浙江省磐安縣高考數(shù)學(xué)試題分類專題匯編立體幾何新人教A版

1、高考數(shù)學(xué)試題分類匯編立體幾何4選擇題:1.（上海卷13）給定空間中的直線l及平面區(qū)條件“直線l與平面ot內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面海直”的（c）條件a.充要b .充分非必要c.必要非充分 d .既非充分又非必要2.（全國(guó)一11）已知三棱柱abc a1b1c1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等,a在底面abc內(nèi)的射影為 abc的中心，則ab1與底面abc所成角的正弦值等于（cb 2b.3c.a. 133.（全國(guó)二10）已知正四棱錐s-abcd的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等,e是sb的中點(diǎn),則ae, sd所成的角的余弦值為1a.3b .2b.3c.2d.-34.（全國(guó)二12）已知球的半徑為相互垂直的兩個(gè)平

2、面分別截球面得兩個(gè)圓.若兩圓的公共弦長(zhǎng)為2,則兩圓的圓心距等于（a. 1b. .2c.,3d. 25.（北京卷8）如圖，動(dòng)點(diǎn)p在正方體abcdab1gd1的對(duì)角線bd上.過(guò)點(diǎn)p作垂直于平面bb1d1d的直線，與正方體表面相交于m,n.設(shè) bp=x, mn=y,則函數(shù)y = f（x）的圖象大致是（b ）7 .（四川卷8）設(shè) m ,n是球心o的半徑op上的兩點(diǎn)，且 np=mn=om,分別過(guò)n,m,o作垂線于op的面截球得三個(gè)圓，則這三個(gè)圓的面積之比為：（d ）(a) 3,5,6(b) 3,6,8(c) 5,7,9(d) 5,8,98 .(四川卷9)設(shè)直線l u平面a ,過(guò)平面a外一點(diǎn)a與l,o(都

3、成300角的直線有且只有:(b )(a) 1條 (b) 2條 (c) 3條 (d) 4條9 .(天津卷5)設(shè)a,b是兩條直線，a, p是兩個(gè)平面，則a_lb的一個(gè)充分條件是 c(a) a_la,b/p,a_lp(b) aa,b p,o(/p(c) aq m nb. 6 p, m nc.日中，m nd.日 n17 .（陜西卷14）長(zhǎng)方體abcd - ab1cld1的各頂點(diǎn)都在球。的球面上，其中ab: ad : aa =1：1： j2. a, b兩點(diǎn)的球面距離記為 m, a, d1兩點(diǎn)的球面距離記為 n ,則m的值為 n18 .（重慶卷9）如解（9）圖，體積為 v的大球內(nèi)有4個(gè)小球，每個(gè)小球的球面

4、過(guò)大球球心且與大球球面有且只有一個(gè)交點(diǎn)，4個(gè)小球的球心是以大球球心為中心的正方形的 4個(gè)頂點(diǎn).v1為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，v2為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確 的是d(a) v1=v2(c) v1 v2(b) v2=v2(d) v1 v219 .（福建卷6）如圖，在長(zhǎng)方體 abcda1bgd中，ab=bc=2, aa=1,則bc與平面bbdd所成角的正弦值為 da童b. x題19）圖3520 .（廣東卷5）將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示a, b, c分別是aghi三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（b1 i側(cè)視e

5、a.b.c.d.21 .（遼寧卷11）在正方體 abcdabgd中，e, f分別為棱 aa, cc的中點(diǎn)，則在空間中a.不存在b.有且只有兩條c.有且只有三條d.有無(wú)數(shù)條22.（海南卷12）某幾何體的一條棱長(zhǎng)為 防，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為6的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段,則a + b的最大值為（c ）a. 2 2b. 2,3c. 4d. 2.523.（海南卷15） 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為 9 ,底面周長(zhǎng)為3,那么這個(gè)球的體積為 - n83二.填空題：1 .（天

6、津卷13）若一個(gè)球的體積為 43ii ,則它的表面積為 . 12n2 .（全國(guó)一 16）等邊三角形 abc與正方形abde有一公共邊ab ,二面角c-abd的余弦值為3m, n分別是ac, bc的中點(diǎn)，則em, an所成角的余弦值等3 .（全國(guó)二16）平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件:充要條件充要條件（寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件）（兩組相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等;對(duì)角線交于一點(diǎn)；底面是平行四邊形.注：上面給出了四個(gè)充要條件.如果考生寫出其他正確答案，同樣給分.）4 .（四川卷15）已知正

