高中數(shù)學知識點總結第十一、二章概率與統(tǒng)計

1、性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是，如果某個事件a包含的結果有m個，那對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件.例如：從152張撲克牌中任高中數(shù)學第十一章-概率考試內(nèi)容：隨機事件的概率等可能性事件的概率互斥事件有一個發(fā)生的概率相互獨立事件同時發(fā)生的概率獨立重復試驗考試要求：（1）了解隨機事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機事件概率的意義（2）了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計算一些等可能性事件的概率。（3）了解互斥事件、相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率（4）會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率11

2、.概率知識要點1.概率：隨機事件a的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.2.等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有年n個，且所有結果出現(xiàn)的可能1n么事件a的概率p(a)=m.n3.互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件.如果事件a、b互斥，那么事件發(fā)生(即a、b中有一個發(fā)生)的概率，等于事件a、b分別發(fā)生的概率和，即p()(a)(b)，推廣：p(a+a+l+a)=p(a)+p(a)+l+p(a).12n12n取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發(fā)生，但又不能保證其中一個必然發(fā)生，故不是對立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件

3、，因為其中一個必發(fā)生.互斥注意：i.對立事件的概率和等于1：p(a)+p(a)=p(a+a)=1.對立.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件相互獨立事件：事件a(或b)是否發(fā)生對事件b(或a)發(fā)生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.如果兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即p(ab)(a)p(b).由此，當兩個事件同時發(fā)生的概率p（）等于這兩個事件發(fā)生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張設a：“抽到老k”；b：“抽到紅牌”則a應與b互為獨立事件看上去a與b有關系很有可能不是獨立事件，但p(a)=4

4、=1,p(b)=26=1,p(a)p(b)=1.又事件表示“既抽到老k對抽521352226到紅牌”即“抽到紅桃老k或方塊老k”有p(ab)=2=1，因此有p(a)p(b)=p(ab).5226推廣：若事件a,a,l,a相互獨立，則p(aala)=p(a)p(a)lp(a).12n12n12n注意：i.一般地，如果事件a與b相互獨立，那么a與b,a與b，a與b也都相互獨立.必然事件與任何事件都是相互獨立的.1/5.獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發(fā)生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件獨立重復試驗：若n次重復試驗中，

5、每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率：p(k)=ckpk(1-p)n-k.nn4.對任何兩個事件都有p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)第十二章-概率與統(tǒng)計考試內(nèi)容：抽樣方法.總體分布的估計總體期望值和方差的估計考試要求：（1）了解隨機抽樣了解分層抽樣的意義，會用它們對簡單實際問題進行抽樣（2）會用樣本頻率分布估計總體分布（3）會用樣本估計總體期望值和方差12.概率與統(tǒng)計知識要點一、隨機變量.1.隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的

6、情形下重復進行；試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結果.它就被稱為一個隨機試驗.a2.離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若是一個隨機變量，b是常數(shù).則h=ax+b也是一個隨機變量.一般地，若是隨機變量，f(x)是連續(xù)函數(shù)或單調函數(shù)，則f(x)也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量.設離散型隨機變量可能取的值為：x,x,l,x,l12i取每一個值x(i=1,2,l)的概率p(x=x)=p，則表稱為隨機變量的概率分布，簡

7、稱的1ii分布列.xx1x2xipppp12i有性質p0,i=1,2,l；p+p+l+p+l=1.112i注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.例如：x0,5即x可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù).3.二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：p(=k)=ckpkqn-k其中k=0,1,l,n,q=1-pn于是得到隨機變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作xb（np），其中n，p為參數(shù)，并記ckpkqn-k=b(k;np).n二項分布的判斷與應用.二項分布，實際是對n次

8、獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布2/5.當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列4.幾何分布：“x=k”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗時事件a發(fā)生記為a，事a不發(fā)生記為a,p(a)=q，那么p(=k)=p(aalakkk12k-1a).根據(jù)k相互獨立事件的概率乘法分式：p(=k)=p(a)p(a)lp(a12到隨機變量的概率分布列.k-1)p(a)=qk-1p(k=1,2,3

9、,l)于是得kx12pq3q2pkqk-1p我們稱服從幾何分布，并記g(k,p)=qk-1p，其中q=1-p.k=1,2,3l5.超幾何分布：一批產(chǎn)品共有n件，其中有m（mn）件次品，今抽取n(1nn)件，則其中的次品數(shù)是一離散型隨機變量，分布列為c(0km,0n-kn-m).分子是從m件次品中取k件，從件正品中p(=k)=ckcn-kmn-mnn取件的取法數(shù)，如果規(guī)定mr時cr=0，則k的范圍可以寫為0，1，n.m超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1n），則次品數(shù)的分布列為p(=k)=cacbkn-kcna+bk=0,1,l,n.超幾何分布與二項分布的關系

