初中一次函數(shù)及相關(guān)典型例題

1、Jgslinjin免費(fèi)資料一次函數(shù)復(fù)習(xí)課知識(shí)點(diǎn)1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念若兩個(gè)變量x, y間的關(guān)系式可以表示成 y=kx+b （ k, b為常數(shù)，0） 的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y1 1是x的正比例函數(shù).例如：y=2x+3 , y=-x+2 , y= x等都是一次函數(shù)，y= x,2 2y=-x都是正比例函數(shù).【說(shuō)明】（1） 一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問(wèn) 題中要根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義來(lái)確定.（2） 次函數(shù) y=kx+b （k, b為常數(shù)，b* 0）中的一次”和一元一次 方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1, 一

2、 次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).（3）當(dāng)b=0, k* 0時(shí)，y= kx仍是一次函數(shù).（4）當(dāng)b=0, k=0時(shí)，它不是一次函數(shù).知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的圖象把一個(gè)函數(shù)的自變量 x與所對(duì)應(yīng)的y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo) 在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖 象畫函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點(diǎn)、連線.知識(shí)點(diǎn)3 一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b （k, b為常數(shù)，k* 0）的圖象是一條直線，所以 一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線 y=kx+b .由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此在今后作一次函數(shù)圖象時(shí)，只要描出適合關(guān)系式的兩點(diǎn)，再連成直線即可，一般選取兩個(gè)

3、特殊點(diǎn)：直線與y軸的交點(diǎn)（0, b）,直線與x軸的交點(diǎn)（-b , 0）.但也不必一定選取這兩個(gè)特殊點(diǎn).k畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0, 0）, （1, k）即可.知識(shí)點(diǎn)4 一次函數(shù)y=kx+b （ k, b為常數(shù)，k* 0）的性質(zhì)（1）k的正負(fù)決定直線的傾斜方向； k0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大； k0時(shí)，直線與y軸交于正半軸上； 當(dāng)bv 0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸上； 當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，是正比例函數(shù).(4) 由于k, b的符號(hào)不同，直線所經(jīng)過(guò)的象限也不同； 如圖11 18 (l )所示，當(dāng)k0, b0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、三 象限(直線不經(jīng)過(guò)第四象限)； 如圖11

4、18 (2)所示，當(dāng)k 0, b O時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三、四 象限(直線不經(jīng)過(guò)第二象限)； 如圖11 18 (3)所示，當(dāng)k0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四 象限(直線不經(jīng)過(guò)第三象限)； 如圖11 18 (4)所示，當(dāng)k O, b 0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限,y隨x的增大而增大；(3) 當(dāng)kv 0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限,y隨x的增大而減小. 知識(shí)點(diǎn)4點(diǎn)P (Xo, y)與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系(1) 如果點(diǎn)P (xo, yo)在直線y=kx+b的圖象上，那么xo,y o的值必滿 足解析式y(tǒng)=kx+b ；(2) 如果X。，y。是滿足函數(shù)解析式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，那么以X。，y。為坐 標(biāo)的點(diǎn)P (1,

5、 2)必在函數(shù)的圖象上.例如：點(diǎn)P (1, 2)滿足直線y=x+1,即x=1時(shí)，y=2,則點(diǎn)P (1, 2) 在直線y=x+l的圖象上；點(diǎn) P( 2, 1)不滿足解析式 y=x+1，因?yàn)楫?dāng)x=2 時(shí)，y=3,所以點(diǎn)P( 2, 1)不在直線y=x+l的圖象上.知識(shí)點(diǎn)5確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件(1) 由于正比例函數(shù) y=kx (k z 0)中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需個(gè)條件(如一對(duì) x, y的值或一 個(gè)點(diǎn))就可求得k的值.(2) 由于一次函數(shù) y=kx+b (kz 0)中有兩個(gè)待定系數(shù) k, b,需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩 個(gè)關(guān)于k, b的方程，求得k, b 的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)

6、 或兩對(duì)x, y的值.知識(shí)點(diǎn)6待定系數(shù)法先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式(其中含有未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程（或方程組），求出未知系數(shù)，從 而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法.其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù).例如：函數(shù)y=kx+b中，k, b就是待定系數(shù).知識(shí)點(diǎn)7用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟（1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為 y=kx+b;（2）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程（組）；（3）求出k與b的值，得到函數(shù)表達(dá)式.例如：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, 1 ）和（-1 , -3 ）求此一次函數(shù)的關(guān)系式.解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為y = kx+b （kz 0）,由題意可知，1 2k b,3 k b,

