運用運算律的討論

1、運用運算律的討論蘇教版小學數(shù)學四年級上冊第62 頁“試一試”有這樣一道題 : 你能用簡便算法計算嗎?(2)5 372=5237=1037=370。對其運用的運算律是乘法交換律還是乘法交換律和乘法結合律, 一些學生和教師產(chǎn)生分歧 , 下課后老師們在辦公室內你一言我一語的爭論起來。爭論半天, 大致分為三種觀點:一、運用了乘法交換律和乘法結合律(1) 算式 5372中的乘數(shù) 37 和 2 先交換了位置 , 然后 5 和2 結合。認為乘法結合律的核心是誰與誰結合后使計算簡便。(2) 蘇教版小學數(shù)學四年級上冊教師教學用書 ( 以下簡稱“教參” ) 第 138 頁針對該題有這樣的敘述 : 對于5372,

2、“要使學生認識到: 僅僅應用乘法結合律, 還不能使計算簡便 , 還得先應用乘法交換律交換乘數(shù)5 與 37( 或 37與 2) 的位置 , 再應用乘法結合律, 才可以使計算簡便。 ”教參的意思應為 : 先應用乘法交換律交換乘數(shù)5 與 37 的位置 ,即:5 372=37(5 2)=3710=370或交換乘數(shù)37 與 2 的位置 , 即:5 372=5237=1037=370。所以交換乘數(shù)37與 2 的位置的算法是運用了乘法交換律和乘法結合律。二、 5372=52 37 時只運用了乘法交換律,5 372=(52) 37 時運用了乘法交換律和乘法結合律算式 5372 中乘數(shù) 37 與 2 交換位置后

3、按運算順序就應該第 1頁先 算 5 與 2 的 , 運算 序沒 生 化, 乘法 合律的核心是改 算式的運算 序。5372=(5 2) 37 添加了小括號 , 合律的重要 志是小括號的 用( 小學教材完全解 江 版四年 數(shù)學上冊/ 吉林人民出版社/ 劉慧主 第93頁 ) 。三、只運用了乘法交 律(1) 算式 5372 中乘數(shù) 37 與 2 交 位置后按運算 序就 先 算 5 與 2 的 , 運算 序沒 生 化 , 乘法交 律的本 是乘數(shù)的位置 生 化而運算 序不 ; 乘法 合律的核心乘數(shù)的位置不 而算式的運算 序改 。 5372 中交 乘數(shù) 37 與 2 的位置后 5237, 然后按運算 序脫式

4、 算“ =1037=370”。(2) 小學 元測試 AB卷 教版四年 上冊 ( 振生主 /青海人民出版社) 第 41 填空 5: 把符合要求的算式序號填在括號里。 (20+40)+60=20+(40+60)859=598a+125+75=125+75+a 40+(60+b)=(40+60)+b 用了加法交 律的是( 用了加法 合律的是( 用了乘法交 律的是 ( 用了乘法 合律的是( ) 。其中和中的乘數(shù)( 加數(shù) ) 交 位置 , 參考答案是 用了乘 ( 加 ) 法交 律 , 而不是 用了乘 ( 加 ) 法交 律和 合律。老 爭 后 第二種 點 憑加與不加括號判斷是否 用 合律的 點不可取 ,

5、在 里括號加與不加都不改 運第 2頁算順序 , 只起到強調先算“5 與 2 的積”的作用。堅持第一、第三種觀點的老師一時難分伯仲。就“結合”的定義 , 現(xiàn)代漢語詞典 ( 商務印書館 / 第 5 版 ) 中這樣解釋 : 動詞 , 人或事物間發(fā)生密切聯(lián)系。就“結合律”而言 , 就是乘數(shù) ( 加數(shù) ) 間發(fā)生密切聯(lián)系。這也是持第一種觀點的教師的理解 : 只要是兩個乘 ( 加 ) 數(shù)相乘 ( 加) 就是“結合”。真的是這樣嗎 ?筆者傾向于第三種觀點。關于乘法( 加法 ) 的交換律和結合律,教材中雖然沒有給出具體的文字敘述, 但教參第130 頁倒數(shù)第二段也指出“加法結合律涉及到的加數(shù)位置不變, 只是改變

6、了運算順序” , 由此可以推及“乘法結合律涉及到的乘數(shù)位置不變 , 只是改變了運算順序”。從算式5372 交換乘數(shù)位置變成5237, 算式的運算順序都是從左到右依次計算 , 運算順序沒有改變。下班后我翻閱發(fā)現(xiàn)西南師大版小學數(shù)學四年級下冊第19 頁例 3 也有一道類似的例題 :8 9125。 數(shù)學教學參考書第 48 頁就明確敘述 : 如果把算式中的125 與 9 交換 , 則是乘法交換律的單獨應用, 如果把算式中的8 與 9 交換 , 則它又是乘法交換律與乘法結合律的綜合應用。即:8 9125=81259=10009=9000是乘法交換律的單獨應用 ,8 9125=9(8 125)=91000=