7、四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為，6 ,且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為.3則該正四棱柱的體積等于與三條直線 aq, ef, cdib相交的直線（ d ）5 .（安徽卷16）已知a, b,c, d在同一個(gè)球面上,ab_l平面bcd, bc_lcd,若ab =6, ac =2而,ad =8,則b,c兩點(diǎn)間的球面距離是6 .（江西卷16）如圖1, 一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)p。如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)p （圖2）。有下列四個(gè)命題：a.正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半b.將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)pc.任意擺放該容器

8、，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)p其中真命題的代號(hào)是：b,d（寫出所有真命題的代號(hào)）d.若往容器內(nèi)再注入 a升水，則容器恰好能裝滿7 .（福建卷15）若三棱錐的三個(gè)側(cè)圓兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為j3 ,則其外接球的表面積8 .（浙江卷14）如圖，已知球。點(diǎn)面上四點(diǎn) a、b、c d, da_l平面abc； ab_l bc, da=ab=bc=3 ,則球。點(diǎn)體積等于9 .（遼寧卷14）在體積為4 j3n的球的表面上有 a b, c三點(diǎn)，ab=1, bg 短，a, c兩點(diǎn)3的球面距離為 n,則球心到平面 abc勺距離為3三.解答題：1.（全國(guó) 18）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 四棱

9、錐a-bcde中，底面bcde為矩形，側(cè)面abc_l底面bcde , bc = 2,cd = j2,ab=ac .（i）證明：ad_lce;（n）設(shè)ce與平面abe所成的角為45 ,求二面角解：（1）取bc中點(diǎn)f ,連接df交ce于點(diǎn)o, ; ab = ac ,二 af 1 bc ,又面 abc _l 面 bcde , af _l 面 bcde , 二 af -lce .tan. ced =tan. fdc =二 zoed +/ode =90 , doe =90,，即 ce _l df , ce，面 adf ,二 ce _l ad .(2)在面acd內(nèi)過(guò)c點(diǎn)作ad的垂線，垂足為 g .r cg

10、 _l ad , ce1ad, a ad，面 ceg , :. eg _l ad , 則/cge即為所求二面角的平面角.30cg=d=2_j dg, eg =,dftd ad 33cos zcge =cg2 ge2 ce22cglge1010cge =冗一arccos叵j,即二面角c - ad - e的大小10u-arccosj 1010272.(全國(guó)二19)(本小題滿分12分)如圖，正四棱柱 abcd abc1d1中，aa二2ab=4,點(diǎn)e在cc1上且c1e =3ec .(i)證明： ac _l平面bed ；(n)求二面角 a - de b的大小.解法一：依題設(shè)知ab=2 , ce=1 .(

11、i)連結(jié)ac交bd于點(diǎn)f ,則bd _l ac .由三垂線定理知，bd _l ac . 3分在平面aqa內(nèi)，連結(jié)ef交aic于點(diǎn)g ,由于組上2.2, fc ce故 rtzxaacs rsfce ,2aac =/cfe ,/cfe 與/fca1 互余.于是 a1c i ef .ac與平面bed內(nèi)兩條相交直線 bd, ef都垂直,所以a1c _l平面bed .(n)作gh _l de ,垂足為h ,連結(jié)aih ,由三垂線定理知 ah _l de ,故/ahg是二面角 ade b的平面角.ef =jcf2 +ce2 =43,cg 二ce cf 22 cc2=一,egce2cg2ef 、,3eg 1

12、ef 一31 ef fd gh =-3 de又 ac =jaa2 +ac2 =2爬5. 6a1g = ac -cg 二一 3tan/ahg =55.hg所以二面角a1 - de -b的大/、為 arctan 5j5. 解法二：以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 da為x軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系d - xyz .依題設(shè)，b(2,2q), c(0,2,0), e(0,2,1), a(2q,4). tde =(0,2,1),db =(2,2,0),*-1ac =(-2,2,-4),da =(2,0,4). -ih -i(i)因?yàn)?acldb=0, aclde=0,故 ac _l bd , a1c ide

13、 .又 dbrde = d,所以aic 1平面dbe . 6分(n)設(shè)向量n =(x, y, z)是平面da1e的法向量，則故 2y +z=0, 2x+4z = 0 .令 y=1,則 z = -2, x=4, n =(4,1, 2).14所以一面角 a 一 de - b的大小為arccos- .12分3.(北京卷16)如圖，在三棱錐p-abc中，ap = bp=ab, pc_lac.(i)求證：pc _lab;(n)求二面角 bap c的大??；(m)求點(diǎn)c到平面apb的距離.解法一：(i)取ab中點(diǎn)d,連結(jié)pd, cd .:ap = bp ,:.pd .l ab.ac = bc ,:.cd .