7、4 5此函數(shù)的關(guān)系式為 y=-x 5 .33【說(shuō)明】本題是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式，具體步驟如下： 第一步，設(shè)（根據(jù)題中要求的函數(shù)“設(shè)”關(guān)系式 y=kx+b，其中k, b是未知 的常量，且k工0）；第二步，代（根據(jù)題目中的已知條件，列出方程（或方 程組），解這個(gè)方程（或方程組），求出待定系數(shù)k, b）；第三步，求（把求 得的k, b的值代回到“設(shè)”的關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中）；第四步，寫（寫出函數(shù)關(guān)系式）思想方法小結(jié)（1）函數(shù)方法.函數(shù)方法就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來(lái)分析題中的數(shù)量關(guān)系，抽象、升華為函數(shù)的模型，進(jìn)而解決有關(guān)問(wèn)題的方法.函數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，靈活運(yùn)用函數(shù)方法可以

8、解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題.（2）數(shù)形結(jié)合法.數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問(wèn)題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，能起到事半功倍的作用.知識(shí)規(guī)律小結(jié) （1）常數(shù)k, b對(duì)直線y=kx+b（k豐0）位置的影響.當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；3Jgslinjin免費(fèi)資料當(dāng)b 0時(shí)，直線與x軸正半軸相交；k當(dāng)b=0時(shí)，即-b=0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；k當(dāng)k, b同號(hào)時(shí)，即-b O, bO時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限；當(dāng)k0, b=0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；當(dāng)bO, bv O時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；當(dāng)k 0時(shí)，圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；當(dāng)k 0時(shí)

9、，把直線y=kx向上平移b個(gè)單位，可得直線 y=kx+b ； 當(dāng)b O時(shí)，把直線y=kx向下平移|b|個(gè)單位，可得直線 y=kx+b .(3) 直線 bi=kiX+bi 與直線 y2=k2X+b2 (ki z 0 , k2 0)的位置關(guān)系.ki z k2yi與y2相交；kibk2b2yi與y2相交于y軸上同一點(diǎn)(0, bi)或(0, b2)；kik2,b2yi與y2平行;kibk2,b2yi與y2重合.典例講解基本題本節(jié)有關(guān)基本概念的題目主要是一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系，以及構(gòu)成一次函數(shù)及正比例函數(shù)的條件.例i下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？1 2(i) y=-

10、x；(2) y=- ；(3) y=-3-5x ；2 x2 1 2(4) y=-5x ;(5) y=6x-(6) y=x(x-4)-x2分析本題主要考查對(duì)一次函數(shù)及正比例函數(shù)的概念的理解.解：(1)( 3)(5)( 6)是一次函數(shù)，(I ) (6)是正比例函數(shù).例2當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù) y=- (m-2) x m 3 + ( m-4)是一次函數(shù)？分析某函數(shù)是一次函數(shù)，除應(yīng)符合y=kx+b夕卜，還要注意條件 kz 0.解:函數(shù) y- ( m-2) x+ ( m-4)是一次函數(shù)，m2 3 1, m-2.(m 2) 0,當(dāng) m=-2 時(shí)，函數(shù) y= (m-2) x m 3 + ( m-4)是一次函數(shù).小

11、結(jié) 某函數(shù)是一次函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：一次項(xiàng)(或自變量)的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.而某函數(shù)若是正比例函數(shù)，則還需添加一個(gè)條件：常數(shù) 項(xiàng)為0.基礎(chǔ)應(yīng)用題本節(jié)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用主要包括：(1)會(huì)確定函數(shù)關(guān)系式及求函數(shù)值；(2) 會(huì)畫一次函數(shù)(正比例函數(shù))圖象及根據(jù)圖象收集相關(guān)的信息；(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題；(4)利用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式.例3 一根彈簧長(zhǎng)15cm,它所掛物體的質(zhì)量不能超過(guò)18kg，并且每掛1kg的物體，彈簧就伸長(zhǎng) 0. 5cm,寫出掛上物體后，彈簧的長(zhǎng)度y (cm)與所掛物體的質(zhì)量 x(kg )之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數(shù).分

