平面向量基本定理教學(xué)設(shè)計(北京五中王琦)

1、平面向量基本定理xx 第五中學(xué) xx一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課是普通高中課程標準實驗教科書 ?數(shù)學(xué) 4（人教 A 版）第二章第 三節(jié)的第一課時（2.3.1）平面向量基本定理平面向量基本定理屬于概念性知識平面向量基本定理是在向量知識體系中占有核心地位的定理一方面，平 面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標表示的基礎(chǔ)，坐標表示使平面中的 向量與它的坐標建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系，這為通過 “數(shù)”的運算處理 “形”的問題 搭起了橋梁；另一方面，平面向量基本定理是共線向量基本定理由一維到二維 的推廣，揭示了平面向量的結(jié)構(gòu)特征，將來還可以推廣為空間向量基本定 理因此，平面向量基本定理在向量知識體系中起著承上啟下

2、的重要作用我認為該定理之所以用 “基本 ”命名，主要是基于如下幾個特點：1給定平面內(nèi)兩個不共線的向量，通過線性運算，可以構(gòu)造出該平面內(nèi)的 所有向量；2通過線性運算構(gòu)造平面內(nèi)所有向量，至少需要兩個不共線的向量；3平面內(nèi)任意向量的問題都可以轉(zhuǎn)化為基底中兩個向量之間的問題，從而 化任意為確定，化未知為已知；4選定基底后，平面內(nèi)的任意向量與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)，為通過“數(shù)”的運算處理 “形”的問題搭起了橋梁，實現(xiàn)了形與數(shù)的統(tǒng)一課標對本節(jié)課的要求是 “了解平面向量基本定理及其意義 ”，我認為這 是因為平面向量基本定理理論性非常強，而對定理的應(yīng)用又主要體現(xiàn)在向量線 性運算的幾何意義以及坐標運算上，直接應(yīng)用極

3、少但是，對平面向量基本定理的探究既是對前面所學(xué)向量線性運算知識的綜 合應(yīng)用和 1 對平行向量基本定理的推廣，又為后繼的平面向量坐標表示奠定了理論基礎(chǔ)，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系的嚴謹性和邏輯性，探究過程有助于學(xué)生 體會數(shù)學(xué)思維的方式和方法，培養(yǎng)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)表述的能力平面向量基本定理的驗證過程是向量的分解，是兩向量進行線性運算的逆 過程，是對學(xué)生逆向思維的訓(xùn)練平面向量基本定理證明過程中，需要用到平 行向量基本定理，同時，平行向量基本定理也是平面向量基本定理在一維時的 特殊情形這里體現(xiàn)了特殊與一般的辨證觀點平面向量基本定理將平面內(nèi)任意向量的問題轉(zhuǎn)化為一組基底的問題，從而 使問題簡單化、程序化

4、，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想平面向量基本定理將 平面向量與有序?qū)崝?shù)對建立一一對應(yīng)，搭起了數(shù)與形的橋梁，是利用向量進行 數(shù)形轉(zhuǎn)化的理論基礎(chǔ)因此，我認為本節(jié)課的教學(xué)重點是平面向量基本定理的探究和理解二、教學(xué)目標設(shè)臵根據(jù)教學(xué)要求，教材的地位和作用，以及學(xué)生現(xiàn)有的認知水平和數(shù)學(xué)能 力，我把本節(jié)課的教學(xué)目標確定為以下三個方面：1通過觀察、猜想、實驗驗證、邏輯推理，知道平面向量基本定理是如何 得來的，理解平面向量基本定理中關(guān)鍵詞的含義；2學(xué)生經(jīng)歷從提出問題，到觀察猜想，再到驗證推理，然后概括總結(jié)，進 而完善發(fā)展的數(shù)學(xué)研究過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比、歸納的能力；通過 與平行向量基本定理的比較，揭示知識之