14、l ab .1/pdacd =d ,二 ab_l 平面 pcd .p pc仁平面pcd ,j. pc _l ab .(n) ；ac = bc, ap=bp, aaapca bpc .又 pc _l ac , - pc .l bc .又/acb=90,，即 ac_lbc,且 acppc =c ,二 bc _l 平面 pac .取ap中點(diǎn)e .連結(jié)be, ce .7 ab = bp ,- be _l ap .ec是be在平面pac內(nèi)的射影，j. ce -lap././bec是二面角bapc的平面角.在 abce 中，/bce =90, bc=2,beb2sin bec = bcbe3二二面角bap

15、c的大小為arcsin .(m)由(i)知 ab_l平面 pcd ,二平面apb _l平面pcd .過(guò)c作ch 1 pd ,垂足為h . 平面 apb| 平面 pcd = pd ,二 ch _l 平面 apb .二ch的長(zhǎng)即為點(diǎn)c到平面apb的距離.由(i)知 pc _l ab ,又 pc _l ac ,且 abp ac = a, 二 pc _l 平面 abc .；cd仁平面abc ,二 pc _lcd .在 rtpcd 中，cd1 -.3=ab =、. 2 , pd =pb =： ；6 ,2 2, pc = ,pd2 -cd2 =2.chpc cd 2 3pd 一 3，點(diǎn)c到平面apb的距離

16、為2叵.3解法二：(i) : ac = bc, ap=bp, ,-.apca bpc .又 pc _l ac , , pc .l bc . vachbc =c , , pc _l 平面 abc . a ab u 平面 abc , , pc 1 ab.(n )如圖，以c為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 c -xyz .則 c(0q,0), a(0,2,0), b(2,0q).設(shè) p(0,0, t) .；pb = ab| =2五，j.t=2, p(0q,2).取ap中點(diǎn)e ,連結(jié)be, ce .7 ac =1 pc ab =|bp ,:.ce _lap, be _l ap .bec是二面角bapc的平面角

17、.e(011), cos bectec =(0,1,1), eb=(2,-1,-1),ec *eb _2_ ,3ec eb 機(jī)2父展 3 .面角bapc的大小為arccos 3（出）：ac = bc = pc,二c在平面apb內(nèi)的射影為正 apb的中心h ,且ch的長(zhǎng)為點(diǎn)c到平面apb的距離.如（n ）建立空間直角坐標(biāo)系bh =2he ,二點(diǎn)h的坐標(biāo)為2 2 2、1333 /二點(diǎn)c到平面apb的距離為2.322d 3ch =34.（四川卷19）.（本小題滿分12分）如，平面abef _l平面abcd,四邊形abef與abcd都是直 角梯形，0 1 1/bad =/fab =90 , bc /

18、- ad , be / af 2=2（i）證明：c,d,f,e四點(diǎn)共面;(n)設(shè)ab = bc = be,求二面角 a edb的大小;【解1】：（i）延長(zhǎng)dc交ab的延長(zhǎng)線于點(diǎn)g ,由bc 1 ad得2gb gc bcga gd ad 2延長(zhǎng)fe交ab的延長(zhǎng)線于 g同理可得ge g b be 1h -5 g f ga af 2 _故2目=毀即g與g重合g a ga因此直線cd、ef相交于點(diǎn)g ,即c,d,f , e四點(diǎn)共面。(n)設(shè) ab =1 ,則 bc = be =1 , ad =2取ae中點(diǎn)m ,則bm _l ae ,又由已知得， ad _l平面abef故ad _lbm , bm與平面a