12、析(1)彈簧每掛1kg的物體后，伸長(zhǎng) 0. 5cm,則掛xkg的物體 后，彈簧的長(zhǎng)度 y為(l5+0 . 5x) cm,即y=15+0. 5x.(2) 自變量x的取值范圍就是使函數(shù)關(guān)系式有意義的x的值，即0 x 18.(3) 由y=15+0. 5x可知，y是x的一次函數(shù).解：(l ) y=15+0. 5x.(2) 自變量x的取值范圍是 0x 18.(3) y是x的一次函數(shù).學(xué)生做一做 烏魯木齊至庫(kù)爾勒的鐵路長(zhǎng)約 600千米，火車從烏魯木齊 出發(fā)，其平均速度為 58千米/時(shí)，則火車離庫(kù)爾勒的距離 s (千米)與行 駛時(shí)間t (時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式是老師評(píng)一評(píng) 研究本題可采用線段圖示法，如圖11-

13、 19所示.匸二-T狀 T馬*木番庫(kù)爾勒?qǐng)D 1119火車從烏魯木齊出發(fā)，t小時(shí)所走路程為58t千米，此時(shí)，距離庫(kù)爾勒的距離為s千米，故有58t+s=600，所以，s=600-58t .例4某物體從上午7時(shí)至下午4時(shí)的溫度M(C)是時(shí)間t (時(shí))的函 數(shù)：M=t2-5t+100 (其中t=0表示中午12時(shí)，t=1表示下午1時(shí))，則上午 10時(shí)此物體的溫度為 C.分析 本題給出了函數(shù)關(guān)系式，欲求函數(shù)值，但沒(méi)有直接給出t的具體值.從題中可以知道，t=0表示中午12時(shí)，t=1表示下午1時(shí)，則上午 10 時(shí)應(yīng)表示成 t=-2，當(dāng) t=-2 時(shí)，M=(-2 ) -5 X( -2 ) +100=102 (C

14、).答案：102例5已知y-3與x成正比例，且 x=2時(shí)，y=7.(1) 寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；(3) 當(dāng)y=4時(shí)，求x的值.分析由y-3與x成正比例，則可設(shè)y-3=kx ,由x=2 , y=7,可求出k, 則可以寫出關(guān)系式.解：(1)由于y-3與x成正比例，所以設(shè) y-3=kx .把x=2, y=7代入y-3=kx中，得7-3 = 2k,k = 2. y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y-3=2x，即y=2x+3.(2) 當(dāng) x=4 時(shí),y=2 X 4+3=11.1(3) 當(dāng) y = 4 時(shí)，4=2x+3,. x=.2學(xué)生做一做 已知y與x+1成正比例，當(dāng)x=5時(shí)

15、，y=12，則y關(guān)于x的 函數(shù)關(guān)系式是_.老師評(píng)一評(píng) 由y與x+1成正比例，可設(shè) y與x的函數(shù)關(guān)系式為 y=k (x+1).再把x=5, y=12代入，求出k的值，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式. 設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=k (x+1).當(dāng) x=5 時(shí)，y=12, 12= ( 5+1) k,. k=2. y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+2 .【注意】y與x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要誤認(rèn)為y=kx+1.例6 若正比例函數(shù) y （1-2m） x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A （xi, yi）和點(diǎn)B （X2, y2）,當(dāng)xiy2,則m的取值范圍是（）A. m0C. m M2分析本題考查正比例函數(shù)的

16、圖象和性質(zhì)，因?yàn)楫?dāng)XiV X2時(shí)，yiy2,1說(shuō)明y隨x的增大而減小，所以 i-2m -，故正確答案為 D項(xiàng).2學(xué)生做一做某校辦工廠現(xiàn)在的年產(chǎn)值是i5萬(wàn)元，計(jì)劃今后每年增加 2萬(wàn)元.（1）寫出年產(chǎn)值y （萬(wàn)元）與年數(shù)x （年）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）求5年后的產(chǎn)值.老師評(píng)一評(píng) （i）年產(chǎn)值y （萬(wàn)元）與年數(shù) x （年）之間的函數(shù)關(guān)系式 為 y=i5+2x.（2）畫函數(shù)圖象時(shí)要特別注意到該函數(shù)的自變量取值范圍為x 0,因此，函數(shù)y=i5+2x的圖象應(yīng)為一條射線.畫函數(shù)y=i2+5x 的圖象如圖ii2i所示.(3)當(dāng)y-2 1T T AlO 1 J J r 1L J? -3圈

