導(dǎo)數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

1、導(dǎo)數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思浙江師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院（浙江省泰順縣第一中） 何向陽(yáng)摘要：基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）的公布標(biāo)志著新一輪課程改革的開(kāi)始，其觀(guān)念之新，范圍之廣，力度之大，是建國(guó)以來(lái)所少見(jiàn)的，也是我國(guó)近代教育所少見(jiàn)的。如何讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的。筆者借助幾何畫(huà)板引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，以高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)部分為例，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)教師的模擬演示實(shí)驗(yàn)、學(xué)生的驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)和探索實(shí)驗(yàn)，在教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)師生之間、生生之間生動(dòng)而豐富的“協(xié)作”、“會(huì)話(huà)”，完成對(duì)幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識(shí)。突破了由于數(shù)學(xué)邏輯推理的復(fù)雜性、學(xué)生認(rèn)知水平的不足而帶來(lái)的思維困難，極大地改善了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維環(huán)境。關(guān)鍵

2、詞：幾何畫(huà)板 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 數(shù)學(xué)教學(xué) 實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)是指在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中運(yùn)用數(shù)、空間和排列等數(shù)學(xué)元素和方法進(jìn)行的系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)。縱觀(guān)數(shù)學(xué)發(fā)展史，數(shù)學(xué)家們總是通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)可能的數(shù)學(xué)事實(shí)，然后再給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明?？梢?jiàn)在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有著非常重要的作用。近年來(lái)由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)展示了前所未有前景，為數(shù)學(xué)教育提供了探索和發(fā)現(xiàn)的工具，正影響著教師的教與學(xué)生的學(xué)。下面是我在幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)中利用幾何畫(huà)板開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的嘗試。聯(lián)系實(shí)際，提出科學(xué)問(wèn)題問(wèn)題1：如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為1cm的圓周上逆時(shí)針做勻角速運(yùn)動(dòng)，角速度為1rad/s，設(shè)A為起始點(diǎn)。（1）求時(shí)刻t時(shí)，點(diǎn)P在y軸上的射影點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程；（2

3、）求點(diǎn)M在時(shí)刻t時(shí)的速度。（利用幾何畫(huà)板課件模擬質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)）問(wèn)題2：（1）試用導(dǎo)數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y=3，y=，y=；（2）由（1）的結(jié)果，你能總結(jié)出這些函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般規(guī)律嗎？（3）當(dāng)nQ時(shí)，公式是否成立？教學(xué)中，我讓學(xué)生分組完成這兩個(gè)問(wèn)題，漸漸地，各學(xué)習(xí)小組為了求y=sinx、y=xn（nQ）的導(dǎo)數(shù)，陷入了困境。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀(guān)認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者對(duì)新信息的意義主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。面對(duì)學(xué)生呈現(xiàn)出的認(rèn)知沖突，我沒(méi)有直接給出結(jié)論，而是啟發(fā)學(xué)生從導(dǎo)數(shù)的幾何意義入手，從函數(shù)的圖象上探索解決問(wèn)題的方法。得到了教師的點(diǎn)拔，學(xué)生開(kāi)始有了想法。學(xué)生（以下簡(jiǎn)稱(chēng)S）1：如能畫(huà)出導(dǎo)數(shù)的圖象就好辦了，我們也許可以從圖

4、象上得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教師（以下簡(jiǎn)稱(chēng)T）：這想法好，從原函數(shù)出發(fā)，能畫(huà)出導(dǎo)數(shù)的圖象嗎？畫(huà)函數(shù)的圖象常用什么方法？S2：有了，用描點(diǎn)法，先畫(huà)出曲線(xiàn)y=f (x)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線(xiàn)，并想辦法求它的斜率k，便可描出點(diǎn)(x0，k)，則點(diǎn)(x0，k)是y=f(x)的導(dǎo)數(shù)圖象上的點(diǎn)。S3馬上說(shuō)：你的想法好是好，現(xiàn)實(shí)嗎？S2：可以呀，通過(guò)幾何畫(huà)板就能做到。T：幾位同學(xué)分析得很好，使用“幾何畫(huà)板”時(shí)，點(diǎn)(x0，k)只需畫(huà)一點(diǎn)就行了，通過(guò)“幾何畫(huà)板”的追蹤功能，拖動(dòng)曲線(xiàn)的切點(diǎn)便可輕松得到導(dǎo)數(shù)的圖象。下面就請(qǐng)幾何畫(huà)板幫忙，看看能得到什么。實(shí)例分析：以幾何畫(huà)板教學(xué)軟件為平臺(tái)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是模擬實(shí)驗(yàn)環(huán)境進(jìn)行教

