微分幾何課程標準

1、微分幾何課程標準一、課程概述微分幾何是數(shù)學與應用數(shù)學(師范)專業(yè)的一門選修課，本課程是以數(shù)學分析為主要工具研究空間形式的一門數(shù)學分科。 它以經典微分幾何為主要內容，主要討論三維歐氏空間屮曲線和曲面的局部性質。同時還介紹了現(xiàn)代研究方法，即外微分、活動標架方法去處理曲線、曲面的局部 理論。通過本課程的學習，可以使學生空間思維及幾何直觀想象能力得到提高，為進一步學習諸如流形上微積分、偏微分方程、拓撲、黎曼幾何等課程打好基礎。二、課程目標1、知道微分幾何這門科學的性質，地位與獨立價值，知道該學科的研究對彖、研究方法、學科進展與未來方向；2、理解本學科的基本概念、基本原理和方法及初步的應用；3、能用微分

2、幾何的觀點來認識屮學幾何的內容；4、具備進一步學習現(xiàn)代微分幾何及其它數(shù)學分支的基礎知識。三、課程內容、教學要求該課程的知識與技能要求分為了解、理解、掌握三個層次，下面教學內容和要求表屮的“V”號表示教學知識和技能的教學要求層次。(一)曲線論教學內容教學要求知道理解掌握學會1、向量代數(shù)復習V2、向量函數(shù)的概念、連續(xù)性、微商、泰勒公式與積分V3、曲線的概念(1)曲線的概念、光滑曲線、曲線的正常點V(2)曲線的切線與法平面(3)曲線的弧長、自然參數(shù)VV4、空間曲線(1)空間曲線的切平面(2)空間曲線的切線與法平面VV(3) 空間曲線的曲率、撓率和伏雷內(Frenet)公式(4) 空間曲線在一點鄰近的

3、結構VV(5)空間曲線論的基本原理V5、特殊曲線(1)平面曲張的伏雷內標架V(2)平面曲線的曲率、曲率半徑、曲率圓V(3)平面曲線的伏雷內(Frenet)公式V(4)平面曲線在一點鄰近的結構V(5)平面曲線的漸縮線和漸伸線V(6) 一般螺線V(7)伏特朗曲線V(二)曲面論教學內容教學要求知道理解掌握學會1、曲面的概念(1 )簡單曲面及其參數(shù)表示V(2 )光滑曲面、曲面的切平面與法線V(3)曲面上的曲線簇和曲線網V2、曲面的第一基本形式(1)曲面的第一基本形式、曲面上曲線的弧長V(2)曲面上兩方向的交角V(3 )正交曲線簇和正交軌線V(4)曲面的面積V(5)等距變換和保角交換V3、曲面的第二基本

4、形式(1)曲面的第二基本形式V(2)曲面上曲線的曲率V(3)杜邦(Dupin )指標線V(4)曲面的漸近方向和共轆方向V(5 )曲面的主方向和曲率線(6)曲面的主曲率、咼斯(Ga nss)曲率和平均曲率(7 )曲面在一點鄰近的結構(8)咼斯(Ganss)曲率的幾何意義4、直紋面和可展曲面(1)直紋面(2 )可展曲面5、曲面論的基本定理(1) 曲面的基本定理和克里斯托斐耳(Christoffe 1)符號(2) 曲面的黎曼曲率張量和高斯一科達奇一-邁因納爾迪公式(3) 曲面論的基本定理6、曲面上的測地線(1 )曲面上曲線的測地曲率(2 )曲面上的測地線(3 )曲面上的半測地坐標網(4 )曲面上測地

5、線的短程性(5 )高斯一波涅公式(6 )曲面上向量的平行移動(7 )極小曲面7、常咼斯曲率的曲面(1) 常咼斯曲率的曲面(2) 偽球面(3 )羅氏幾何四、課程實施(一)課時安排與教學建議微分幾何是數(shù)學與應用數(shù)學(師范)專業(yè)的一門選修課。每周安排時。函授生i般為40課時。具體安排如下:VVVVVVVVV4課時，共60課主要內容課時建議教與學的方法建議按60課時計按40課時計一、預備知識86教師講授二、曲線論1612三、曲面論3218四、總復習22五、機動22（二）教學組織形式與教學方法的要求1、教學班是主要教學組織，班級授課是教學的主要組織形式。根據(jù)幾何學種的特點，盡可能使用 多媒體教學手段。2

6、、充分利用習題課課時，靈活地組織學生進行有利于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題與解決問題的 能力的各種教學活動。3、評價教學方法要以實現(xiàn)課程標準規(guī)定的教學目標為依據(jù)，好的教學方法應有助于學生對教學內容的理解，并能激發(fā)學生的學習熱情，更好地培養(yǎng)學生的空間思維及幾何直觀想象能力。五、教材編寫與選用本課程選用梅向明、黃敬元編寫的由高等教育出版社出版的教材微分幾何（第二版）六、學習評價與考核1、這門課程的評價依據(jù)本課程標準規(guī)定的課程目標、教學內容和要求。該門課程的成績 評定采用 平時考核（30%）和期末考試（70% ）相結合的形式。2、考試時間：120分鐘3、考試方法、分制與分數(shù)解釋采用閉卷、筆試的方式，以百分制評分，60分及格，滿分100分。4、題型比例判斷題10%;填空題10% ;計算題50% ;證明題30%o5、樣題與目標定位示例A、判斷題：（著重考查學生對知識的理解程度）例：常高斯曲率曲面的平均曲率必為常數(shù)。（）B、填空題：（著重考查學生對知識的理解程度）例：曲面二 u+v, U 一V, uv在（U, V）=（O, O）處的法線方程是C、計算題：（著重考查學生對知識的