平面NURBS曲線的導(dǎo)矢及其等距線

1、維普資訊 平面 NURBS曲線的導(dǎo)矢及其等距線康寶生 楊宏娃呂 科(西北太學(xué)數(shù)學(xué)系 西安 70069)t寧夏天學(xué)計(jì)算機(jī)系 銀川 750021)摘 要率文首先路出了計(jì)算 NLId3S曲線導(dǎo)矢的遞推公式，在此基礎(chǔ)上 ，給出了生成平面 5rRBS曲線等距線 的算法。關(guān)鍵詞NURBS 遞推公武 等距線DER AT【VES 0F NURBS CURVES ND 衛(wèi)抑Em 0F ET CURVESKang BaoshengYang Hongwa(腳 mofMathematicsNcthestUnlveayXian710069)Lu Ke(nofI m曲 Urdrers

2、ity chuan750921)MaslrtlctTifspaperderivesa recursivefomn whichexpresesthederivativesof8NURBSeintermsof controlp0i and iglsBased on the derivatives ofNURBS ClzeB，astablealgorithm generating osetcLve ofplanarNURBS C1e$is presentedIywcxlsNIrRBs Recmsiveformula OfsetCl1,e每條邊求新控制多邊形的方法來構(gòu)造 NURBS曲線 的1 引言等距

3、曲線；Coquilart(1987) 則通過對原始曲線的控制頂點(diǎn)進(jìn)行等距操作來構(gòu)造 NURBS曲線 的等距曲線；等距曲線與曲面在幾何造型中有著廣泛的應(yīng)用，Hoscheck(1988)基于幾何連續(xù)條件和參數(shù)優(yōu)化給出它是研究曲線、曲面加工軟件系統(tǒng)中需要著力懈決的了等距曲線的樣條逼近算法；鄭健民和彭群生基本問題之一。CADCAM中數(shù)控加工刀具軌跡計(jì)算、(1991)。在 Coquila工作的基礎(chǔ)上，提出了優(yōu)化控制紡織和制鞋業(yè)中縫紉數(shù)控系統(tǒng)以及機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡頂點(diǎn)的偏移量，并考慮曲線端點(diǎn)處連續(xù)性來構(gòu)造計(jì)算等都需要懈決等距曲線的構(gòu)造。NURBS曲線的等距曲線；姜壽山和劉雄偉(1993) 提給定平面參數(shù)曲線

4、 F：c(t)=( (t)， (t)，zC-出了一種用圓弧法矢近似的方法構(gòu)造 NURBS曲線 的0，b，它的距離為 d的等距曲線定義為：V0：c0(z)=c(t)d-n(f)其中 H(t)是 r在點(diǎn) c(f)處的單位法矢：等距曲線；蔣太為和劉哲 (1994) 采用了多點(diǎn)逼近誤(1) 差平方和的大小來檢驗(yàn)逼近等距線的精度，用三次或五次均勻樣條曲線先逼近平面 樣條曲線的等距曲(t)=(一Y(t)， (t)J () Y (z) (2)當(dāng)曲線 f 沿法矢正 (負(fù))方向作等距時(shí)使用“+” (“一”)號(hào)。等距曲線的構(gòu)造不同于一般的曲線構(gòu)造，多項(xiàng)式參數(shù)曲線的等距曲線一般不是多項(xiàng)式曲線，樣條曲線的等距曲線一般

5、也不能用樣條精確表示。E9使是有理參數(shù)多項(xiàng)式曲線，其等距曲線一般也不再是有理參數(shù)多項(xiàng)式曲線。因此，在工程實(shí)際應(yīng)用中，通常采用數(shù)值方法+近似地求解等距曲線。許多文獻(xiàn)討論了等距曲線的逼近表示和實(shí)用算法，Tilk 和 Hanson(1984)” 提出了平移控制多邊形的線，并通過調(diào)整曲率、光順修正求等距曲線的最佳光順逼近曲線；wei (1995) 給出了平面參數(shù)多項(xiàng)式曲線和有理參數(shù)多項(xiàng)式曲線之等距曲線為有理參數(shù)多項(xiàng)式曲線的充要條件，并給出了這類曲線的顯式表示式；方逵 (1996) 給出了一般曲線等距曲線的保形逼近算法本文基于 NURBS曲線導(dǎo)矢的精 確計(jì)算，討論了NURBS曲線的等距曲線構(gòu)造。陜西省救