17、11 22x=5 時(shí)，y= i5+2 X 5=25 （萬(wàn)元） 5年后的產(chǎn)值是25萬(wàn)元.例7已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖ii 22所示，求函數(shù)表達(dá)式. 分析從圖象上可以看出，它與 x軸交于點(diǎn)（-i , 0）,與y軸交于點(diǎn)（0, -3）,代入關(guān)系式中，求出 k為即可.解：由圖象可知，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-i , 0）和（0, -3 ）兩點(diǎn)，代入到y(tǒng)=kx+b中，得0 kb, k3,3 0 b, b3.此函數(shù)的表達(dá)式為y=-3x-3.例8 求圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-1 ）,且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表 達(dá)式.分析 圖象與y=2x+1平行的函數(shù)的表達(dá)式的一次項(xiàng)系數(shù)為2,則可設(shè)此表達(dá)式為y=2x+b，

18、再將點(diǎn)（2, -1 ）代入，求出b即可.解：由題意可設(shè)所求函數(shù)表達(dá)式為y=2x+b ,圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, -1 ）, -l=2 X 2+b. b=-5 ,所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-5.綜合應(yīng)用題本節(jié)知識(shí)的綜合應(yīng)用包括：（1）與方程知識(shí)的綜合應(yīng)用；（2）與不等式 知識(shí)的綜合應(yīng)用；（3）與實(shí)際生活相聯(lián)系，通過(guò)函數(shù)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.例8 已知y+a與x+b （a, b為是常數(shù)）成正比例.（1）y是x的一次函數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2） 在什么條件下，y是x的正比例函數(shù)？分析 判斷某函數(shù)是一次函數(shù)，只要符合y=kx+b （k, b中為常數(shù)，且 2 0）即可；判斷某函數(shù)是正比例函數(shù)，只要符合y=kx

19、（k為常數(shù)，且k工0）即可.解：（1） y是x的一次函數(shù)./ y+a與x+b是正比例函數(shù)，設(shè) y+a=k（x+b） （k 為常數(shù)，且 0）整理得 y=kx+ （kb-a ）. kz0, k, a, b 為常數(shù)， y=kx+（kb-a）是一次函數(shù).（2） 當(dāng) kb-a=O , 即卩 a=kb 時(shí)，y是x的正比例函數(shù).例9某移動(dòng)通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先交50元月租費(fèi)，然后每通話 1分，再付電話費(fèi)0. 4元；“神州行”使用者不交月 租費(fèi)，每通話1分，付話費(fèi)0. 6元（均指市內(nèi)通話）若1個(gè)月內(nèi)通話x分， 兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y1元和y2元.（1）寫出y1, y2與x之間的關(guān)系

20、；（2）一個(gè)月內(nèi)通話多少分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？（3） 某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，則選擇哪種通訊方式較合算？ 分析這是一道實(shí)際生活中的應(yīng)用題，解題時(shí)必須對(duì)兩種不同的收費(fèi)方式仔細(xì)分析、比較、計(jì)算，方可得出正確結(jié)論.解：（1） y1=50+0. 4x （其中x 0,且x是整數(shù)）y2=0. 6x （其中x0，且x是整數(shù)）(2) T兩種通訊費(fèi)用相同, yi=y2,即 50+0. 4x=0. 6x. - x = 250.一個(gè)月內(nèi)通話250分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同.(3)當(dāng) yi=200 時(shí)，有 200=50+0. 4x, x=375 (分). “全球通”可通話 375分.當(dāng) y2=20