5、間的內(nèi)在聯(lián)系，提高對知識體系的整 體認識3在概念的發(fā)生、發(fā)展和深化的過程中，感受數(shù)學(xué)的思維方式，體驗數(shù)學(xué) 的嚴謹性和概括性，培養(yǎng)主動觀察、分析、探索的意識；在平面向量基本定理 形成與理解的過程中，體會特殊與一般，對立與統(tǒng)一的辯證觀點 2 三、學(xué)生學(xué) 情分析在前兩節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的基本概念、線性運算以及平行向量基 本定理等知識；學(xué)生在物理課上也學(xué)習(xí)過矢量的合成與分解這都為本節(jié)課的 學(xué)習(xí)作了一定的準備但向量的分解是對向量線性運算法則的逆用，這對學(xué)生 的思維具有一定挑戰(zhàn)；此外，對定理中任意性和唯一性的理解和驗證也是學(xué)生 的一個難點這些都需要教師引導(dǎo)突破我所任教的班級是示范校的普通班， 學(xué)生各

6、學(xué)科的基礎(chǔ)都比較扎實，但思維的靈活性和深刻性仍有待提高，對于思 維力度較大的問題仍需教師引導(dǎo)探究，學(xué)生對問題嚴謹完整的表述能力仍需培 養(yǎng)因此，我認為本節(jié)課的教學(xué)難點在于平面向量基本定理中的任意性、存在 性和唯一性四、教學(xué)策略分析為了更好的突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點，完成教學(xué)目標，我采用引導(dǎo)啟 發(fā)的教學(xué)方式，通過復(fù)習(xí)引入、逆向設(shè)問、直觀感知、實驗操作、定理雛形、 完善定理、定理辨析，循序漸進地將問題逐步引向深入，引導(dǎo)學(xué)生完成本節(jié)課 的目標，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法為了突破難點，我采取了以下措施：1針對存在性的難點，也就是分解向量的難點，通過學(xué)生黑板演示交流， 對幾種典型的情況分別做圖并完成線性表示；通

7、過教師追問和點評，抓住向量 加法法則中三個向量的位臵關(guān)系，提煉一般做法2對于定理中 “任意性 ”的驗證，我引導(dǎo)學(xué)生分三步進行：首先將平面內(nèi)的任意向量簡化為起點在某定點 （與基底共起點 ）的任意向量； 然后使向量方向不變，只改變大小，從數(shù)與形兩個角度發(fā)現(xiàn)，只要在該方向上 有一個向量能夠用給定向量的線性運算表示， 3 那么與之同向的向量就都可以用 給定向量的線性運算來表示；最后，就只需改變向量的方向，也就是讓向量繞 其起點旋轉(zhuǎn)起來，分析其旋轉(zhuǎn)一周過程中的不同情況即可在驗證 “任意性 ”的 過程中，我在學(xué)生板演分析之余，采用多媒體輔助教學(xué)，借助幾何畫板的動態(tài) 演示，讓學(xué)生更加直觀地理解定理中的 “任

8、意 ”3對定理中 “唯一性”的討論我引導(dǎo)學(xué)生從定性的 “存在”到定量的 “幾組”將 定理精細化，并從形的角度 （貼近學(xué)生思維 ）和數(shù)的角度分別對 “唯一性 ”進行證 明，使學(xué)生進一步體會向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念本節(jié)課在猜想的形成，以及對定理中的存在性、任意性、唯一性的驗證和 證明過程中，問題思維力度大，師生互動多.因此，我在設(shè)計本節(jié)課時，根據(jù) 學(xué)情對每一個活動做好了充分的預(yù)案，針對學(xué)生的不同反饋，靈活地進行引導(dǎo) 啟發(fā)；對每一個問題的提出，注意了設(shè)問的梯度和問題的明確性，針對解決過 程設(shè)計好 提示”和 追問”使不同認知基礎(chǔ)的學(xué)生都能得到相應(yīng)的收獲.與此同時，由于定理的形成和理解難度較大，在授

