A) V 5 =cosA= cosB=cos (90 2 -A) =sin a=。 3 這里求cosA，也可用 2 cosA= 1 -sin A 來求。 圖 6-16 四、小結(jié)(投影) 1.先提出以下問題： (1) 這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪兩個公式？它們是根據(jù)什么知識推

9、導(dǎo)出來的? (2) 應(yīng)用這兩個公式時應(yīng)注意什么問題？ 2在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師總結(jié)指出： 至今為止，我們學(xué)習(xí)了四條性質(zhì)： (1)(投影下述知識結(jié)構(gòu)) (2)注意：公式成立的條件均為銳角，在第三個公式中，還要注意兩個角是互余關(guān)系； 在第四個公式中同角的條件，還要善于靈活變形應(yīng)用。 五、作業(yè)(投影) 1. 把一列各角的正弦(余弦)改寫成它的余角的余弦(正弦)： (1) sin32;(2) cos75;(3) sin54 19;(4) sin41 53。 2. 填空： (1) 已知：sin67 18 =0.922 5，貝U cos22 42 = 。 (2) 已知：cos4 24 =0。997 1,貝

10、U sin85 36 = 。 3. 在 ABC中，/ C=90,Z A，/ B,Z C所對的邊分別為 a, b, c,先根據(jù)下列條 件求出/ A的正弦值和余弦值，然后說出/B的正弦值和余弦值： (1) a=2, b=1 ;(2) a=3, c=4 ;(3) b=2,c= . 29 ;( 4) a=4 .一 5 , b=8。 8 4 .設(shè)/ A為銳角，且sinA=，求cosA。 17 選作：已知：/ A和/ B (/ A / B )是一個直角三角形的兩個銳角，并且si nA , si nB 是方程4x2-2kx+k-仁0的兩個實(shí)根。 求：(1) k的值；(2)Z A和/ B的度數(shù)。 k 略解：因

11、為/ A與/ B互余，所以sinB=cosA，由根與系數(shù)關(guān)系：sinA+cosA=, 2 sinA - cosA= k -1 4 。由 sin2A+cos2A=( sinA+cosA ) 2-2sinA -cosA=1 得：k2-2k-2=0 ,即 k=1- , 3 (舍)，k=1+ ,3，由/ A / B,所以/ A=60。，/ B=30 。 板書設(shè)計(jì)(略) 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明 這份教案為1課時，講授兩個公式?；橛嘟堑恼?、余弦的相互關(guān)系，是運(yùn)用“歸納 發(fā)現(xiàn)法”講授的，而“ sin 2A+cos2A=1 ”則是運(yùn)用“演繹發(fā)現(xiàn)法”講授的。因?yàn)閿?shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn) 不都是歸納發(fā)現(xiàn)，而演繹發(fā)現(xiàn)是大量存在的，特別是高年級更是如此。這樣講授，對培養(yǎng)學(xué) 生從不同角度發(fā)現(xiàn)問題是有好處的。 顯然“ sin2A+