三角恒等變換的常用技

1、4. (08、理 7)3 -sin 702 - cos210三角恒等變換的常用技巧A不0攵變結(jié)果的前提下，運用基本公式及結(jié)論，從角、名、次方面入手，杷一個三角函數(shù)式轉(zhuǎn) 化成結(jié)構(gòu)比較簡單、便于研左的形式，這科變形叫做三角恒等變換.三角恒等變換的帯見變換技巧歸納如下：題型一：常值代換(特別是“1”的代換丿【知枳】1 = siir+cos2 a = tan = sec2 a-tan2 a = esc2 a-cot2 a .4【鞏固與應用】1 若(芋，乎),則Jl-sinx可化為() DA. VJkin(蘭 + 蘭)B、/2 cos( + )C. /2cos(-)D. /2sin(-)24242424

2、2、己知 taii/2 , 求值：2 siir asin a cos a+cos a . 題型二：公式變形【知枳】tail er tail /7 = (1+tail a tail P) tan(6Z P).【鞏固與應用】1 化簡:tail 10 tail20 + tan20 tail60 + tan 10 tail60 .2、()己知4 + 8 =龍/4,求證：(1+ tailA)(l+ tanB) = 2 j(2)化簡：(1 + tanl )(l+tan2 +tan44 )(1 +tan45 ).題型三：升次陣次【知枳】2sina = 1 cos2a , 2cosa = l+cos2a, c

3、osasina = cos2a , 2sinacosa = sin2a 4siii求值：sin2 20 + cos2 50 +sin20 cos50 . a = 3sina-sin3a , 4cosa = cos3a+3cosa、上面公式正用陣次，反用升次.【鞏固與應用】1. 若_2”vav-芋，則廠彎-可的值是()A .aDa廠a小aA. sinD. cosJ 一sin-cos 2 2 2 22. 求值：cos4-siii4 =.8 8 A. 1/2B. /2/2C. 2D. /3/25. (07 理 4)己知 sina = J?/5, 5!j sin4 a-cos4 a 的值為A. -1/

4、5B. -3/5C. 1/5D. 3/55 九 3 兀n 6. 求函數(shù)y = sinx(sinx-cosx)的單調(diào)區(qū)間。增 k兀+ _,k兀,減 kn，加+ kwZ8 8 8 87. 己知cos(tf/4+x) = 3/5 , 17/12 x/Tsinx+sinxcosxflJ求：曲數(shù)/*(x)的最丸值及最小值；(2) 求：函數(shù)/(_)的最小正同期、單調(diào)適增區(qū)間；(3) 該曲數(shù)圖像可由y = sm2x圖像作怠樣變化而得到。題型四：公式話用【知枳】公式正用、公式逆用、公式變形后使用【鞏固與應用】1. 求值：tail 10 tan20 + tan20 tail60 + tail60 tan 10

5、=_1_2. 己知&為第三象限角，且sm4 + cos4 = -.那么sin20普于(A )9A. 2/2/3 B. -2/2/3 C. 2/3D. -2/33. A ABC 中，若 sin A sin B+cos A cos B +sin A cos B+cos A sin B = 2 ,則 ABC為 .等腰直角三角形4. = sill2 x-cos2 x+2 的最小正周期赴 C )CA. 4”B. 2兀C. nD. ti/25. (06 全囿 II 理 10丿若 /(sillx) = 3-cos2x , flj f (cosx)于CA. 3cos2xB. 3-2sin2x C. 3+cos

6、2兀D. 3+2sin2x6. (07 理 12丿己知sin8+cos& = 1,且0,則 cos2&的值是524題型五：弦切互化【知枳】能賣現(xiàn)轉(zhuǎn)化的公式有：tail a = Smy cos a1-cos 2asin 2atail a =.siii 2a1+cos 2a【鞏固與應用】求值:(tail 5 -1)siii 20tail 5 1+cos 202、 求值：sin50 (1 +JTtanlO ) =1 + tail 2a3.己知 tan(45 +a) = 1/2 ,則一晉直1 + tan 2acos 2a4.求值：4cos 10 tail 105. 求證：sin 2x(tail x/2

7、) = 4 cos x.taiix/26. 若 siii + cos =,則 tan。十一=/2sin(x) ； y/3 sin cos x = 2 sin(x sinx/3cosx = 2sin(x)；cosxsinx = /2cos(x + ) ； 5/3cosxsiiix = 2cos(xq： ) ; cosx/3sinx = 2cos(xq=).463r 皿、卜 1 + tanx , 兀,1-taiixn 、,3. 利 用公式 =taii(x + )及=tan( x)引入.1-tanx4 1+tanx 4【鞏圉與應用】1.函數(shù)y = VJsin(彳-2x)-cos2x的最小值是()A.

8、 -3-1B. -1C. 一、/1 D. 02.把函數(shù)y = cosx - JJsinx的圖像向左平移m(m 0)個單伐，所得的圖像關于y軸對稱則加的最小正值是()2龍TD.5龍6sin2x-cos2xsin2x+cos2x的最小正周期為4. 求兇數(shù)y = sinx (sin x-cos %)的單調(diào) 區(qū)呵.函數(shù) f (x) = sin x + 5/3 cos x 的值 CD)A.最大值是1,最小值是-1 B.最大值是1最小值是-1/2C.最大值是2最小值是-2D.最丸值是2最小值是-14.與y = 2sinx+cosx的周期、振協(xié)都相同的函數(shù)是f A JA. y = 5/5 sinxB. y

