求證全等三角形的幾種方法

1、 求證全等三角形的幾種方法求證全等三角形的幾種方法 課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 歸納、掌握三角形中的常見(jiàn)輔助線 二、重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1、全等三角形的常見(jiàn)輔助線的添加方法。 2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 三、考點(diǎn)分析： 全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是今后學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ)。判斷三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所給條件充足，則可直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來(lái)，再進(jìn)行等量代換，就可以化難

2、為易了。 典型例題人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。 全等三角形輔助線 找全等三角形的方法： 求證全等三角形的幾種方法1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)（角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中； （2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等； （3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。 三角形中常見(jiàn)輔助線的作法： 延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形； 利用翻折，構(gòu)造全等三角形； 引平行線構(gòu)造全等三角形； 作連線構(gòu)造等腰三角形。 常見(jiàn)輔

3、助線的作法有以下幾種： （1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。 例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的xx于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。 求證全等三角形的幾種方法思路分析： ）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用1 ，可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)椋┙忸}思路：要求證BD=2CE2的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起B(yǎng)D平分ABC有來(lái)。 解答過(guò)程： BECxx，BEF和CE證明：延長(zhǎng)BA，交于點(diǎn)F，在 BE=BE，BEF=BEC=90，1=2， 。BEC，E

4、F=EC，從而CF=2CEBEF 又1+F=3+F=90，故1=3。ABD和ACFxx，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90， 在ABDACF，BD=CF，BD=2CE。 解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開(kāi)拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過(guò)程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。 （2）若遇到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使xx段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。 求證全等三角形的幾種方法邊BC的平分線，AD又是ABCxx例2：如

5、圖，已知，AD是BAC是等腰三角形。線。求證：ABC上的xx 思路分析： 1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)。 2）解題思路：在證明三角形的問(wèn)題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長(zhǎng)AD得全等三角形，從而問(wèn)題得證。 解答過(guò)程： 證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE。 求證全等三角形的幾種方法 邊上的中線，BD=DC又因?yàn)锳D是BC 又BDE=CDA ，BEDCAD 故EB=AC，E=2， AD是BAC的平分線 1=2， 1=E，AB=AC，即ABCAB=EB，從而

6、是等腰三角形。 解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長(zhǎng)此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。 （3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。 例3：已知，如圖，AC平分BAD，CD=CB，ABAD。求證：B+ADC=180。 求證全等三角形的幾種方法思路分析： 1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。 2）解題思路：因?yàn)锳C是BAD的平分線，所以可過(guò)點(diǎn)C作BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明三角形全等解決問(wèn)題。 解答過(guò)程： 證明：作CEAB于E，CFAD于F。

7、AC平分BAD， CE=CF。 在RtCBE和RtCDFxx， CE=CF，CB=CD， RtCBERtCDF， B=CDF， CDF+ADC=180， B+ADC=180。 解題后的思考： 關(guān)于角平行線的問(wèn)題，常用兩種輔助線； 見(jiàn)中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。 求證全等三角形的幾種方法）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用4（的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊” 一點(diǎn)，一點(diǎn)，F(xiàn)是ACxxxxABCxx：如圖，AB=AC，E是ABxx例4。D，若EB=CFxxEF交于BC 求證：DE=DF。 思路分析： 1）題意分析： 本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：作平行線。 2）解題思路

8、：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形DEB與DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過(guò)添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過(guò)E作EG/CF，構(gòu)造中心對(duì)稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問(wèn)題得以解決。 解答過(guò)程： 求證全等三角形的幾種方法 證明：過(guò)E作EG/AC交BC于G， 則EGB=ACB， 又AB=AC，B=ACB， B=EGB，EGD=DCF， EB=EG=CF， EDB=CDF，DGEDCF， DE=DF。 解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法： 例5：ABCxx，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。 思

9、路分析： 1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：作平行線。 2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢(shì)較為復(fù)雜，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的 求證全等三角形的幾種方法和即可得證。可過(guò)O作BC的平行線。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。 解答過(guò)程： 證明：如圖（1），過(guò)O作ODBC交AB于D， ADO=ABC=1806040=80， 又AQO=C+QBC=80， ADO=AQO， 又DAO=QAO，OA=AO， ADOAQO， OD=OQ，AD=AQ， 又ODBP， PBO=DOB， 又PBO=DBO

