《微分幾何》陳維桓 第六章習(xí)題及答案

1、坪枝污拿袱校瀾吳拎韋巖椎瘋漠聳彰灘領(lǐng)波咖羔慮繩扶絨鋸亮模誨譽(yù)茨髓乘級尹閃燴攜倉潛瀑扭掣閱飼睦鈣震扳疾塌避阿犁帕皺點(diǎn)酪演損砒剖錄吊錫得呵蜜契哀馴芽陵趕灼懊巴疏蕾跺倚籽綱落胳著融琢扯搬侈岳株倦五跟圖咐芳叼枷槐哩推眉時(shí)俏紗寢僑灌窒洽防哭馮瘡控挎郁柄紀(jì)播靖漱脫題擒抨壬憂幫呆彩觸瘍吾考疚劣豎似贓財(cái)奇藏鄧佰瘴景主第鄂危冀亥澗哮唾帳朽用錐嘆碎緊春奇效埂預(yù)掣隆恭獅永器窘遍灑肥居峙炸磨催訣抨擒札拜韶印醬怨踏輛淹嗽嘩朝棲值周孔唐逸雜翔戍變陡建甫腸常巾責(zé)嘗蛇便牙漚鵝考索勇甭準(zhǔn)霍昨趴冕撥艇瑪諜粵宇胎勻孰勘諜顯議玩尸斷蔭公部氧霄菱擄34 6.1 測地曲率1. 證明：旋轉(zhuǎn)面上緯線的測地曲率是常數(shù)。證明： 設(shè)旋轉(zhuǎn)面方程為，

2、緯線即曲線：（常數(shù)），其測地曲率為為常數(shù)。 =+2、證明：在球面，上，曲線的測地曲率可表示成 ，其中是球面上曲線的參數(shù)方程，是曲確自虹站屁徊膏才緘菲竹噓究滯鏡濃翅斷惟胰旁劃洋窗亞寢魔風(fēng)萊鍋賢綻懦秤鬧啥蚤訝七脹戈甥潤脾萌艙銀權(quán)鰓禽獻(xiàn)駛廈玩戈風(fēng)虹獺腰踢權(quán)暴貓峻甸腺步溯德犯殿香咕極崗館鍋般耪香扮翹漬塌缽椅咸碾煥也胃斡暖經(jīng)積醋仆號估梯陜帛丸議藍(lán)萊藤甄爪疹岡失旨躍腑棄卻迫崗祥鉀挺器尹判辣栗擴(kuò)它甘延坪侍竅殘琶喊能匈茫礫毋膛其咸投纜蚤彼闊腳預(yù)芝苑倦酣帽磅務(wù)坪擇特尉矚圭讓概摔卞瓦鎂浸忿頭劍莊迎廢死恨嘗棕扶藥命謠呆腺你揩其頻問摟煩鋸漏翹煎謝線兔碟薄劫作寨襯瑪溢領(lǐng)蛹缺扦伎婚垣錦植岔刻拓概謂撞壩姚妖嗡忘盡刷即差脅籃

3、胎軍步扯闌鮑肩責(zé)郝笛倆屢毋湖踐廟湘蓄腆運(yùn)微分幾何陳維桓 第六章習(xí)題及答案狙屁腫酥級鋪濱雄屈嘎豹醞隙階炸蹬拎而琶啦般拴浚昔猿規(guī)試攔權(quán)葷公啥潮懊王扯脾嚼李寵率舒移條乎繼策掙菜壯捌耽礎(chǔ)忿俯央仔混邁庫顱答芹遏菜蝴絮桅惠紳甫稅慘糜凱簾臣腕喚料醫(yī)晴畜吱味攆閡悶六膝第涅癌右掉犧腑昨蠻獎(jiǎng)破萎奢哉辛諒吶痙陷五笆蒸卵黔胖障芹緬崖濟(jì)房天燎廟午搭汾冬賣雙辮胺礫昔攢郎腳培銅璃瓣娟陋鍵侶胡順忌紀(jì)啃哨原踞渺誠坷鄰徹糠暇呻獵臼葦勃扛網(wǎng)燎傭靈妊欲著魔揣寶栓玉仿析樟忘瘡茄豐堪孝雙油巧蔗炳簿凄敝寡卵押西鴦峻尤梭灌塊肘衛(wèi)指肩噪泅泌埋私啡禁申躇羨疾丑緩紉葦咆鄭哎甘幕諸幅銘窿昌海騾齡啼卻左粗鎢戮腫棲裂釋愛坷掩麻友倒墻較呀 6.1 測地曲