21、0時(shí)，有 200=0. 6x,1 x=333(分).31 “神州行”可通話 333 - 分.31/ 375 333,3選擇“全球通”較合算.例10 已知y+2與x成正比例，且 x=-2時(shí)，y=0 .L.O p 3 才-3 P(1) 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 畫出函數(shù)的圖象；(3) 觀察圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y 0?(4) 若點(diǎn)(m 6)在該函數(shù)的圖象上， 求m的值；(5) 設(shè)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上，(2)中 的圖象與x軸、y軸分別交于A, B兩點(diǎn)，且 Sa abp=4，求P點(diǎn)的坐標(biāo).分析由已知y+2與x成正比例, 可設(shè)y+2=kx，把x=-2 , y=0代入，可求出k，這樣即可得到y(tǒng)與x之間

22、的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)進(jìn)行分析，點(diǎn)( m 6)在該函數(shù)的圖象上，把x=m, y=6代入即可求出 m的值. 解：(1 )T y+2與x成正比例，設(shè)y+2=kx (k是常數(shù)，且 k豐0)當(dāng) x=-2 時(shí)，y=0 . 0+2= k (-2 ), k = -1 .函數(shù)關(guān)系式為x+2=-x , 即 y=-x-2 .(2)列表；x0-2y-20描點(diǎn)、連線，圖象如圖 11-23所示.(3)由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x 0.當(dāng) x O；兩函數(shù)圖象平行，說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)相等； y隨x的增大而減小，說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)小于0.解：(1)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則它是正比例函數(shù).2k2 183 k 0,0, k = -225當(dāng)

23、k=-3時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn).(2)該一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0, -2 )2 一 -2=-2k +18,且 3-k 工 0, k= . 10當(dāng)k= 10時(shí)，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0 , -2)(3) 函數(shù)圖象平行于直線y=-x , 3-k=-1 ,/ k = 4.當(dāng)k = 4時(shí)，它的圖象平行于直線x=-x .(4) v隨x的增大而減小， 3-k 3.當(dāng)k 3時(shí)，y隨x的增大而減小.例12 判斷三點(diǎn) A ( 3, 1) , B ( 0, -2 ), C (4, 2)是否在同一條直線 上.分析由于兩點(diǎn)確定一條直線，故選取其中兩點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的函 數(shù)表達(dá)式，再把第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，若成立，說(shuō)明在

24、此直線上； 若不成立，說(shuō)明不在此直線上.解：設(shè)過(guò)A, B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為y=kx+b .由題意可知，1 3k b, k 1,2 0 b, b 2.過(guò)A, B兩點(diǎn)的直線的表達(dá)式為 y=x-2 .當(dāng) x=4 時(shí)，y=4-2=2 .點(diǎn) C (4, 2)在直線 y=x-2 上.三點(diǎn)A ( 3, 1) , B (0, -2 ) , C( 4, 2)在同一條直線上.學(xué)生做一做判斷三點(diǎn) A (3, 5), B (0, -1 ) , C (1 , 3)是否在同一條直線上.探索與創(chuàng)新題主要考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用.例13老師講完“一次函數(shù)”這節(jié)課

25、后，讓同學(xué)們討論下列問(wèn)題：(1) x從0開始逐漸增大時(shí)，y=2x+8和y=6x哪一個(gè)的函數(shù)值先達(dá)到 30?這說(shuō)明了什么？(2) 直線y=-x與y=-x+6的位置關(guān)系如何？甲生說(shuō)：“y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30,說(shuō)明y=6x比y=2x+8的值增長(zhǎng)得快.” 乙生說(shuō)：“直線y=-x與y=-x+6是互相平行的.”你認(rèn)為這兩個(gè)同學(xué)的說(shuō)法正確嗎？分析(1)可先畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，從圖象中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x 2時(shí)，6x 2x+8,所以，y=6x的函數(shù)值先達(dá)到 30.(2)直線y=-x與y=-x+6中的一次項(xiàng)系數(shù)相同，都是-1，故它們是平 行的，所以這兩位同學(xué)的說(shuō)法都是正確的.解：這兩位同學(xué)的說(shuō)法都正確.例14某校一