19、de內(nèi)兩相交直線 ad、ae都垂直。所以bm _l平面ade，作mn _l de ,垂足為n ,連結(jié)bn 由三垂線定理知 bn _led, /bmn為二面角a edb的平面角。b m = -2,22 dea_e3一 3故 tan ._bmn = bmmn、.6一 2所以二面角 a-ed -b的大小arctan【解2】：由平面abef _l平面abcd , af _l ab ,得af _l平面abcd ,以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 ab為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系a-xyz(i)設(shè) ab =a, bc =b, be =c,則b a 0 ,0 c a,b,0e a , 0 , d,ec f0,

20、b, -c ,fd f0,2b, -2cw t 1 t_ _故ec=fd,從而由點(diǎn)efd,得ecfd2故c,d,f,e四點(diǎn)共面(n)設(shè) ab=1,則 bc = be=1,b 1,0,0 ,c 1,1,0 ,d 0,2,0 ,e 1,0,1在de上取點(diǎn)m ,使dm =5me，則m 5 1 5 i6,3,6從而mb二1156, 3, 6de = 1, -2,1 ,mb de= 0,mb _ de在 de 上取點(diǎn) n ,使 dn =2ne ,則 n -,2,- i3 3 3-2 2 2從而 na =-,-,- 3 3 3,na de =0,na _ de故mb 與na的夾角等于二面角 a - de

21、- b的平面角,所以二面角adeb的大小. 10 arccos5天津卷(19)(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形.已知ab =3, ad =2, pa=2,pd =212,pab =60 1(i)證明ad _l平面pab ;(n )求異面直線 pc與ad所成的角的大小；(出)求二面角 p -bd a的大小.(19)本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力.滿分 12分.(i)證明：在 apad中，由題設(shè)pa=2,pd =2應(yīng)可得pa2 + ad2 =pd2 于是 ad .l pa.在矩形 abcd

22、 中，ad _l ab .又 paab= a,所以ad _l平面pab .(n)解：由題設(shè)，bcad,所以/pcb (或其補(bǔ)角)是異面直線pc與ad所成的角.在apab中，由余弦定理得pb = . pa2 ab2 -2pa ab cospab = 7由（i）知 ad _l平面pab, pbu平面pab,所以ad _l pb ,因而bc _l pb ,于是apbc是直角三角形,pb 7故 tan pcb =.bc 2所以異面直線pc與ad所成的角的大小為arctan 立(出)解：過(guò)點(diǎn) p做ph _l ab于h,過(guò)點(diǎn)h做he _l bd于e,連結(jié)pe因?yàn)閍d_l平面pab, ph仁平面pab,所以

23、ad _l ph .又ad n ab=a, 因而ph _l平面abcd,故he為pe再平面abc咕的射影.由三垂線定理可知，bd _lpe ,從而/peh是二面角p-bd - a的平面角。由題設(shè)可得，ph = pa sin 60 = . 3, ah = pa cos60 = 1,bh = ab-ah =2,bd = ab2 ad2 =13,headbdbh =4, 13于是再rtaphe中,.39tan peh :4一.一- 39所以一面角p - bd - a的大小為arctan4安徽卷（18）.（本小題滿分12分如圖，在四棱錐oabcd中，底面abcd四邊長(zhǎng)為1的菱形，/abc =oa_l底

24、面abcd, oa = 2, m為oa的中點(diǎn),（i）證明：直線 mn |平面ocd ；（n）求異面直線 ab與md所成角的大??；（出）求點(diǎn)b到平面ocd勺距離。方法一（綜合法）（1）取ob中點(diǎn)e,連接 me ne/ me | ababll cd, me | cd又；ne | oc;.平面 mne | 平面 ocd二 mn | 平面 ocd；cd | ab,nmdc為異面直線 ab與md所成的角（或其補(bǔ)角）作ap _lcd于p,連接mp. oa_l平面a bcd,/. cd_l mp二2v adp = , dp=一42md = jma2 +ad2 =v2, .cos/mdp=_dp=1,/mdc