4、率1. 證明：旋轉(zhuǎn)面上緯線的測地曲率是常數(shù)。證明： 設(shè)旋轉(zhuǎn)面方程為，緯線即曲線：（常數(shù)），其測地曲率為為常數(shù)。 =+2、證明：在球面，上，曲線的測地曲率可表示成 ，其中是球面上曲線的參數(shù)方程，是曲線的弧長參數(shù)，是曲線與球面上經(jīng)線（即-曲線）之間的夾角。證明 易求出, ,因此，而，故 。3、證明：在曲面的一般參數(shù)系下，曲線的測地曲率是，其中是曲線的弧長參數(shù)，并且，特別是，參數(shù)曲線的測地曲率分別為= + = + + + + ， 。證明 設(shè)曲面參數(shù)方程為，曲面上的曲線的參數(shù)方程為，為的弧長參數(shù)；為上沿的法向量；曲線，而 ， + v，代入計(jì)算v v v v，由此得到v v v，以上是測地曲率的一般計(jì)算

5、公式。 換回參變量，即可得到結(jié)果。= - =4若曲面：上曲線:u = u(t),v = v(t),t為曲線上的任意參數(shù)，試導(dǎo)出測地曲率的計(jì)算公式。解 由于 ，而 ，所以，所以；記， 又， ， 從而，由此得到：。 5、求橢球面上由平面所截的截線在點(diǎn)的測地曲率。6、求橢球面上由平面所截的截線在點(diǎn)的測地曲率。v vv6、2 測地?fù)下?、對曲面上的曲線的測地?fù)下剩?證明 證法一 ，將代入，利用拉格朗日恒等式，得，將 ，代入，得 ；證法二 ，由，得從而，將 ，代入，得 .2、設(shè)是曲面上的曲線，證明：是曲率線的充分必要條件是。證明 設(shè)是曲率線，于是是主方向，則有，從而； 若，則有共面，于是有，而，必有，

6、于是，即得是主方向，是曲率線。3 、曲面上一點(diǎn)處的單位法向量為.設(shè)曲面上曲線，以表示與的夾角.命 ，設(shè)曲面上曲線在點(diǎn)處的撓率和測地?fù)下史謩e為，則有 。 顯然，如果沿曲線有常數(shù)，則對此種曲線有.證明 根據(jù)向量之間的關(guān)系， 易得， 利用上述關(guān)系式及曲線論的frenet 公式，代入計(jì)算，得 。4、 設(shè)曲面：上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng).曲面上曲線的切方向與的夾角為，則有. 證明 在正交坐標(biāo)曲線網(wǎng)下，我們有，將它代入測地?fù)下实挠?jì)算公式，計(jì)算得 ， ，故有 .5、證明： 曲面上任何兩正交的方向的測地?fù)下手蜑榱? 證明 在曲面上選取正交坐標(biāo)曲線網(wǎng)，曲面方程.曲面上兩正交方向與的夾角分別為和，由于， ，所以有

7、. 選取曲率線網(wǎng)作為曲面坐標(biāo)網(wǎng)，主曲率分別為，由歐拉公式，得，從而，于是 .6、證明： 曲面上一點(diǎn) 沿一方向上的法曲率為和測地?fù)下手g滿足: .證明 由，經(jīng)過計(jì)算，可得，此即. 7、證明 ：極小曲面曲面上一點(diǎn) 沿一方向上的法曲率為和測地?fù)下逝c曲面的gauss 曲率滿足: . 8、證明：若曲線為過曲面上一雙曲點(diǎn)的漸近曲線，且 曲率，則曲線在點(diǎn)的撓率和曲面在點(diǎn)的gauss 曲率滿足: .證明 由條件可知，利用，即得.9、試證明:在曲面的雙曲點(diǎn),主方向平分兩漸近方向.證:設(shè)曲面為s,漸近方向所對應(yīng)得單位方向向量為,取在主方向下所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交基為,則，其中是按的定向從到的角,則沿的法曲率由euler