26、名老師將在假期帶領(lǐng)學(xué)生去北京旅游，用旅行社說(shuō)：“如果老師買全票，其他人全部半價(jià)優(yōu)惠. ”乙旅行社說(shuō)：“所有人按全票價(jià)的 6 折優(yōu)惠”已知全票價(jià)為240元.（1） 設(shè)學(xué)生人數(shù)為x,甲旅行社的收費(fèi)為 y甲元，乙旅行社的收費(fèi)為 y 乙元，分別表示兩家旅行社的收費(fèi)；（2）就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠.分析先求出甲、乙兩旅行社的收費(fèi)與學(xué)生人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式， 再通過(guò)比較，探究結(jié)論.解：（1 ）甲旅行社的收費(fèi) y甲（元）與學(xué)生人數(shù) x之間的函數(shù)關(guān)系式為y 甲=240+ - X240x=240+120x.2乙旅行社的收費(fèi)y乙（元）與學(xué)生人數(shù) x之間的函數(shù)關(guān)系式為y 乙=240 X 60 %X（ x+1）

27、 =144x+144 .（2）當(dāng) y 甲=y 乙時(shí)，有 240+120x=144x+144 ,/ 24x= 96,. x=4 .當(dāng)x=4時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)相同，去哪家都可以. 當(dāng) y 甲y 乙時(shí)，240+120x 144x+144 , 24xv 96,. x V 4.當(dāng)x 4時(shí)，去乙旅行社更優(yōu)惠. 當(dāng) y 甲 y 乙時(shí)，有 240+120x 96,. x4.當(dāng)x4時(shí)，去甲旅行社更優(yōu)惠.小結(jié) 此題的創(chuàng)新之處在于先通過(guò)計(jì)算進(jìn)行討論，再作出決策，另外， 這兩個(gè)函數(shù)都是一次函數(shù)，利用圖象來(lái)研究本題也不失為一種很好的方法.學(xué)生做一做某公司到果園基地購(gòu)買某種優(yōu)質(zhì)水果，慰問(wèn)醫(yī)務(wù)工作者.果園基地對(duì)購(gòu)買量在

28、3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷售方案.甲 方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克 8元，由顧客自己租 車運(yùn)回，已知該公司租車從基地到公司的運(yùn)輸費(fèi)為5000元.（1） 分別寫出該公司兩種購(gòu)買方案的付款y （元）與所購(gòu)買的水果量 x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；（2） 當(dāng)購(gòu)買量在什么范圍時(shí)，選擇哪種購(gòu)買方案付款少？并說(shuō)明理由.老師評(píng)一評(píng)先求出兩種購(gòu)買方案的付款 y （元）與所購(gòu)買的水果量 x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，再通過(guò)比較，探索出結(jié)論.（1）甲方案的付款y甲（元）與所購(gòu)買的水果量x （千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y 甲=9x （x 3000）;乙方案的

29、付款y乙（元）與所購(gòu)買的水果量x （千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y 乙=8x+5000（x3000）.（2）有兩種解法：解法1 :當(dāng)y甲=y乙時(shí)，有9x=8x+5000, x=5000.當(dāng)x=5000時(shí)，兩種方案付款一樣，按哪種方案都可以. 當(dāng)y甲 y乙時(shí)，有9x 3000,當(dāng)3000 8x+5000, x5000.當(dāng)x5000時(shí)，乙方案付款少，故采用乙方案.解法2:圖象法，作出y甲=9x和y 乙=8x+5000的函數(shù)圖象，如圖11 24 所示，由圖象可得：當(dāng)購(gòu)買量大于或等于3000千克且小于5000千克時(shí)，y甲0時(shí)，y隨x的增大而增大，則有：當(dāng)x=-3 , y=-5 ;當(dāng) x=6時(shí)，y=-2，把

30、它們代 入y=kx+b中可得5 3k b,2 6k b,13, 函數(shù)解析式為4,當(dāng)k 0）, y=kx+b.又當(dāng)x=20時(shí),y=1600 ;當(dāng) x=30 時(shí),y=2000 ,1600 20 k b, . k 40,2000 30k b, b 800. y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y=40x+800 （x 0）.（2）當(dāng) x=50 時(shí)，y=40 X 50+800=2800 （元）.每名運(yùn)動(dòng)員需支付 280050=56 （元答：每名運(yùn)動(dòng)員需支付56元.例2已知一次函數(shù) y=kx+b，當(dāng)x=-4時(shí)，y的值為9 ;當(dāng)x=2時(shí)，y的值為-3 .（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式。（2）在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這個(gè)函數(shù)的圖