10、， DBO=DOB， BD=OD， 又BPA=C+PAC=70， BOP=OBA+BAO=70， 求證全等三角形的幾種方法BOP=BPO， BP=OB， AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解題后的思考： （1）本題也可以在ABxx截取AD=AQ，xxOD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。 （2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下： 如圖（2），過(guò)O作ODBC交AC于D，則ADOABO從而得以解決。 求證全等三角形的幾種方法5），過(guò)P作PDBQ交AC如圖（于D，則ABPADP從而得以解決。 小結(jié)：通過(guò)一題的多種輔助線添加方法，體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形

11、。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。 （5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。 例6：如圖甲，ADBC，點(diǎn)E在線段ABxx，ADE=CDE，DCE=ECB。 求證：CD=AD+BC。 求證全等三角形的幾種方法思路分析： 1）題意分析： 本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線

12、的知識(shí)：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法。 2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在CDxx截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的。 解答過(guò)程： 證明：在CDxx截取CF=BC，如圖乙 FCEBCE（SAS）， 2=1。 又ADBC， ADC+BCD=180， DCE+CDE=90， 求證全等三角形的幾種方法2+3=90，1+4=90， 3=4。 在FDE與ADExx， FDEADE（ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC。 解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)法或

13、補(bǔ)短法： 截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條； 補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。 1）對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線xx和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。 2）在利用三角形xx關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形xx的不等關(guān)系證明。 小結(jié)：三角形 求證全等三角形的幾種方法圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平

14、分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。 線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們就要進(jìn)入八下的學(xué)習(xí)了，八下的第一章是分式。 請(qǐng)同學(xué)們預(yù)習(xí)課本，并思考以下問(wèn)題。 1、分式的概念是什么？ 2、分式的乘除法的運(yùn)算法則是什么？ 同步練習(xí)（答題時(shí)間：90分鐘） 這幾道題一定要認(rèn)真思考啊，都是要添加輔助線的，開(kāi)動(dòng)腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！ 1、已知，如圖1，在四邊形ABCDxx，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。 求證：BAD+BCD=180。 求證全等三角形的

15、幾種方法 2、已知，如圖2，1=2，P為BNxx一點(diǎn)，且PDBC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD。 求證：BAP+BCP=180。 3、已知，如圖3，在ABCxx，C2B，12。求證：AB=AC+CD。 求證全等三角形的幾種方法 試題答案1、分析：因?yàn)槠浇堑扔?80，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的角通過(guò)全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過(guò)“截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法”來(lái)實(shí)現(xiàn)。 證明：過(guò)點(diǎn)D作DE垂直BA的xx于點(diǎn)E，作DFBC于點(diǎn)F，如圖1-2 求證全等三角形的幾種方法 RtADERtCDF(HL)， DAE=DCF。 又BAD+DAE=180， BAD+DCF=180，

16、 即BAD+BCD=180 2、分析：與1相類似，證兩個(gè)角的和是180，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補(bǔ)角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。 證明：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直BA的xx于點(diǎn)E，如圖2-2 求證全等三角形的幾種方法 RtAPERtCPD(SAS)， PAE=PCD 又BAP+PAE=180。 BAP+BCP=180 3、分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng)AC至E使CE=CD，或在ABxx截取AF=AC。 證明：方法一（補(bǔ)短法） 延長(zhǎng)AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖3-2 求證全等三角形的幾種方法 AFDACD（SAS）

17、， DF=DC，AFDACD。 求證全等三角形的幾種方法又ACB2B， FDBB， FD=FB。 AB=AF+FB=AC+FD， AB=AC+CD。 4、證明：（方法一） 將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N， 在AMNxx，AM+ANMD+DE+NE； 在BDMxx，MB+MDBD； 在CENxx，CN+NECE； 由+得： AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC （方法二：圖4-2） 延長(zhǎng)BD交AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在ABF、GFC和GDE中有： AB+AFBD+DG+GF 求證全等三角形的幾種方法GF+FCGE+CE DG+G

18、EDE 由+得： AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC。 5、分析：要證AB+AC2AD，由圖想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去 ACDEBD（SAS） BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 求證全等三角形的幾種方法在ABE中有：AB+BEAE（三角形兩邊之和大于第三邊） AB+AC2AD。 6、分析：欲證AC=BF，只需證AC、BF所在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒(méi)有含有AC、B