整式的乘法和因式分解知識(shí)點(diǎn)匯總

1、整式乘除與因式分解 一知識(shí)點(diǎn)（重點(diǎn)） 1 幕的運(yùn)算性質(zhì)： am an=am+n（ m、n 為正整數(shù)） 同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加. 例：（一2a）2 （- 3a2）3 m n 2. a = amn（m、n為正整數(shù)） 幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘. 例: （a(4) (-a) 7*(-a)(5) (-b) 5*(-b)2 ）5. 零指數(shù)幕的概念： .nn j 3. ab a b （n為正整數(shù)） 積的乘方等于各因式乘方的積. 例：（一a2b）3 練習(xí)： (1) 5x3 2x2y (2) 3ab ( 4b2) (3) 3ab 2a (4) yz 2y2z2 (5) (2x2y)3 (4xyam

2、 an = am-n (a0，m、n 都是正整數(shù)，且 mn) 同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減. 例：(1) x8*x2 (2) a4*a (3) (ab) 5*( ab) 2 ) (6) 1 3.5-2 /2、2 -a b 6a b c ( ac ) 6. 負(fù)指數(shù)幕的概念: 1 a-p = ap (a 0, p 是正整數(shù)) 任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-p (p是正整數(shù))指數(shù)幕，等于這個(gè)數(shù)的 p指數(shù) 幕的倒數(shù). pp nm 也可表示為： mn(mH0, nM0, p為正整數(shù)) 7. 單項(xiàng)式的乘法法則： 單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單 項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的

3、指數(shù)作為積的一個(gè)因式. 11 例：(1) 3a (3X 108) X ( 4X 104) = b 2abc abc2(2) ( - m3n)3 ( 2m2n)4 32 8. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則： 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積 相加. 2 1 例：(1) 2ab(5ab2 3a2b)(2) (-ab2 2ab) ab 3 2 (3) (-5m2n) (2n 3m n2)(4) 2(x y2z xy2z3) xyz 9. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則： 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相 乘，再把所得的積相加. 例：(1) (

4、1 x)(0.6 x)(2) (2xy)( x y)(3) ( 2m n)2 練習(xí)： 1 1 .計(jì)算 2x3 ( 2xy)( xy)3 的結(jié)果是 2 / 11 3若n為正整數(shù)，且x2n= 3,則(3x3n)2的值為 4 如果(anb abm)3二a9b15，那么mn的值是 5. 02(2.03 a) 6. (-4x2 + 6x 8) ( 1x2) 7. 2n( 1 + 3mn2) 8 .若 k(2k 5) + 2k(1 k) 32,則 k 9. ( 3x?) + (2x 3y)(2x 5y) 3y(4x 5y) 10. 在(ax2 + bx 3)(x2 I x+ 8)的結(jié)果中不含 x3 和 x

5、 項(xiàng)，貝 U a, b 11. 一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為(a+ 4)cm，寬為(a 3)cm，高為(a+ 5)cm，則它的表面積 為，體積為。 12. 一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10cm,寬比長(zhǎng)少6cm，則它的面積是，若將長(zhǎng)方形的長(zhǎng) 和都擴(kuò)大了 2cm,則面積增大了。 10. 單項(xiàng)式的除法法則: 單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式 里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式. 例：(1) 28x4y2寧7x3y (2) -5a5b3c* 15a4b (3) (2x2y) 3 (-7xy2)* 14x4y3 11. 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則: 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式, 先把這個(gè)多項(xiàng)式的每

6、一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式, 再把所得的 3 3 / 11 商相加. 例: (1)(3x2y 6xy) 6xy(2) (5a3b 練習(xí)： 1.計(jì)算： (1)3x4y2z3 x2y2 ; 77 2x2y3 3 2 x y 2 62 (3) 16 a b 4 a b . (4) 4x3y2n 2 2xyn 2 10a2b2 15ab3) (5ab) 7 / 11 (5) 4 1092 103 2計(jì)算: (1) 16x3y3 12 3 2xy 3 1 2xy ； (2) 2 2 5xy 1 5xy (3) 2anbn 5 3計(jì)算: (1) 4 x (2) 16a b5 b3 4.若(ax3my12) -(3

7、x3y2n)=4x6y8 ,貝U a = 易錯(cuò)點(diǎn)：在幕的運(yùn)算中，由于法則掌握不準(zhǔn)出現(xiàn)錯(cuò)誤； 有關(guān)多項(xiàng)式的乘法計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤； 誤用同底數(shù)幕的除法法則； 用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則或多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則出錯(cuò); 乘除混合運(yùn)算順序出錯(cuò)。 平方差公式：(a+ b) (a b)= a2 b2 文字語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 完全平方公式：(a+ b)2= a2 + 2ab+ b2 (a-b) 2 = a2 2ab+ b2 文字語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或 減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍. 例 1： (1) (7+6x)(7-6x) ;(2) (3