31、象.分析求函數(shù)的解析式，需要兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x, y的值，把它們代入y=kx+b中，即可求出k在的值，也就求出這個(gè)函數(shù)的解析式，進(jìn)而畫出這 個(gè)函數(shù)的圖象.解：（1）由題意可知9 4k b, k 2 3 2k b,b 1.這個(gè)函數(shù)的解析式為x=-2x+1.圖 II - 26列表如下:x012y10描點(diǎn)、連線，如圖11 26所示即為y=-2x+1 的圖象.例3如圖11 27所示，大拇指與小拇指 盡量張開時(shí)，兩指尖的距離稱為指距.某項(xiàng)研究表明，一般情況下人的身高 h是指距d的一次函 數(shù)，下表是測(cè)得的指距與身高的一組數(shù)據(jù).指距d/cm20212223身高 h/cm160169178187（1）求出h與d之

32、間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量 d的取值范圍）（2）某人身高為196cm, 般情況下他的指距應(yīng)是多少?分析設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是 h=kd+b （k豐0）當(dāng) d = 20 時(shí)，h=160;當(dāng) d=21 時(shí),h=169 .把這兩對(duì)d,h值代人h=kd+b得160 20k b, k 9,169 21k b, b 20.所以得出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng) h=196時(shí)，即可求出 d.解：（1 ）設(shè)h與d之間的函數(shù)關(guān)系式為h=kd+b（k 工 0）由題中圖表可知當(dāng) d=2O時(shí),h=16O ;當(dāng)d=21 時(shí)，h=169.把它們代入函數(shù)關(guān)系式，得160 20k b, . k 9,169 21k b

33、, b 20.h與d之間的函數(shù)關(guān)系式是 h=9d-20 .(2) 當(dāng) h=196 時(shí)，有 196=9d-20 .d = 24.當(dāng)某人的身高為196cm時(shí)，一般情況下他的指距是24cm.例4 汽車由重慶駛往相距 100千米/時(shí)，那么汽車距成 都的路程s （千米）與行駛時(shí) 間t （時(shí)）的函數(shù)關(guān)系用圖象 （如圖11 28所示）表示應(yīng) 為（）400千米的成都，如果汽車的平均速度是分析本題主要考查函 數(shù)關(guān)系式的表達(dá)及函數(shù)圖象 的知識(shí)，由題意可知，汽車距 成都的路程s （千米）與行駛 時(shí)間t （時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式是 s=400-100t ,其中自變量t的 取值范圍是0 Wt 4,所以有0 s 400,因此這

34、個(gè)函數(shù)圖象應(yīng)為一條線段,故淘汰掉D.又因?yàn)樵赟=400-100t中的k=-100 V 0, s隨t的增大而減小, 所以正確答案應(yīng)該是C.答案：C小結(jié) 畫函數(shù)圖象時(shí)，要注意自變量的取值范圍，尤其是對(duì)實(shí)際問(wèn)題.例5 已知函數(shù)：（1）圖象不經(jīng)過(guò)第二象限；（2）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2, -5 ）. 請(qǐng)你寫出一個(gè)同時(shí)滿足（1）和（2）的函數(shù)關(guān)系式： .分析這是一個(gè)開放性試題，答案是不惟一的，因?yàn)辄c(diǎn)（2, -5 ）在第四象限，而圖象又不經(jīng)過(guò)第二象限，所以這個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象 限，只需在第一象限另外任意找到一點(diǎn)，就可以確定出函數(shù)的解析式.設(shè)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限的直線解析式為 y=kx+b （kz O）,另

35、外的一點(diǎn)為（4, 3）, 把這兩個(gè)點(diǎn)代入解析式中即可求出k, b.3 4k b, k4, y=4x-13.5 2k b, b 13.答案：y = 4x-13【注意】后面學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)二次函數(shù)后可另行分析例6人在運(yùn)動(dòng)時(shí)的心跳速率通常和人的年齡有關(guān).如果用a表示一個(gè)人的年齡，用b表示正常情況下這個(gè)人運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分心跳的最高次 數(shù)，另么 b=0. 8 (220-a ).(1) 正常情況下，在運(yùn)動(dòng)時(shí)一個(gè)16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最 高次數(shù)是多少？(2) 一個(gè)50歲的人運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)心跳的次數(shù)為 20次，他有危險(xiǎn)嗎？分析(1)只需求出當(dāng)a=16時(shí)b的值即可.(2)求出當(dāng)a=50時(shí)b的值，再用