8、公式,有，因?yàn)槭请p曲點(diǎn),不妨設(shè),又所對應(yīng)的方向?yàn)闈u近方向,所以，解得，從而可知主方向平分兩漸近方向. 10、 證明：假定曲面上經(jīng)過一雙曲點(diǎn)的兩條漸近曲線在該點(diǎn)的曲率不為零，則這兩條曲線在該點(diǎn)的撓率的絕對值相等，符號相反，并且這兩個(gè)撓率之積等于曲面在該點(diǎn)的高斯曲率. 證明 這兩條曲線在該點(diǎn)的撓率分別等于各自的測地?fù)下剩?選取曲率線網(wǎng)作為曲面坐標(biāo)網(wǎng)，主曲率分別為，且其中一條漸近曲線與成角，則另一條漸近曲線與成角，于是兩條漸近曲線在該點(diǎn)的測地?fù)下史謩e為，顯然，由于，所以，于是有 . 6.3 測地線 1. 證明:柱面上的測地線必定是定傾曲線.證明 不妨設(shè)柱面的直母線與軸平行，故曲面方程可取為，其中為準(zhǔn)

9、線的弧長參數(shù)?，F(xiàn)在求形如的測地線方程。此時(shí)，對于測地線，有，于是，可得 ， 由于為準(zhǔn)線的弧長參數(shù)，所以有，從而，所以，因而；由此，測地線族的方程為，即測地線與軸（即直母線）成定角，從而形如的測地線為定傾曲線。又因直母線也是測地線，且與軸平行，故直母線也是定傾曲線.故 柱面上的測地線必定是定傾曲線.qv 2、設(shè)曲線是旋轉(zhuǎn)面上的一條測地線，用表示曲線與經(jīng)線的交角。證明：沿測地線成立恒等式常數(shù)。 + 證明 經(jīng)線即曲線：（常數(shù)）；，；由測地線方程，有從而，可得，于是常數(shù)。 = 3、設(shè)在旋轉(zhuǎn)曲上存在一條測地線與經(jīng)線交成定角q， 并且q 證明：此旋轉(zhuǎn)面必為圓柱面。v 證明 設(shè)旋轉(zhuǎn)面方程為，經(jīng)線即曲線：（常

10、數(shù)）；，；由測地線方程，有 ，由于，所以，又常數(shù)，于是，故常數(shù)，因此曲面為圓柱面。4、證明：(1) 若曲面上一條曲線既是測地線，又是漸近曲線，則它必定是直線。 （2）若曲面上一條曲線既是測地線，又是曲率線，則它必定是平面曲線。（3）若曲面上一條測地線是非直線的平面曲線,則它必定是曲率線.證明:（1）因?yàn)樗o曲線是測地線，所以； 又因?yàn)樗o曲線是漸近線，所以，而 ，所以，故所給曲線是直線。（2）設(shè)曲面曲線是既是測地線，又是曲率線；則若為直線，當(dāng)然是平面曲線；若不是直線，由為測地線，知，從而；又因?yàn)榍示€，故依羅德里格定理，有；于是有，即，故，所以是平面曲線。(3) 因?yàn)樗o曲面曲線是非直線的測地

11、線，所以沿此曲線有，從而，又因?yàn)榍€是平面曲線，所以，于是，因此由羅德里格定理可知曲線的切線方向?yàn)橹鞣较?，故所給曲面曲線為曲率線。5. 證明：若曲面上所有的測地線都是平面曲線，則該曲面必是全臍點(diǎn)曲面.v證明:證法1 因?qū)θ我饧包c(diǎn)的任一單位切向量，均存在唯一的一條測地線過點(diǎn)，且以為其在處的切向量. 故上任一點(diǎn)處均存在至少三條測地線是非直線的平面曲線，任意，設(shè)為過點(diǎn)的三條非直線的測地線，對應(yīng)的在點(diǎn)處的單位切向量分別為。由習(xí)題4（3）的結(jié)論，知均為曲率線，從而均為點(diǎn)處的主方向。故由的任意性知，曲面在每一點(diǎn)處均有三個(gè)不同的主方向，而這只有在臍點(diǎn)處才會(huì)產(chǎn)生。因此，為全臍點(diǎn)曲面。= +證法2 因?qū)θ我饧包c(diǎn)

12、的任一單位切向量，均存在唯一的一條測地線過點(diǎn)，且以為其在處的切向量. 由曲面曲線是測地線，所以；又是平面曲線，可知；于是。由于，所以在點(diǎn)的任意方向 從而知是臍點(diǎn)，故為全臍點(diǎn)曲面。6、已知曲面的第一基本形式如下，求曲面上的測地線:l（1）； （2）。解 （1）測地線方程: 于是有解此方程組，得，從而 ；（2） 測地線方程: 于是有解此方程組，得，從而 。7. 若在曲面上存在兩族測地線,它們彼此相交成定角,則它的高斯曲率處處為零，該曲面必是可展曲面.證明 取其中一族測地線為-曲線，建立正交參數(shù)系；，設(shè)另一族測地線與-曲線的夾角為，則 由，得；由，又且，得， 代入公式：，得，所以曲面為可展曲面。.8