8、y + x)(x-3y) ; (3) (-m + 2n)(-m-2n) 2 2 例 2： (1) (x+6)(2) (y-5)(3) (-2x+5) 練習(xí): 1、 /32、22、3/2、3 。x(x y )2(x y) ( xy )= 2、 6a4b3 12a3b4 8a3b2 2a3b2 3、 x2 9y2 (x )2 ； x2 2x 35 (x 7)( 4、 已知 5、若 9x2 6、多項(xiàng)式 mxy 16 y 是一個(gè)完全平方式，那么 x3 x2, x2 m的值是 2x 1,x2 x 2的公因式是 7、因式分解: 8、因式分解: 4m2 2mn 9、計(jì)算：0.131 8 10、x2 0.00

9、4 (x 1 2 _n 4 8 0.002 8 y) A，則 A=_ 易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)誤的運(yùn)用平方差公式和完全平方公式。 13因式分解（難點(diǎn)） 因式分解的定義 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式， 這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式 分解 掌握其定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： （1）分解對(duì)象是多項(xiàng)式，分解結(jié)果必須是積的形式，且積的因式必須是整 式，這三個(gè)要素缺一不可； （2）因式分解必須是恒等變形； （3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能分解為止 弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系 因式分解與整式乘法是互逆變形， 因式分解是把和差化為積的形式， 而整式乘法 是把積化為和差的形式 二、熟練掌握因式分解的常用方法 1

10、、提公因式法 （1）掌握提公因式法的概念； （2）提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式， 公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分： 系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)； 字母各項(xiàng)含有的相同字母； 指數(shù) 相同字母的最低次數(shù)； （3）提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確 定另一因式需注意的是，提取完公因式后， 另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng) 數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來檢驗(yàn)是否漏項(xiàng) （4）注意點(diǎn)：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”： 如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的 系數(shù)是正的 例：（1）8a3b2 12ab3c（2）75x3y5 35x2y4 2、公式法

11、 運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用； 常用的公式： 平方差公式：a b2=(a+ b) (a b) 完全平方公式：a2+ 2ab+ b2=( a+ b) 2 a2 2ab+ b2=( a b) 2 例：( 1) a2b2 0.25c2 (2) 9(a b)2 6(b a) 1 3) a4x2 4a2x2 y 4x2y2 (4) (x 22 y)2 12(x y)z 36z2 練習(xí)： 1、 若x2 2(m 3)x 16是完全平方式，則m的值等于 2、x2 x m (x n)2 則 m = n = 3、2x3y2與12x6y的公因式是 4、若 xm yn =(x y2)(x

12、y2)(x2 y4)，貝U m= ， n=。 5、在多項(xiàng)式 m2 n2, a2 b2,x4 4y2, 4s2 9t4中，可以用平方差公式分解因 式的 其結(jié)果是 6、若 x2 2(m 3)x 16是完全平方式，則 m= ) x 2 (x 2)(x ) 8、已知 1 x x2 x2004 x2005 0, 則 x2006 7、 9 / 11 9、 若16(a b)2 M 25是完全平方式 M=。 2 22 2 10、 x2 6x _ (x 3)2 ， x2_ 9 (x 3)2 11、若9x2 k y2是完全平方式，則k=。 12、若 x2 4x 4的值為 0，則 3x2 12x 5的值是 13、若

13、 x2 ax 15 (x 1)(x 15) 則 a=。 22 14、若 x y 4,x2 y26 則 xy _。 15、方程 x2 4x 0 ，的解是。 易錯(cuò)點(diǎn)：用提公因式法分解因式時(shí)易出現(xiàn)漏項(xiàng)，丟系數(shù)或符號(hào)錯(cuò)誤； 分解因式不徹底。 13 / 11 中考考點(diǎn)解讀: 整式的乘除是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是中考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容其考點(diǎn)主要涉及以下幾個(gè)方面： 考點(diǎn)1、幕的有關(guān)運(yùn)算 例1. （2009年湘西）在下列運(yùn)算中，計(jì)算正確的是（） （A） a3 a2 a6 （B） （a2）3 a5 （C） a8 a2 a4（d）（ab2）2 a2b4 分析:幕的運(yùn)算包括同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算、幕的乘方、積的乘方和同底數(shù)幕的除