36、b和20X 60 =120(次)相比較即可.10解：(1 )當(dāng)a=16時(shí)，b=0. 8 (220-16 )= 163. 2 (次).正常情況下，在運(yùn)動(dòng)時(shí)一個(gè)16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳的最高次數(shù)是163. 2次.(2) 當(dāng) a=50 時(shí)，b=0. 8 (220-50 ) =0. 8X 170=136 (次)，表示他最大能承受每分136次.而20X聖=120 0, W隨x的增大而增大.當(dāng) x=40 時(shí)，Wft小值=10X 40+4800=5200 （元）.運(yùn)費(fèi)最低時(shí)，x=40, 90-x=50 （噸），x-40=0 （噸）.當(dāng)總運(yùn)費(fèi)最低時(shí)，運(yùn)送方案是：C縣的100噸化肥40噸運(yùn)往A縣，60噸運(yùn)

37、往B縣，D縣的50噸化肥全部運(yùn)往 A縣.水庫(kù)蓄水量普遍下(萬(wàn)米2)與干旱持續(xù)時(shí)間t (天)之問(wèn)例8 2006年夏天，某省由于持續(xù)高溫和連日無(wú)雨， 降，圖11 29是某水庫(kù)的蓄水量 V 的關(guān)系圖，請(qǐng)根據(jù)此圖回答下列問(wèn)題.2 ?持續(xù)干3?3400萬(wàn)米時(shí),8004002W(1) 該水庫(kù)原蓄水量為多少萬(wàn)米 旱10天后水庫(kù)蓄水量為多少萬(wàn)米(2) 若水庫(kù)存的蓄水量小于， 將發(fā)出嚴(yán)重干旱警報(bào)，請(qǐng)問(wèn)：持續(xù)干旱多少天后， 將發(fā)生嚴(yán)重干旱警報(bào)？(3) 按此規(guī)律，持續(xù)干旱多少天時(shí)，水庫(kù) 將干涸？分析由函數(shù)圖象可知，水庫(kù)的蓄水量 V (萬(wàn)米2)與干旱時(shí)間t (天) 之間的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，設(shè)一次函數(shù)的解析式是 V=

38、kt+b (k, b是常數(shù),且k工0）.由圖象求得這個(gè)函數(shù)解析式，進(jìn)而求出本題（1） （2） （3）問(wèn)即可.解：設(shè)水庫(kù)的蓄水量 V （萬(wàn)米3）與干旱時(shí)間t （天）之間的函數(shù)關(guān)系式 是V=kt+b （ k， b 是常數(shù)，且 k=0）.由圖象可知，當(dāng)t=10時(shí)，V=800;當(dāng)t=30時(shí)，V=400.把它們代入V=kt+b中，得80010kb, k20,40030kb,b1000. V=-20t+1000 （0 w t w 50）.（1）當(dāng) t=0 時(shí)，V=-20 X 0+1000=1000 （萬(wàn)米 ）; 當(dāng) t=10 時(shí)，V=-20 X 10+1000=800 （萬(wàn)米 3）.3該水庫(kù)原蓄水量為 1000萬(wàn)米，持續(xù)干旱10天后，水庫(kù)蓄水量為800 萬(wàn)米3.（2）當(dāng) W 400 時(shí)，有-20t+1000 V 400, t 30,當(dāng)持續(xù)干旱30天后，將發(fā)生嚴(yán)重干旱警報(bào).（3）當(dāng) V=0 時(shí)，有-20t+1000=0 , t = 50 ,按此規(guī)律，持續(xù)干旱50天時(shí)，水庫(kù)將干涸.【說(shuō)明】解決本題的關(guān)鍵是求出V與t之間的函數(shù)關(guān)系式.例9圖11 30表示甲、乙兩名選手在一次自行車越野賽中，路程y（千米）隨時(shí)間x （分）變化的圖象（全程），根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題.（1）當(dāng)比賽開始多少分時(shí)，兩人第一次相遇？（2）這次比賽全程是多少千米？（3）當(dāng)比賽