9、課過程中，我對學(xué)生表 現(xiàn)出的積極因素給予適時適度的鼓勵，當(dāng)學(xué)生遇到知識漏洞和思維障礙時，本 著循循善誘的原則進行幫助.五、教學(xué)過程（一復(fù)習(xí)引入，鋪墊新課引例如圖，平行四邊形 ABCD的兩條對角線相交于點M，點N為線段AB的中點，設(shè)AB a, AD b,A用向量a, b的線性運算來表示向量 MN、MA、MB. DNMBC4設(shè)計意圖：1. 復(fù)習(xí)向量的線性運算；2. 使學(xué)生感受到用平面內(nèi)兩個給定向量的線性運算，可以表示出許多不同 的向量；3. 利用這個并不困難的引例，弓I出本節(jié)課要研究的問題.（二）逆向設(shè)問，形成猜想通過活動 1，我們發(fā)現(xiàn)通過平面內(nèi)兩個給定向量的線性運算，可以表示出許 多不同的向量那

10、么問題 1 想通過線性運算表示這些向量，必須給定兩個向量嗎？設(shè)計意圖：1如果兩個給定向量就夠用了，那么再增加其他的向量就沒有必要了，體 現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡單化原則；2通過回憶數(shù)乘向量的幾何意義，說明一個非零向量只能表示與之共線的 向量，無法表示與之不共線的向量，因此至少需要兩個向量；3通過回憶平行向量基本定理，說明一個非零向量可以表示與之共線的任 意向量，同時為后面應(yīng)用平行向量基本定理，以及兩個定理進行比較做知識上 的復(fù)習(xí)預(yù)案：學(xué)生容易忽略特殊情況，如零向量問題 2 通過平面內(nèi)兩個給定向量的線性運算可以表示多少向量，是有限 個、無數(shù)個還是任意一個？設(shè)計意圖：1說明當(dāng)給定的兩個不全為零的向量共線的時候，

11、只能表示與他們共線的 向量，從而形成定理中的 “不共線 ”；2說明當(dāng)給定的兩個向量不共線時，只能表示與他們共面的向量，從而形 成定理中的 “這一平面內(nèi) ”；53區(qū)別“無數(shù)個”與“任意一個 ”，從而猜想定理中的 “任意”預(yù)案：1學(xué)生認為兩個給定的向量可以表示無數(shù)個向量而非任意一個，此時可以 引導(dǎo)學(xué)生思考哪些向量無法表示；2學(xué)生容易忽略 “平面內(nèi) ”的限定，認為兩個給定的向量可以表示任意一個 向量，這與此前學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對三維空間研究較少有關(guān)，難以突破二維空間 的思維局限，此時，教師可以給出反例，讓學(xué)生體會；3學(xué)生容易忽略共線的特殊情況，認為同一平面內(nèi)兩個給定向量可以表示 該平面內(nèi)任意一個向量，此

12、時可以追問學(xué)生 “無論這兩個向量如何給定，都可以 表示平面內(nèi)任意一個向量嗎？ ”；4由問題 1 的討論，有些學(xué)生容易想到當(dāng)一個向量是零向量時，無法表示 平面內(nèi)任意向量，有些學(xué)生會想到當(dāng)兩給定向量共線時，無法表示平面內(nèi)任意 向量，教師需要引導(dǎo)學(xué)生認識到 “不共線 ”的限定就排除了含零向量的可能活動 1 請學(xué)生表述猜想：通過同一平面內(nèi)兩個不共線向量的線性運算可以表示這一平面內(nèi)任意一個 向量設(shè)計意圖：1由猜想是否成立，引出課題；2猜想得到驗證之后，這就是定理文字語言的描述，也是用符號語言進行 描述的基礎(chǔ)（三）操作確認，定理雛形活動 2 操作確認，形成定理雛形環(huán)節(jié) 1 教師給定一組不共線向量 e1、e

13、2（由向量的可平移性，不妨讓這兩個向量共起點 ），并給出待分解的向量a,請學(xué)生到黑板上作圖，并說明作圖過程及能夠用e1、e2的6線性運算來表示的原因設(shè)計意圖：1基底給作共起點的情況，使學(xué)生更容易想到逆用平行四邊形法則進行分 解；2由這種情況入手，是因為這種情況與學(xué)生物理課上學(xué)習(xí)過的矢量分解類 似，學(xué)生比較容易上手；3逆用向量線性運算法則，構(gòu)造平行四邊形或三角形，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推 理能力；4通過較簡單情況下向量 a 的分解，體會將向量 a 用不共線向量 e1、e2 的線性運算進行表示的方法和依據(jù)；5通過對學(xué)生將向量 a 平移的追問，一方面再次明確向量只與大小、方向 有關(guān)，與起點位臵無關(guān)，即可以平