25、=/mdp= md 23所以 ab與md所成角的大小為 -(3) ; ab ii平面ocd；.點(diǎn)a和點(diǎn)b到平面ocd勺距離相等，連接 op過(guò)點(diǎn)a作aq _lop 于點(diǎn)q, .ap_lcd,oa_lcd,.cd_l平面oap,.aq_lcd又v aq _lop,.,. aq 面ocd ,線段aq的長(zhǎng)就是點(diǎn)a到平面ocd勺距離op = od2 - dp2 = . oa2 ad2 - dp2ap=dp .上2o o oalap. aq =-op2一*=2 ,所以點(diǎn)b到平面3.23ocd勺距離為23方法二(向量法)x, y, z軸建立坐標(biāo)系作ap 1 cd于點(diǎn)p,如圖，分別以ab,ap,ao所在直線為

26、_2_22_22a(0,0,0), b(1,0,0), p(0, ,0), d( ，0),o(0,0, 2),m(0, 0,1),n(1 ，0),t4.2-12 ,2(1) mn =(1 -,fop=(0,od=(設(shè)平面ocd勺法向量為n=(x, y,z),則=0,二0；2彳 y-2z=0即 2 _-2.20 八-x y 2z = 022取 z= j2,解得 n=(0,4, 22)v mn m =(12、j2,-1)_(。,4, j2)=o二 mn | 平面 ocd二 cosi =abmdamdn =(0,4, j2)上的投影的絕對(duì)值,(2)設(shè) ab 與 md 所成的角為 e, v ab =(

27、1,0,0), md =(- , ,-1)221一,，；e= , ab與md所成角的大小為一233 設(shè)點(diǎn)b到平面ocd勺距離為d ,則d為ob在向量由 ob -(1,0, -2)ob n 2得d =-.所以點(diǎn)n 3山東卷(20)(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐 p-abcd底面abc師菱形，p4平面abcd nabc=60,e, f分別是bc pc的中點(diǎn).(i )證明：ae! pd(n)若h為pd上的動(dòng)點(diǎn)，eh與平面pad所成最大角的正切值為 ,求二面角e-af-c的余弦值.2(i)證明：由四邊形 abcm菱形，/ ab(=60 ,可 得abe正三角形.因?yàn)?e為bc的中點(diǎn)，所以 ae b

28、c又 bc/ ad,因止匕ae! ad因?yàn)閜al平面 abcd ae匚平面abcd所以pah ae 而pa二平面pad ax 平面pad且pah ada,所以 ae1平面pad又pdu平面pad 所以aexpd.(n)解：設(shè) ab=2, h為pd上任意一點(diǎn)，連接 ah eh 由(i )知ae1平面pad則/ eha eh與平面pa而成白角.在 rteah, ae=褥，所以當(dāng)ahm短時(shí)，/ eha1大， 即當(dāng)ahl pd時(shí)，/ eha1大.ae. 36此時(shí) tan / eha=,ahah2因此 ah=j2 .又 ad=2,所以/ adh45 ,所以pa=2.解法一：因?yàn)閜al平面 abcd pa

29、匚平面pac所以 平面pacl平面abcd 過(guò)e作eol ac于q則eol平面pac過(guò)o作osl af于s,連接es則/ esm二面角 e-af-c的平面角,在 rtaaoe, eo=ae- sin30 = , agae- cos30 =3,223,24又 f 是 pc的中點(diǎn)，在 rtaaso, soao- sin4532_在 rt eso, cos/eso=so=4 =遮se 3054即所求二面角的余弦值為解法二：由（i）知 ae ad ap兩兩垂直，以 a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又e、f分別為bg pc的中點(diǎn)，所以e、f分別為bg pc的中點(diǎn)，所以a (0, 0, 0),

30、 b (褥，-1 , 0), c (c, 1, 0),d(0,2, 0), p(0, 0, 2), e( 73,0, 0), f( ,1,1),2 2所以於二陪皿蔡二十；1）.設(shè)平面aef的一法向量為 m = (x1, y1, z1),mlae =0, 則 lmlaf =0,+,3xi = 0,因此、31n-xi -y1 zi -0.,22取 z1 - -1,則m =(0,2, -1),因?yàn)?bd ac, bdl pa pah ac=a所以bd，平面afc故bd為平面afc勺一法向量.又bd= (-73,3,0 ),而,mbm bdl 2 315所以 cos = 1= -=|m|_| bd|