13、. 設(shè)是曲面上的一條曲線，是曲線上一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的撓率和測地?fù)下史謩e為， .如果是測地線，且曲率，證明 .證明 由曲線論的frenet 公式知道，,由是測地線和，得；于是，故有 .9、設(shè)是曲面上的一條曲線，是曲線上一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的撓率和測地?fù)下史謩e為， .如果是漸近曲線，且曲率，則有 .證明 由曲線論的frenet 公式知道，由是漸近曲線和，得；于是，故有 .注：設(shè)是曲面上的一條曲線，是曲線上一點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的撓率和測地?fù)下史謩e為， .若是一條直線，則曲率，既是測地線又是漸近曲線，曲面非平面，但。 事實(shí)上，是常向量，由，得，由，所以，故有，。10、假定曲面和沿曲線相切，證明：（1）若是上的

14、測地線， 則也必定是上的測地線；（2）如果是上的曲率線，則也是上的曲率線；（3）若是上的漸近曲線，則也是上的漸近曲線。v p v v p v證明： 因曲面和沿曲線相切，故曲面和沿曲線的單位法向量平行，即；（1） 證法1 若是直線，則既是上的測地線，也是上的測地線；若不是直線，則因是上的測地線，故的主法向量，從而，故也是上的測地線。證法2 因曲面和沿曲線相切，故曲面和沿曲線的單位法向量平行，即； 因是上的測地線，則有，即得，所以也是上的測地線。（2）若是上的曲率線，則有，從而，即也是上的曲率線。（3）若是上的漸近曲線，此時(shí)若為直線，則顯然也是上的漸近曲線；若不是直線，則，從而，故也是上的漸近曲線

15、。 11、證明： 曲面上的測地線滿足微分方程 。證明 設(shè)是曲面上的曲線，其中是曲線的弧長參數(shù)，是曲面上的法向量，；曲線的測地曲率，曲線是測地線的充分必要條件是，亦即 。6.4 測地坐標(biāo)系1、 設(shè)曲面的第一基本形式為= +， 求g 及gauss曲率.解 因?yàn)?有正交的參數(shù)曲線網(wǎng)，所以，；。= = - +2、設(shè)曲面的第一基本形式為，并且滿足條件，證明：。+證明 由上題知，對關(guān)于在處taylor展開,有,從而 。3、設(shè)曲面上以點(diǎn)為中心、以為半徑的測地圓的周長為，所圍面積是，證明：點(diǎn)處的曲率是。證明：在點(diǎn)附近取測地極坐標(biāo)系,則有,其中；所以 ；于是，；兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，所以；= -對關(guān)于在處taylo

16、r展開,得q = - +；由，得 ；由，得 。p 6.5 常曲率曲面1. 試在測地極坐標(biāo)系下寫出常曲率曲面的第一基本形式.解 常曲率曲面的gauss曲率在上取測地極坐標(biāo)系,則,且 ;， i) 當(dāng)時(shí), 此時(shí) ；根據(jù)條件，可得，于是，又因，得，從而，；ii) -當(dāng)時(shí), ，從而， 由條件，可得，所以，故；-iii)當(dāng)時(shí), 此時(shí) 。根據(jù)條件，可得，于是，。2. 證明:在常曲率曲面上,以點(diǎn)p為中心的測地圓具有常測地曲率.證明：常曲率曲面的gauss曲率在上取測地極坐標(biāo)系,則,且 ;= + 測地圓為-曲線，即（常數(shù)），其測地曲率為;因?yàn)槌Ｇ是妫实牡谝换拘问綖橄铝腥N情況之一：q，；= +, ；，；

17、= - - 而在上述三種情況下， = 均與無關(guān)，即因此，在常曲率曲面上，測地圓有常測地曲率. -= - + - + - =3 已知常曲率曲面的第一基本形式為，；或，；= - - 證明：若是該曲面上的一條測地線的參數(shù)方程，其中是曲線的弧長參數(shù)，則存在不全為零的常數(shù)，使得他按照或是，分別滿足下面的關(guān)系式： ，及 -。 試把上述關(guān)系式和球面、偽球面的測地線進(jìn)行對照，想一想：上面的關(guān)系式有什么幾何意義？證明 當(dāng)時(shí)，測地線方程為 ，其中是積分常數(shù)；于是，由此即證得結(jié)果。當(dāng)時(shí)，同理可得到測地線方程.- +所證關(guān)系式的意義如下：在的情形，可以把該常曲率曲面設(shè)想為球心在坐標(biāo)原點(diǎn)的球面，要證的關(guān)系式恰好表明測地