5、學(xué)的新型教學(xué)模式，是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合的理想模式之一。教師通過(guò)信息技術(shù)手段，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，主動(dòng)、積極、批判地思考，發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。實(shí)驗(yàn)1：函數(shù)y= xn（nQ）的導(dǎo)數(shù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）學(xué)會(huì)用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義。實(shí)驗(yàn)步驟（1）繪制函數(shù)y=xn(n= )及y=nxn-1的圖象；（2）用自定義工具作過(guò)y=xn的圖象上點(diǎn)P處的切線(xiàn)；（3）度量P的橫坐標(biāo)xP及切線(xiàn)的斜率k，繪制點(diǎn)A（xP，k），并觀(guān)察點(diǎn)A（xP,k）與函數(shù)y=nxn-1的圖象有什么關(guān)系。拖到點(diǎn)P時(shí)，看到了什么現(xiàn)象？這說(shuō)明了什么？（4）在y=

6、nxn-1的圖象上任一點(diǎn)B，度量B的橫、縱坐標(biāo)xB、yB；（5）繪制直線(xiàn)y= yB(x-xB)+ xBn，并觀(guān)察直線(xiàn)與函數(shù)y=xn的圖象有什么關(guān)系。拖到點(diǎn)B時(shí)，看到了什么現(xiàn)象？這說(shuō)明了什么？（6）通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)愕玫搅耸裁唇Y(jié)論？實(shí)驗(yàn)分析S4：我們小組取n=0.5。拖到點(diǎn)P時(shí)，看到了點(diǎn)A（xP，k）在y=0.5x-0.5的圖象上運(yùn)動(dòng)，這說(shuō)明了y=x0.5的導(dǎo)數(shù)圖象上的點(diǎn)在y=0.5x-0.5的圖象上；拖到點(diǎn)B時(shí)，看到直線(xiàn)與函數(shù)y=x0.5的圖象始終保持相切，這說(shuō)明了點(diǎn)B在y=x0.5的導(dǎo)數(shù)圖象上；因此我們小組得出的結(jié)論是：公式中的n可以是有理數(shù)。通過(guò)反饋得知，選做這個(gè)實(shí)驗(yàn)的其他各小組同學(xué)雖指數(shù)的取值各

7、不相同，卻都得到了相同的結(jié)論。實(shí)驗(yàn)2：函數(shù)y= sinx和y= cosx的導(dǎo)數(shù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）學(xué)會(huì)用實(shí)驗(yàn)探求函數(shù)y=sinx、y=cosx的導(dǎo)數(shù)；（2）體驗(yàn)幾何畫(huà)板作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具，感受創(chuàng)新的快樂(lè)；（3）學(xué)會(huì)探索、歸納、完成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)步驟（1）繪制函數(shù)y=sinx和y=cosx的圖象；（2）用自定義工具作過(guò)y=sinx或y=cosx的圖象上點(diǎn)P處的切線(xiàn)；（3）度量P的橫坐標(biāo)xP及切線(xiàn)的斜率k，繪制點(diǎn)A（xP，k），并追蹤點(diǎn)A；拖到點(diǎn)P時(shí)，看到了什么？（4）得到的蹤跡是誰(shuí)的圖象，試根據(jù)點(diǎn)A的蹤跡寫(xiě)出它的函數(shù)關(guān)系式。（5）通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)愕玫搅耸裁唇Y(jié)論？實(shí)驗(yàn)分析S5：我們小組通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的蹤跡是

8、余弦函數(shù)y=cosx的圖象，也就是y=sinx的導(dǎo)數(shù)的圖象，這說(shuō)明正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù)，即。S6：我們小組通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的蹤跡剛好是正弦函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位，即。S7：如畫(huà)出y=sinx的圖象，你會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A的蹤跡與y=sinx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此有 以上三個(gè)實(shí)驗(yàn)分小組完成，每小組承擔(dān)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，教師巡邏指導(dǎo)，并指點(diǎn)計(jì)算機(jī)操作能力較弱的學(xué)生借助課件里的幫助文本進(jìn)行作圖，最終成功地發(fā)現(xiàn)了幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。案例分析，反思實(shí)驗(yàn)教學(xué)建構(gòu)主義理論把“情景”、“協(xié)作”、“會(huì)話(huà)”、“意義建構(gòu)”作為學(xué)習(xí)的四大要素或四大屬性。在以上的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師利用現(xiàn)代教育技術(shù)為學(xué)生的學(xué)習(xí)研究創(chuàng)設(shè)情

9、景，提供平臺(tái)，讓學(xué)生在自己的活動(dòng)中，通過(guò)他們之間生動(dòng)的豐富的“協(xié)作”、“會(huì)話(huà)”，完成對(duì)幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識(shí)意義建構(gòu)。這樣的教學(xué)效果是傳統(tǒng)的教學(xué)方式所無(wú)法比擬的。1、轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，順應(yīng)課程改革在高中階段，導(dǎo)數(shù)作為大學(xué)微積分內(nèi)容的一種縮編，以一種特殊的極限來(lái)講，無(wú)論是導(dǎo)數(shù)的概念，還是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，更多的是作為一種規(guī)則來(lái)教、來(lái)學(xué)。這往往成了學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙，影響了學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解。標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，更作為一種重要的思想、方法來(lái)學(xué)習(xí)，淡化了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，只要求會(huì)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及法則進(jìn)行計(jì)算，并指出要避免過(guò)量的形式化運(yùn)算練習(xí)；提高了對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決問(wèn)題的