31、1 5 ,125因?yàn)?二面角e-af-c為銳角, 所以所求二面角的余弦值為 -155江蘇卷16.在四面體 abcd中，cb= cd, adbr且e ,f分別是ab,bd的中點(diǎn), 求證：(i )直線ef /面acd ;(ii)面 efcl面 bcd.【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定.(i ) e,f 分別是ab,bd的中點(diǎn)，.ef 是4abd 的中位線，ef/ ad, efiz 面 acd , ah 面 acd, .直線 ef/ 面 acd .(n) adxbd , ef/ ad, . ef bd.,. cb=cd, f 是 bd的中點(diǎn)，cfj_ bd.又 efq c

32、f=fbd面 efc. bd=面 bcd 面 efc1面 bcd .江西卷.解：(1)證明：依題設(shè)，ef是aabc的中位線，所以 ef / bc ,則 ef /平面 obc ,所以 ef / b1c1。又h是ef的中點(diǎn)，所以ah，ef ,則ah bq。因?yàn)?oal ob, oa oc ,所以 oa，面 obc ,則 oa，b1cl ,因此bici，面oah 。(2)作 on，a1b1于 n ,連c1n。因?yàn)?oc1l平面 oab1 ,根據(jù)三垂線定理知，c1n a1b1 ,/onc1就是二面角o a b11cl的平面角。作em，。81于乂，則em / oa,則m是ob的中點(diǎn)，則em = om =

33、1。設(shè) ob1 =x ,obi oa由一1 二一1得,mb1 em,解得 x = 3,x -1 2在 rt aoa1 b1 中,ab1 joi+ob； =375,則,on 2oai obi = 3a1b1- -5oc .所以 tan/onc1 =j5,故二面角 oa1b1c1 為 arctan j5。on解法二：（1）以直線oa oc、ob分別為x、v、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，oxyz-1 1a(2,0,0), b(0,0,2), c(0,2,0), e(1,0,1),f(1,1,0),h(1,2,5)所以所以ah = (1,；1),oh = (1)品=(0,2, 2)ah bc =0,qh

34、 bc =0所以bc _l 平面 oah由 ef / bc 得 bg / bc ,故：b1c1 _l 平面 oah3(2)由已知 a(5,0,0),設(shè) bi(0,0, z)r i =則 ae =(-a，0,1),eb =(-1,0,z-1)由ae與eb共線得：存在或w r有ae = ?uebi得1i -= /u2= z =3. b1(01013)1 = (z-1)同理：c1(01310): a1b1 = (-|,0,3), act = (-1,3,0)*設(shè)n1 =(x1, y?)是平面a1b1cl的一個(gè)法向量，一|x 3z=0t則令x=2得y=x=1 , n1 =(2,1,1).31-x 3y

35、 = 02t又n2 = (0,1,0)是平面oa1b1的一個(gè)法量z,6cos : n1,n2 =二4 1 16一、， 一 a , , , ,6所以二面角的大小為arccos6/、一、左3(3)由(2)知，ai(-,0,0)acabb(0,0,2),平面 abci 的一個(gè)法向量為 r= (2,1,1)。3則 ab=（2，0,2）。ab 口3十2娓則點(diǎn)b到平面 ab1cl的距離為d = =3 = ni、. 66湖北卷18.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱 abc -ab1cl中，平面abc，側(cè)兒 弋、二面 aabb1. 產(chǎn)(i)求證：ab_l bc ;(n)若直線 ac與平面a1bc所成的角為

36、e，二面角 八、二：y yabca的大小為中，試判斷日與平的大小關(guān)系，“并予以證明.18.本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理能力.(滿分12分)(i)證明：如右圖，過(guò)點(diǎn) a在平面aabb內(nèi)作adl ab于 d,則由平面 abd側(cè)面 aabb,且平面 abc側(cè)面aabb=ar得adl平面 abc又bc=平面abc所以adl bc因?yàn)槿庵?abc-abc是直三棱柱，則aa，底面abc所以 aa1xbc.又aaf) ada從而bcl側(cè)面 aabb,又ab匚側(cè)面 aabb,故abl bc(n)解法1：連接c口則由(i )知 /acd是直線a

37、c與平面abc所成的角，/aba1 是二面角 abc-a 的平面角，即 /acd =q/aba1 =q一.ad. ad于是在 rtadcx3, sinh=,在 rtaadb, sin 平=,由a氏ac解法2:由得sin 0 sin中，又0仇 中 0, ac與n的夾角可取 n=(0,- a, c),于日p為銳角，則p與e互為余角.日l(shuí)acacn|_acbalba，所以sin甲=.a2 c2aca于是由cvb,得一. j ,b、a2 c2. a2 c2即 sin 0 sin 中,又 0 e,邛 ；,所以 6/3y2.故可取 出 = (73,1,0).2x2 +y2 +0y =0.是，cos，；,n