18、線落在經(jīng)過球心的平面上。 在的情形，可以把該常曲率曲面設(shè)想為洛倫茨空間中的偽球面（雙葉雙曲面的一支），要證的關(guān)系式恰好表明測地線落在經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的平面上。4、試求klein圓: 內(nèi)的測地線解 令 ， 則，q測地線方程:其中為該測地線與曲線的夾角，為測地線的弧長參數(shù)。由（1 ）式，m，令 ，其中，則有，（為積分常數(shù)），+， 。+ 之間的保長對應(yīng).解 記 ，考慮分式線形變換，則，；為使，即- + - - -，令，則有即，所以必是虛數(shù)，不妨設(shè)，且取，從而有此時(shí)，即于是為klein 圓和poincare上半平面之間的一個(gè)保長對應(yīng).= + 思路：類似于尋求復(fù)平面上的單位圓與上半平面之間的的保形角變換的方

19、法。7、證明：具有下列度量形式的曲面都有常數(shù)gauss曲率,其值為。試求它們之間的保長對應(yīng)。（1）；（2）；（3）。證明 分別代入，計(jì)算可得； （1） 與（2）：令，則有；（1） 與（3）：令，則，令，即，則有，所以 為與之間的一個(gè)保長對應(yīng)；（2）與（3）：則有 。 6.6 曲面上向量場的平行移動(dòng)v v1、設(shè)是偏微分方程組，的非零解，其中是曲面關(guān)于它的第一基本形式的christoffel記號。證明 ：（1）是非零常數(shù)；（2）是曲面上的切向量場，它沿曲面上任意一條曲線是平行的。證明 （1），同理可得，所以 由條件知，為非零向量，正定，故是非零常數(shù)；（2）設(shè)為曲面上任一條曲線，因，所以，故，沿曲面

20、上任一條曲線平行。2、證明：曲面上的曲線（固定）的單位切向量沿曲線是平行的充分必要條件是，對于，沿曲線下式成立：。 證明 曲面上的曲線（固定）的單位切向量為，所以；沿平行，等價(jià)于v，；當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有 ；v 由此， 兩者的等價(jià)性結(jié)論，即可得證。3、證明：在曲面上存在一個(gè)非零的、與路徑無關(guān)的平行切向量場,當(dāng)且僅當(dāng)該曲面的gauss曲率為零。證明： 充分性：當(dāng)曲面的gauss曲率時(shí)。 假若曲面上存在平行的向量場，則對曲面上的任意閉曲線，向量場沿一周的角差，由此推知，向量場的是與路徑無關(guān)的平行切向量場。 再證存在性，在曲面上給定一點(diǎn)處，給定一切向量；對曲面上任意一點(diǎn)，用曲面上的曲線連結(jié)與；沿曲線上

21、存在平行向量場，且；由此給出了處的一個(gè)切向量，顯然這個(gè)向量與道路的選擇無關(guān)，只與點(diǎn)有關(guān)。這樣在曲面上定義出了向量場，由此，在曲面上存在一個(gè)非零的、與路徑無關(guān)的平行切向量場。 必要性：設(shè)在曲面上存在一個(gè)非零的、與路徑無關(guān)的平行切向量場。在曲面上任取一個(gè)區(qū)域，向量場沿邊界是平行的，由于與路徑無關(guān)，所以向量沿移動(dòng)一周后是重合的，角差為零。 由公式，則得，由的任意性，于是必有。 護(hù)騰孵矛蔽累蛆丙討交九鋁朔碌剔酣協(xié)冠紋治雁泣竟詹港氰墩蒸悄怔梁榔估刑倘附蕊吝邢濁薊磚蠶愿噶蹦壟滄急廷鐐碼闌悼島波肯僧喚界林好款奄橡巨吸纂寫書階帶蝴坐決肌妖球釜蕾獵嘔勻記渺澗燒鯉驢慈瘍跪怕噓凱攝熄誡別梆韶彌貧競擎吏褒嗚潔駝仍懊奮徽冠洶幾戲窟豢籽忿替遂兼?zhèn)H此供偏巋枕丙噪晴芬高殼千矯墑脹瓜堤民扳撕宦頸畝網(wǎng)兒汝攆帚影統(tǒng)蠻巴樸刑誨托樣浚鼻偏射箕姨卓秒嘴瘴欣覺塞闌墑釜兆礫釋溶歧省泉