14、移，另一方面說明平移至共起點是根據(jù)平行 四邊形法則中三個向量的位臵關(guān)系，目的是便于構(gòu)造平行四邊形，從而說明可 以將對平面內(nèi)任意向量的驗證問題簡化為對以點 O 為起點的任意向量進行驗 證預(yù)案：如果學(xué)生逆用三角形法則對向量 a 進行分解，首先給予肯定，再詢問其它 方法；如果學(xué)生沒有用三角形法則，那么在整個驗證活動結(jié)束后，提醒學(xué)生逆 用三角形法則也是可以驗證的，可以課后進行嘗試環(huán)節(jié) 2 當(dāng)向量 a 可以用不共線向量 e1、e2 的線性運算進行表示時，不改變向量的方向，只改變向量的大小，驗證分 解的存在性方案一：從形入手，可以先想象再配合幾何畫板直觀觀察分解的存在性方案二：從數(shù)入手，由平行向量基本定理

15、，與向量a 方向相同的向量一定可以寫成ma,既然a=入1e1+入2e2, 那么 ma=mk1e1+m入2e2e1Oe2a7 設(shè)計意圖：1 向量的兩個基本要素大小和方向同時變化不便于研究,我們可以分別研 究；2從形理解更為直觀,從數(shù)理解更為嚴謹,同時也潛移默化地使學(xué)生體會 到向量是有著數(shù)、形兩種屬性的數(shù)學(xué)對象；3. 由本環(huán)節(jié)的探究可知，只要向量 a可以用不共線向量e1、e2 的線性運算進行表示，那么與之同向的向量也可以用 e1、e2 的線性運算來表示，那么對猜想的驗證就只剩下說明任意方向的向量都可 以用 e1、e2 的線性運算來表示了預(yù)案：1學(xué)生可能想不到從數(shù)的角度進行證明，這就需要教師進行引導(dǎo)

16、了；2從數(shù)的角度進行說明的過程中，學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)向量ma 可以表示與向量 a 共線的任意向量，也就是說如果向量 a 可以用不共線向量 e1、e2 的線性運算進行表示，那么與之共線的向量就都以用 e1、e2 的線性運算來表示，而不僅僅是與之同向的向量如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一點， 是非常值得肯定的，這可以使得下一環(huán)節(jié)的驗證進一步得到簡化但數(shù)乘向量 可以表示與原向量方向相反的向量這件事，學(xué)生在認知上仍存在一定困難，為 了分散難點，此處如果學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)，教師也不必提及.環(huán)節(jié)3使向量a繞其起點旋轉(zhuǎn)，隨著旋轉(zhuǎn)，向量a的分解方法會有什么不同嗎？都有哪些情況呢？ 請想好的學(xué)生在黑板上畫出代表不同情況的向量，對它們分別

17、進行研究，提煉 一般方法，驗證任意性.同時，利用幾何畫板進行動態(tài)演示，直觀確認任意 性. a1e1a2Oe2a3a4a8 設(shè)計意圖：1通過對幾種情況的區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識；通過對分類依據(jù)的交流，從分解出的向量與基底方向的關(guān)系，到線性運算中系數(shù)的符號，為后續(xù) 課程中建立坐標系，劃分象限埋下伏筆；2通過對上圖中向量 a1 的分解方式與向量 a 分解方式的對比，將直接延長和反向延長有向線段的情況統(tǒng)一起來，提煉出相應(yīng)的平行四邊形的一般構(gòu)造方法：過向量 a 的起點和終點分別作與 e1、e2 平行的直線，這四條直線圍成所需平行四邊形；3對向量 a 與 e1、e2 其中一個共線情況的討論，為后面分析