14、法運(yùn)算. 幕的運(yùn)算是整式乘除運(yùn)算的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確解決幕的有關(guān)運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練理解各種運(yùn)算的法則. 解：根據(jù)同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算法則知a3 a2 a3 2 a5，所以（A）錯(cuò)；根據(jù)幕的乘 方運(yùn)算法則知（a2）3 a2 3 a6，所以（B）錯(cuò)；根據(jù)同底數(shù)幕的除法法則知 a8 a2 a8 2 a6，所以（C）錯(cuò)；故選（D）. 例2. （2009年齊齊哈爾）已知10m 2 , 10n 3，則103m 2n . 分析:本題主要考查幕的 運(yùn)算性質(zhì)的靈活應(yīng)用，可先逆用同底數(shù)幕的乘法法則 am an amn，將指數(shù)相加化為幕相乘的形式 ，再逆用幕的乘方的法則 （am）n amn,將指數(shù) 相乘轉(zhuǎn)化為幕的乘方的形式，然

15、后代入求值即可 解：103m2n 103m 102n （10m）3 （10n）2 23 32 72. 考點(diǎn)2、整式的乘法運(yùn)算 例3. （2009年賀州）計(jì)算：（2a）（丄1）=. 4 分析:本題主要考查單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算計(jì)算時(shí)，按照法則將其轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與 單項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，注意符號(hào)的變化. 111 解：（2a） （ a31） = （ 2a） a3（ 2a） 1 = a4 2a. 442 考點(diǎn)3、乘法公式 2 例4. （2009年山西省）計(jì)算：x 3 x 1 x 2 分析:運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則以及乘法公式進(jìn)行運(yùn)算，然后合并同類項(xiàng) 解: 29 x 1 x 2 =x 6x 9 (x 2x x

16、2) 2 2 =x 6x 9 x 2x x 2 = 9x 7. 3 例5.(2009年寧夏)已知：a b , ab 1，化簡(jiǎn)(a 2)(b2)的結(jié)果是. 2 分析:本題主要考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.首先按照法則進(jìn)行計(jì)算，然后靈活變形， 使其出現(xiàn)(a b )與ab，以便求值. 3 解：(a 2)(b 2) = ab 2a 2b 4 = ab 2(a b) 4 = 12 - 42 2 考點(diǎn)4、利用整式運(yùn)算求代數(shù)式的值 2 2 例6. ( 2009年長(zhǎng)沙)先化簡(jiǎn)，再求值：(a b)(a b) (a b) 2a ,其中 a 3, b 3 分析:本題是一道綜合計(jì)算題，主要在于乘法公式的應(yīng)用. 解：(

17、a b)(a b) (a b)2 2a2 2,2 2 2 2 aba 2ab b 2a 2ab 11 當(dāng) a 3, b 時(shí)，2ab 2 32 33. 考點(diǎn)5、整式的除法運(yùn)算 例 7. (2009 年廈門)計(jì)算:(2x y)(2x+ y) + y(y 6x)乞x 分析:本題的一道綜合計(jì)算題，首先要先算中括號(hào)內(nèi)的，注意乘法公式的使用，然后再進(jìn)行 整式的除法運(yùn)算. 解：(2x y)( 2x+ y) + y(y 6x)乞x =(4x2 y2 + y2 6xy) -2x =(4x2 6xy) -2x =2x 3y. 考點(diǎn)6、定義新運(yùn)算 例& (2009年定西)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”其法則為：a b a

18、2 b2，求方 程(4 3)x 24的解. 分析:本題求解的關(guān)鍵是讀懂新的運(yùn)算法則，觀察已知的等式aba2 b2可知，在 本題中“ ”定義的是平方差運(yùn)算， 即用“ ”前邊的數(shù)的平方減去“”后邊的數(shù)的平 方. 解： t a b a2 b2 , (4 3) x (42 32)x 7x 72 2 x 72 22 x224 x225 x 5 考點(diǎn) 7、乘法公式 例 3 ( 1) (2009 年白銀市 )當(dāng) x 3、 y 1 時(shí)，代數(shù)式 (x y)(x y) y2的值是. 2) (2009 年十堰市 )已知： a+b=3 ， ab=2,求書+匕2的值. 解析： 問題(1)主要是對(duì)乘法的平方差公式的考查.原式 =x 2- y 2 +y 2= x 2 = 3 2=9.問題(2) 考查了完全平方公式的變形應(yīng)用， (a b)2 a2 2ab b2, - a2 b2 (a b)2 2ab 32 2 2 5 說明： 乘法公式應(yīng)用極為廣泛， 理解公式的本質(zhì)， 把握公式的特征，熟練靈活地使用乘 法公式，可以使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單快捷，事半功倍 考點(diǎn) 8、因式分解 例 4(1) (2009 年本溪市 )分解因式： xy2 9x 2)(2009 年錦州市 )