10、.設一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)h的分布列可如下求得：把a+b個產(chǎn)品編號，則抽取n次共有(a+b)n個可能結果，等可能：(=k)含ckakbn-k個結果，故n(a+b)n=ck()k(1-)n-k,k=0,1,2,l,n，即hb(np(=k)=ckakbn-knnaaa+ba+baa+b).我們先為k個次品p選定位置，共ck種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法可以n證明：當產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，p(=k)p(=k)，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.二、數(shù)學

11、期望與方差.1.期望的含義：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為xxxx12ippp12i則稱ex=xp+xp+l+xp+l為的數(shù)學期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學期望又簡稱期望.數(shù)學1122nn期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.2.隨機變量h=ax+b的數(shù)學期望：eh=e(ax+b)=aex+b當a=0時，e(b)=b，即常數(shù)的數(shù)學期望就是這個常數(shù)本身.當a=1時，e(x+b)=ex+b，即隨機變量與常數(shù)之和的期望等于的期望與這個常數(shù)的和.當b=0時，e(ax)=aex，即常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的3/5乘積.單點分布：ex=c1=c其分布列為：p(x=1)=c.兩點

12、分布：ex=0q+1p=p，其分布列為：（p+q=1）p0q1p二項分布：ex=kn!pkqn-k=np其分布列為xb(n,p).（p為發(fā)生x的概率）k!(n-k)!幾何分布：ex=1其分布列為xq(k,p).（p為發(fā)生x的概率）p3.方差、標準差的定義：當已知隨機變量的分布列為p(x=x)=p(k=1,2,l)時，則稱kkdx=(x-ex)2p+(x-ex)2p+l+(x-ex)2p+l為的方差.顯然dx0，故sx=dx.sx為的1122nn根方差或標準差.隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中.與離散的程度.dx越小，穩(wěn)定性越高，波動越小4.方差的性質.隨機變量h=a

13、x+b的方差d(h)=d(ax+b)=a2dx.（a、b均為常數(shù)）單點分布：dx=0其分布列為p(x=1)=p兩點分布：dx=pq其分布列為：（p+q=1）二項分布：dx=npqp0q1p幾何分布：dx=qp25.期望與方差的關系.如果ex和eh都存在，則e(xh)=exeh設和h是互相獨立的兩個隨機變量，則e(xh)=exeh,d(x+h)=dx+dh期望與方差的轉化：dx=ex2-(ex)2e(x-ex)=e(x)-e(ex)（因為ex為一常數(shù)）概率等于它與x軸.直線x=a與直線x=b所圍成的曲邊梯形y的面積=ex-ex=0.三、正態(tài)分布.（基本不列入考試范圍）1.密度曲線與密度函數(shù)：對于

14、連續(xù)型隨機變量，位于x軸上方，落在任一區(qū)間a,b)內(nèi)的（如圖陰影部分）的曲線叫的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)f(x)叫做的密度函數(shù)，由于“x(-,+)”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.y=f(x)xabf2.正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機變量的概率密度為：(x)=12pse-(x-m)22s2.（xr,m,s為常數(shù)，且sf0），稱服從參數(shù)為m,s的正態(tài)分布，用xn(m,s2)表示.f(x)的表達式可簡記為n(m,s2)，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布的期望與方差：若xn(m,s2)，則的期望與方差分別為：ex=m,dx=s2.正態(tài)曲線的性質.4/53.標準正態(tài)分布：如果隨機

15、變量的概率函數(shù)為j(x)=1曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關于直線x=m對稱.當x=m時曲線處于最高點，當x向左、向右遠離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當xm時，曲線上升；當xm時，曲線下降，并且當曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當m一定時，曲線的形狀由s確定，s越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；s越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.x22pe-2(-pxp+)，則稱服從標準正態(tài)分布.即xn(0,1)有j(x)=p(xx)，j(x)=1-j(-x)求出，而p（ab）的計算則是p(apxb)=j(b)-j(a).注意：當標準正態(tài)分布的f(x)的x取0時，有f(x)=0.5當f(x)的x取大于0的數(shù)時，有s)=0.0793p0.5則s必然小于0，如圖.yf(x)f0.5.比如f(0.5-m0.5-m常用f(x)表示，且有p(x)=f(x)=j().正態(tài)分布與標準正態(tài)分布間的關系：若xn(m,s2)則的分布函數(shù)通x-4.“3s”原則.sa標準正態(tài)分布曲線s陰=0.5sa=0.5+sx假設檢驗是就正態(tài)總體而言的，進行假