10、要求，體現(xiàn)幾何直觀(guān)這一重要思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和作用。因此，借助于“幾何畫(huà)板”這一動(dòng)態(tài)的、能夠“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)軟件，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，引入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，反復(fù)通過(guò)函數(shù)的圖象去認(rèn)識(shí)、探索、發(fā)現(xiàn)幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。擴(kuò)大了數(shù)學(xué)實(shí)踐的內(nèi)容和范圍，使教學(xué)活動(dòng)不再局限于演繹推理的形式之中，利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的建構(gòu)，利于學(xué)生認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義，經(jīng)歷用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解決問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程。2、結(jié)合學(xué)生實(shí)際，優(yōu)化課堂教學(xué)教師用幾何畫(huà)板課件模擬質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，揭示運(yùn)動(dòng)規(guī)律，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了生動(dòng)形象的教學(xué)情境，引起學(xué)生極大的興趣，為下一步探索問(wèn)題創(chuàng)造一個(gè)良好的開(kāi)端。在教學(xué)中，對(duì)“為什么公式中的n可以是有理數(shù)”

11、、“” 和“”等的認(rèn)識(shí)，由于數(shù)學(xué)邏輯推理的復(fù)雜性、學(xué)生認(rèn)知水平的不足，常常成了教學(xué)的“死點(diǎn)”。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)中，把重點(diǎn)放在對(duì)知識(shí)的重新組織上，讓學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行直觀(guān)處理，實(shí)現(xiàn)對(duì)幾種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識(shí)，極大地改善了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維環(huán)境，救“活”了這個(gè)“死點(diǎn)”，改進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，為學(xué)生提供了更加廣闊的思維空間。在三個(gè)實(shí)驗(yàn)中，通過(guò)拖動(dòng)點(diǎn)P的連續(xù)變化，把函數(shù)的切線(xiàn)、切線(xiàn)的斜率及以斜率為坐標(biāo)的點(diǎn)、導(dǎo)函數(shù)的圖像之間的內(nèi)在聯(lián)系緊密地結(jié)合在一起，并使四者都得到了直觀(guān)、動(dòng)態(tài)的表示，這就使學(xué)生所面對(duì)的數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)過(guò)程的性質(zhì)發(fā)生了改變，使學(xué)生通過(guò)自主的、積極主動(dòng)的數(shù)學(xué)思維而成功地建構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)論

12、、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的可能性大大增加了。3、在實(shí)驗(yàn)中要做好引導(dǎo)和監(jiān)控教師在實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)時(shí)，要根據(jù)實(shí)驗(yàn)對(duì)象的特點(diǎn)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)一定的條件和環(huán)境；要仔細(xì)考慮可能發(fā)生的問(wèn)題，周密準(zhǔn)備，使學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)完成對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的實(shí)驗(yàn)，并使學(xué)生明白實(shí)驗(yàn)的結(jié)果只是給我們提供了一種可能或解釋?zhuān)⒉灰欢ㄕ_，嚴(yán)密的論證是必不可少的。教師對(duì)學(xué)生實(shí)驗(yàn)的干預(yù)要體現(xiàn)“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的原則，介入太早，教師成為中心；介入太遲，教師難以體現(xiàn)主導(dǎo)作用。在實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的選擇上，要顧及教學(xué)課時(shí)、時(shí)間等因素的限制。因此，可以從以下幾個(gè)角度選擇一定的實(shí)驗(yàn)對(duì)象：在以往的教學(xué)中難以呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)對(duì)象；課程內(nèi)容中比較重要的數(shù)學(xué)對(duì)

13、象；比較容易創(chuàng)造條件和實(shí)施監(jiān)控的數(shù)學(xué)對(duì)象。為了使學(xué)生有更多的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)和足夠的實(shí)驗(yàn)時(shí)間，多數(shù)實(shí)驗(yàn)可以安排在第二課堂進(jìn)行。4、進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的意義運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)構(gòu)建實(shí)施素質(zhì)教育的新型的數(shù)學(xué)活動(dòng)形式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，正成為數(shù)學(xué)教育改革和實(shí)踐的一個(gè)新熱點(diǎn)，不論在理論上還是在實(shí)踐上都具有重要的現(xiàn)實(shí)和深遠(yuǎn)意義。教師由課堂的主宰、知識(shí)的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)活動(dòng)的組織者、學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)者、學(xué)生實(shí)驗(yàn)過(guò)程的指導(dǎo)者和意義建構(gòu)的幫助者；學(xué)生從被動(dòng)接受的地位轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)地參與、發(fā)現(xiàn)，探索和知識(shí)建構(gòu)的主體地位；教學(xué)過(guò)程由講授說(shuō)明轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^(guò)情景創(chuàng)設(shè)，問(wèn)題探索，協(xié)作學(xué)習(xí)，意義建構(gòu)等以學(xué)生為主體的過(guò)程；學(xué)生的學(xué)習(xí)方式由課堂“呈現(xiàn)” 的學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)了