18、平面向量基本定理與共線向量基本 定理之間的聯(lián)系做鋪墊；4利用幾何畫板動態(tài)演示使學(xué)生更加直觀地確定猜想中的 “任意 ”預(yù)案：1如果學(xué)生沒有理解老師的意圖，無從下手，教師可以使最初的向量a 旋轉(zhuǎn)一個小角度，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)此時分解的方法與原方法一致，那么向量a 繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，什么時候分解方式就不同了呢？從而使學(xué)生理解老師的意圖；2如果學(xué)生按照夾在兩給定向量所成的小于 180 的角內(nèi)和角外進行分類，那么可以先請學(xué)生對畫出的向量進行線性表示，并分析分解出的向量方向及線 性表達式中系數(shù)的符號，從而從這個角度給出其余情況；3學(xué)生容易遺漏特殊情況，即與 e1、e2 其中一個共線的情況，可以由其他同學(xué)補充；4如果學(xué)生對

19、向量 a1、a3、 a4 不會分解，可以引導(dǎo)學(xué)生回憶非零向量共線的定義，即同向或反向活動 3 經(jīng)過上述活動的探究，猜想得到了驗證，試用符號語言總結(jié)得到的 結(jié)論如果 e1，e2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量 a 存在 實數(shù)入1,入2使a二入1e1+入2e2設(shè)計意圖：學(xué)生對符號語言的表述有一定困難，但這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達能力的 9 機會，需要教師幫助學(xué)生完善表述（四）完善定理，理解辨析問題3我們定性地說明了滿足要求的實數(shù) 入1,入2 存在，那么到底存在多少組呢 ?設(shè)計意圖：1從定性研究到定量研究，使學(xué)生體會科學(xué)研究的一般思路；2對唯一性的論證，一方面從形的角度用作圖

20、方法證明，貼近學(xué)生思維， 培養(yǎng)論證表達能力，另一方面從數(shù)的角度用同一法、反證法證明，培養(yǎng)邏輯思 維能力，同時使學(xué)生進一步體會向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念；3.理解當(dāng)基底選定后，平面內(nèi)的任意向量與有序?qū)崝?shù)對 （入1,入2）一一對應(yīng)，為后面向量的坐標表示做鋪墊預(yù)案：1 大部分學(xué)生會利用作圖過程進行分析,但學(xué)生證明的意識比較薄弱,容 易想當(dāng)然,缺乏從定義、公理、定理出發(fā)進行嚴謹邏輯推理的意識,這就需要 教師抓住契機進行培養(yǎng)；2高一年級的學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)反證法,同一法在課標當(dāng)中也沒有涉及,所 以從數(shù)的角度嚴格證明對學(xué)生來講是個難點,如果沒有課外的補充學(xué)習(xí),學(xué)生 很難想到這種證明方法,因此這里的處理方式是

21、教師引導(dǎo),且對證明不做規(guī)范 性要求完善平面向量基本定理：如果 e1, ea 存在2 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量唯對實數(shù)入1,入2使a二入1e1+入2e2設(shè)計意圖：將教材定理中的 “有且只有 ”寫作“存在唯一 ”，減少理解障礙10教師解釋定理的價值，深化學(xué)生對定理的認識：阿基米德曾經(jīng)說過：給我一個支點，我可以撬起地球通過平面向量基本定理，我們可以說：給我兩個不共線的向量，我可以通過簡單的線性運算，構(gòu)造出該平面內(nèi)的 所有向量；給我兩個不共線的向量，我可以把該平面內(nèi)任意向量的問題都化歸 為這兩個向量的問題，從而化任意為確定，化未知為已知；給我兩個不共線的向量，我可以把該平面內(nèi)的向量與有序?qū)崝?shù)對建立一一對應(yīng)，搭起數(shù)與形之間的橋梁，為用數(shù)的運算來刻畫形的問題創(chuàng)造了可能我只需要兩個不共線的向量！設(shè)計意圖：1借用阿基米德名言的句式，引起學(xué)生興趣和注意；2通過排比，強調(diào)平面向量基本定理的重要價值；3說明這兩個不共線向量的重要地位，引出基底定義給出基底的定義：我們把不共線的向量 e1，e2 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底 (base)設(shè)計意圖：給出基底的英文單詞， base 有基礎(chǔ)的意思，更容易讓學(xué)生理