微分算子法實(shí)用整理總結(jié)

1、微分算子法微分算子法分類小結(jié)一、n階微分方程1、 二階微分方程：將+p(x)半+q(x)y=f(x)2、n 階微分方程： y(n)+aiyZ+a2yZ)+a3yg3)+ +any=f(x)二、微分算子法1、定義符號：D表示求導(dǎo)，如Dx3=3x2, Dy表示y對1 一illx求導(dǎo)n次；萬表不積分，如士xpx? , x表示對x積分n次，不要常數(shù)。2、計(jì)算將n階微分方程改寫成下式：Dny+aiDn_1y+a2Dn_2y+a3Dn_3y+.+an_1Dy+any=f(x)即 (Dn+QiDii+DZ+QsDi* . +an_1D+an)y=f図 記 F(D)=Dn+a1Dn_1+a2Dn_2+a3Dn

2、3+ . +anD+Qn* 1規(guī)定特解：y二而/(力3、冒環(huán)的性質(zhì)11lz-V性質(zhì)一：而e二麗e (F(k)不等于0)注：若k為特征方程的ni重根時(shí)，有丄 e12x c2x1o特解 y 一 _4D+4 Xe = e (D+2-2)2 X=e2x4-x2 = -x4e2xD-12（性質(zhì)二）例4.等-3罟+3- y=eX ,WJ(D3-3D2+3D-l)y=eX亠一*1cX cX1.特解y二時(shí)e =e莎石亍1i=7x3ex (性質(zhì)二) O例5、-y=sinx ,Jj1lJ(D3-l)y=sinx，特解 y*=ysinx1 1 1 11 qIX qIX _L_ qIXqIX_ i3-ie _ i+l

3、 - 2 e _i-l=(cosx+isinx)J_丄=- 5 (cosx+sinx)+i(cosx- sinx)取虛部為特解y*= 7 （cosx-sinx）（性質(zhì)一、三）例6、d2y*1Z?+y=cosx，則QF)y=cosx 特解y=5cosxpix.ipix= pixD2 +1 C (D i)(D +i)匕(D i)(D +i)1 1 , eix=eix2it()+ii) 1_ i ix_ 11=-亍 xC = xsinx-i xcosx取實(shí)部為特解y = $xsinx （性質(zhì)一、二、三）例7、r-y=ex ,則(d4-i)y= ex特解 y 一(r-l)(D +1)(D2 +1) e

4、護(hù)詁品x（性質(zhì)一*二.五)j 2例 &-r+y=X2-X+2 ,則(D2+l)y= X2-X+2特解y僅萬打(x2-x+2)=(i-d2) (x2 -x+2)=x2 -x (性質(zhì)四)例 9、+2+2y=X2eX ?lj1iJ(D2+2D+2)y=X2e_X特解 y = (D+l)2+lx2e X=e X(D_ 1+1)2 +1 X?=e_xrx2=e_x(i-D2)x2=e_x(x2-2)(性質(zhì)二、四)d2y例 10、-4 +y=xcosx ,則(D2+l)y=xcosx ,特解 y=xcosxXe _e (D+ii)(D+i+i)Xpix 1D(D+2i)x2 J=(cosx+isinx) ( x)x=(