38、：二15 2543故平面pad和平面pb即成二面角(銳角)的大小是arccos55陜西卷19.(本小題滿分12分)三棱錐被平行于底面abc的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為ab1c1, /bac =90，, aa_l 平面 abc, /a =翼,abac =2, ac1 =1,bd 1dc 2(i)證明：平面 aad _l平面bccibi ;(n )求二面角 a-cc1 -b的大小.解法一：(i)aa _l 平面 abc, bc u 平面 abc , a1a.l bc .在 rtaabc 中，ab =42 ac =2,. bc =76 ,6bd .3 ab:bd: dc =1:2,，bd=又

39、=3ab 3 bc.dbas/x abc ,adb =nbac =90 ,即 ad _l bc .又 aadad =a,bc _l 平面 a1ad ,:* bc =平面 bcc1b1，二平面 a1ad _l 平面 bcc1b1.(n)如圖，作 ae _lcic交cic于e點(diǎn)，連接be由已知得ab_l平面acc1a .,ae是be在面accia內(nèi)的射影.由三垂線定理知 be i cc1 ,/ aeb為二面角a cci b的平面角.過(guò)ci作cif _lac交ac于f點(diǎn)，則 cf=acaf=1, c1f=a1a=73, .cicf =60；.在 rtaaec 中，ae = acsin60 =2父史=

40、 73.2ab 、2在 rtzxbae 中，tanaeb=ae , 3.aeb = arctan 四, 3即二面角acc1b為arctan啦3解法二：（i）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,則 a(0,0,0) b ( 2,0,0), c (0,2,0), a (0,0,. 3),ci(0i,t3),- r if* bd:dc =i:2, bd=1bc.322.42 2，d點(diǎn)坐標(biāo)為 ,-,0 -1331t 2*2 2 士 -1, ad =i ,-,0 i，bc=(-炎,2,0),aa 33:bclaa =0 , bclad =0 , bc _l aai=(0,0, m).bc! ad ,又 aad a

41、d = a , bc _l 平面 ai ad)又 bc 1平面 bcci bi)二平面 aad -l 平面 bccibi .(n) ；ba_l平面 accia,取 m =ab=(j2,0,0)為平面 acca 的法向量,設(shè)平面bccibi的法向量為n =（l,m, n),則bcln = 0,ccln = 0 .212m =0l =、- 2m, n.3=-m3-m 3n = 0,一一一一 :3 點(diǎn)）如圖，可取m=1,則n= j2,1,j3 3 ；cos m, n =-、3,2 ,20 1 0 3( 2)2 02 02(-.2)2 1215515即一面角 a cc1 b 為 arccos、一 .重

42、慶卷（19）（本小題滿分13分，（i）小問(wèn)如題（19）圖，在 labc 中，b=90c, ac=, d2.ade兩點(diǎn)分別在ab ac上.使cddbae o2 ,de=3.ec現(xiàn)將l abc沿de折成直二角角，求:（i）（n）表不）.解法一:異面直線ad與bc的距離；二面角a-ec-b的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)6分，（n）小問(wèn)7分.）題（ 1）圖(i)在答（19）圖1中，因ad aedb ce,故be/ bc又因b= 90。，從而adl de在第（19）圖2中，因a-deb是直二面角，adl de故adl底面 dbce從而 ad db而dbl bc故db為異面直線 與bc的公垂線.下求db之長(zhǎng).在答（19）圖1中，由ad aecb bc=2,ad得西口箝圖de ad 2bc ab 33 又已知de=3,從而bc = de2ab = ac2 - bc2因db ab（n）在第（ af由（1）知,1 _=_，故db=2.319）圖2中，過(guò)d作dn ce交ce的延長(zhǎng)線于 f,連接adl底面dbce由三垂線定理知 af! fc故/ afm二面角a-bcb的平面 角.在底面 dbc即，/ def=/bcedb -2,ec -1l- -5,3 22因此sin bcedb 4ec 5從而在rtdfe中，de=3,df =desinde