7、9000才是運用了乘法交換律和乘法結合律。第 3頁由此看來該算法只應用了乘法交換律的觀點是正確的。但我又在網(wǎng)上搜索到人教論壇的一篇帖子, 讀后頓感汗顏 ,自己對運算律理解得多么膚淺! 人教論壇中“枯燈”大師對一篇帖子的回復中這樣論述(http:/bbs.pep/viewthread.php?tid=208471):(1) 先要清楚什么是數(shù)學中的“交換律”。數(shù)學中的“交換律”是指 : 一種運算“ x”和參加運算的某集合A 中的任意“兩個元素” a、 b, 一定有 a*b=b*a, 我們就說運算“ * ”對于集合 A 滿足交換律。也就是說 , 談到“交換律”時, 只是指“兩個元素參加運算”的情況

8、! 所有的數(shù)學理論書籍都是這樣表述的, 絕無例外這可以說是數(shù)學理論表述的一種“約定”。( 在正規(guī)的數(shù)學理論書籍中, 是絕對找不到將abc=acb 也稱為交換律的 )顯然 , 乘法對于整數(shù)集合滿足交換律; 減法對于整數(shù)集合不滿足交換律 ; 距陣乘法對于距陣集合也不滿足交換律。(2) 在 2534=2543 中 , 等號左邊的 3 和 4 還沒有進行運算呢 ( 在 2534中 ,3 只與 25 運算 , 其積 75 才與 4 運算 ),怎么可以運用乘法交換律交換它們的位置呢?顯然 , 正是因為乘法還滿足結合律, 才能將 3 和 4 的位置交換過來:2534=25(3 4)( 運用結合律, 使 3

9、和 4 先進行運算 )第 4頁=25(4 3)( 因為3 和 4 進行運算了 , 所以可以運用交換律交換它們的位置)=2543( 運用結合律, 使 25 和 4 先進行運算 )總之 , 當“ x”表示實數(shù)的乘法運算,a 、 b、 c 屬于實數(shù)集合時 ,a b c 確實等于 acb。但這決不能只看表面現(xiàn)象、望文生義地說是“只運用了交換律” , 而是“既運用了結合律 , 又運用了交換律”的結果。因此, 我們可以把“abc=acb”這樣一個規(guī)律, 說成是由結合律和交換律證明了的一個“推論”。汗顏之余 , 細細回想加 ( 乘 ) 法的交換律 , 都是指兩個加 ( 乘 )數(shù)交換位置結果不變, 我只盯住“

10、位置交換”而忽略了“兩個元素參加運算”即加( 乘) 數(shù)的個數(shù)應該是兩個。像5372=5237是在三個乘數(shù)之間交換位置, 應用的運算律不是乘法交換律的推廣而是乘法交換律和結合律的推廣 ! 進一步查閱蘇教版數(shù)學四年級上冊 ( 教師教學用書 ( 附錄一 ) 第 232 頁和 233 頁也有“從加法 ( 乘法 ) 交換律和結合律推廣”的論述證實了我的想法 : 三個以上的數(shù)相加 ( 乘),任意交換加 ( 乘 ) 數(shù)點位置 , 或者先把其中的任意幾個結合成一組相加 ( 乘 ), 再同其他數(shù)相加( 乘 ), 它們的和 ( 積 ) 不變。( 中小學數(shù)學小學版)2019 年第 3 期和 7 8 期、2019 年

11、 1 2期也發(fā)表了有關運算律是否可以改進的文章, 筆者認為一些和我一樣對此模糊認識的教師之所以“糊涂”, 緣于沒有認第 5頁清交換律和結合律的本質, 沒有積極探尋相關知識的理論背景 , 而不是改變被理論和實踐斷定為真理的運算律。另外 , 筆者認為是西南師大版數(shù)學四年級下冊( 數(shù)學教學參考書 ) 第 48 頁的論述有誤 , 誤導了我及一部分教師, 應該改為 :如果把算式中的125 與 9 交換或 8 與 9 交換 , 是乘法交換律與乘法結合律的綜合應用。思考 :1, 教材和教參對知識的解釋應該是明確的?！罢n標”頒布后的各版本實驗教科書和教學參考書對于知識的形成過程與情感、態(tài)度; 價值觀敘述過多,

12、 但對于數(shù)學概念、性質、定律的呈現(xiàn)“諱莫如深”, 造成了不用說學生對概念、性質、定律等結論的理解偏差 , 就是一部分教師 ( 特別是剛參加工作的教師 ) 對一些知識吃不透 , 對于一些概念、性質、定律的本質理解模棱兩可 , 教學中一味追求生活化、過程化 , 淡化對數(shù)學知識本質的揭示 , 使數(shù)學課失去了數(shù)學本色。2. 提高教研教學水平。我們教師肩負著培養(yǎng)高素質創(chuàng)新型人才的歷史使命 , 提高我們的學科專業(yè)知識水平刻不容緩。對于一些意見和分歧要正本清源 , 多研討、多查閱相關資料、多請教專家學者。教學研究的目的是求真 , 最終是讓學生獲得更好的發(fā)展 , 尤其是在目前新課程改革的推進過程中 , 多一些積極探索 , 多 +些理第 6頁性的思考 , 倡導求真務實的精神。只有教師把知識理解正確了、透徹了 , 才能引導學生認識