9、= 2sinxD. y = siiixcosx題型七：角的和差拆分變換【知識】h慮則：化未知為己知.2、拆分技巧：再如10。= 30。一20。如 2a = (a + 0) + (a_0)；(彳+)=彳+ (_彳)，(彳+ &)=彳_(_&),7 AB =(_0)+乎與與等.3-豐角處角的相對性：如。是加的豐角，同時也聲的信角；號是心豐角，同對也是扌的信角；【鞏固與應用】312己知sin(2a 戶)= , sin = - , JLae扌,0),求sina的值.2、(06 理 己知 a,0 e (乎,龍)，sin(o + 0) =, sin(/7-彳)=善則 cos(a + f) =.(08 夭津

10、理 17丿 Cjcos(x-) = , xgf1 . flJ 求的 sinx值；(2)求sinf2x+1 的 410(24 丿13丿713.4.13(07 理 11 丿若 cos(q+0) =-，cos(a-0) = -,則 tana tan0 = 55(08 理 5丿己知 cos(a-) + siiia = -/3 ,則 siii(a + )的值是656A.- 2笛/5B. 23/5C, -4/5D. 4/55、(08 羸理 6丿化簡：cos(扌+ a) + sin( + a) =6、(08理15丿直平面直角坐標糸xOy中，以6柚為始邊作兩個銳角a、卩,它們的終邊分別占單住圖相交于A、B兩點

11、.己知A、B的橫坐標分別為J7/10、2.(1) 求tan(a + 0)的值；(2) 求a + 20的值.龍347、己知0 va 0 龍，sina =，cos(a+0) =，則 sin0 =A.24B.0邑D.24 + _258.A.9.sin7 +cosl5 sin8 公工 fcos7 sml5 sin8 的值# 于 *B.空 2 tan(a + 0)2 + VJi殳 sm(a+20) = 3 sin a,則 =tan0tan I 0 - =扌，即么 tana +C. 13/22, 210.己知 tan(a+0) = 丁 ,B. 3/22A. 13/187t彳的值是(D. 3/18求cos

12、0的值。11 5/3化簡:B. -5/3,則 cos 2 為(2U 血2D.(0,;r)那么tana的值是D.cosA十cos，(年 + A)+cos2 (年-A)【鞏圉與應用】4.己知x是第二象限角，且sinx+cosx = a (al )t求下列各式的值:(1) tail cot x j5. 己知tana, tan0 是方程x2 + 2x-4 = 0的 兩根，求cos2 + cos2的值sin 2a + sin 206、己知三角形佔C中的三個角A,B,C滿足A+C=2B ,丄+=二.求cos仝三的值。cos A cos C cosB2解出fU:由題設條件3 = 60。，A+C=120= -

13、2yf2 :. - + - = -22 /. cos A + cos C = -2近cos A cos C cos60cos A cosC2 cos - cos - = -/2cos(A + C) + cos(A 一 C)將 cos A C = cos 60 =丄 cos(A+C) = -丄2 2 2cos =- cos(A C)由 cos(A _ C) = 2cos，4 2 C _ 14館 c。扌口 + 2 cos 化 - 3 = 0+ 3) = 0.2 岳os 字+ 3H0.cos 乎2 2A+C = 120(2 cos “ C -cos C解浪CIU:因為 3 = 60。，則 A-C =

14、 2a.A = 60+a , C=60-a故F=Fcos A cosC cos(60+a)cos(60-a)cos a；3cos- a- 411cos a+ = cosa-sina 丄 cos a+sin a cos- a- sin- a2 2 2 2 瑞助角的推導及其推論 48= 忑 :.8= -2f2 :. 4邁cos，a + 2 cos a 一 3邁=0cos二 gsB cos244(2/2 cos a + 3)(2 cos a 一 /2) = 0 cos a =(/ cos a 豐 ；)cos ? =附錄一起點公式的衽朗1. 両角和余弦公式的推導2. 兩角和正弦公式的推導- 亠 *、

15、a sin a 1 cos a , a3. 半角公式ton =的推導21 + cosa sin aasmx + bcosx = Ja2 + bz sin(x + a = y/a2 +b2 cos(p , sin0 = /“ = b = y/a2 +b2 sin(payjaz + bzyja: +b2所以a sin j + bcos x = /a2 + b2 (sin xcos p + cosxsin p) = Ja2 + bz siii(x + = -. a推論：sinx y/3 cos x = 2sin(.r 彳)；cosX y/3sinX= 2COS(Jty).sinxcosx = /Ts

16、iii(x ) ； /3 sin a- cos x-2 sin(x )；46cosxsinx = /Jcos(x干f) ； /5cosx土sinx= 2cos(x干彳)；D決:正余化正，加減不變，余正化余,3.5.附錄二些常用的結(jié)果1. (cosasinofcosaf): =lsiii2a .sin a + cos asin a cos a1 + tana1-ton df=tan(z + 彳)sin a cos asin a + cos atana-1tana + 1=tan(a-).43. tan a +=tana sin 2a1tana-tana2 cos 2asin 2a附錄三萬能公式2

17、tan2 since =,亠 a1 + tan-2,亠r a1 - tan-2 coset =,a 1 + tan-2tana =1 - tail2 1.己知1 + tan、=若+ ,求sin2x的值.1 tanx附錄8 半角公式附錄五衍生二倍角公式a . /1-cosa tan = 2y 1 + cosasma1 + cos a1-cosasin a.f符號由半角終邊住査決定丿cos2a = sin2(a + ) = 2cos(a + )sin(a + ),444附錄六三信角以式sin3a = 3sina-4sin5a , cos3a = 4cosc-3 .附錄七和積互化公式積化和藝公式：sin a cos