6、委重點(diǎn)科研基金資助項(xiàng)目(編號(hào)：95jZK06)。庸寶生，副教授，主研領(lǐng)域：計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與舟形幾何-60 2 NURBS曲線的導(dǎo)矢一條 次 NURBS曲線定義為一分段參數(shù)有理多項(xiàng)式矢值函數(shù)： (u)以P(M)=nu6(3)( )其中iP f是三維控制頂點(diǎn) ，；(u|l為權(quán)因子， (u)是定義在節(jié)點(diǎn)矢量U = 0o】= =， +l，。，Mn ，u + l。： u + “l(fā)=6上的 k次規(guī)范 樣條基函數(shù)給定曲線定義域內(nèi)一參數(shù) uu， +C ， U 1 t(u)l+ MJ由式 (4)可知：一 岫us1 一n一一一1將其代A上式，整理得：n ，+ 2+】“： = ：。： ： -：】 =l

7、，ML+】 一 M同理可得：維普資訊 (8)u ，那么，求 NURBS曲線上對應(yīng)點(diǎn) P( )的有理 deBoor遞推算法如下：tp】1(1_ ，f= 1，2， ， ；： 一 + 2， ，(4)l(M)：二(9)U +t M L由此有下述定理：定理 對于由式 (3)定義的 次 NURBS曲線 P( )，在 處的一階導(dǎo)矢是：( )= 一 !(P 。一P 【)j+】一 i： M+(10)證明 由式(4)可知：葉， 1(1一q) fl f j=02= 1，2， ， ； = i k+ ，=(u一 )(ui+ +lf )J=i一 4- ， ，i；f=l，2，(5)(6

8、)P(M)=P ， ()= 則P ：P(u)將其和式(8)、(9)代人式(7)，則有：若記。(“)=m ( ) ， (“)： ，(“)那么(3)可改寫為：P(u)=因此 )=1i =(Oi,一kL一一( 】一 叫 一】 一【)pk1 一、Jz k2P一】Pi-1, J ,(7)( 1一】 1) P當(dāng) H+)， 時(shí)，=k可去 ( ) +(u 一u)。 )-( )主(wlPi)】l一1)( “一lP“一【一li 】Pl】1)一( 1一卜 】，一J )(一“ )lP“ l+( +l一)=+1+ 一一”l1P1,k1)一：(u +=，1l=_ 丁1ui+tMj) l “一P-：一 ( )( 】u )

9、】 J，lP 1 1：L盥= + =-=!=(一 ，) (址證畢L )J+2一 +1一嶼+一+一1一嶼61 3 NURBS曲線的等距線計(jì)算由式 (1)可知，只要求出原始曲線 c(t)上各點(diǎn)處的單位法矢量，即可求出 c( )的等距曲線 c。(z) 而對于平面曲線，若能求出曲線上每一點(diǎn)處的切矢T(M)，則：)=【一o)因此，由式(4)、(5)、(6)和(1O)呵得，平面 NLRKS曲線(3)的等距曲線計(jì)算公式：P0( )=P_l(u)+dn( ) u ， +】itl(12)其中單位法矢量如下：=l一PI】fl3)這樣就可通過直接計(jì)算求得平面 NJRBS曲線 的等距曲線。以下是計(jì)算平面 NURBS曲

10、線 P(u)之等距曲線算法的 C代碼 ：c 柵(n，k，d，Knots，w，P，cp，opj*計(jì)算 NURBS曲線段和它的等距線 *輸參數(shù)：itk，d，K腫b，w，p；*輸出參數(shù)， *參數(shù)說明如下：n：所計(jì)算的 砌 s曲線段上 的個(gè)數(shù)；k：曲線次數(shù)：d：等距線與原曲線間的距離，d正 (負(fù))表明等距線在原曲線外 (內(nèi))側(cè)；K腫恒 與該段曲線有關(guān)的節(jié)點(diǎn)*量； w ：與該段 MJtlBS曲線相關(guān) 的權(quán)因子；p：與該段 NUBBS曲線相關(guān)的控制頂點(diǎn)；cp：NUIIBS曲線段上的點(diǎn)；op：等距線段上的點(diǎn)；*intn，k；口憾td，K 2*k，wk+I：，pk+12；loatfepn2，opn2；inti

11、，j1，q；1eBtutwkk+1， k+12，alpha，dencra，delta；delta=(K腫bk一K腫bk一1j)(n一1)；u=KI-0tslklfr(i=O；in：i+)維普資訊 f l=I：I=1；j jjdehorn=KnotsJ+k一1 K|10 卜 1；if(fabs(der )=le一5)alpl1a=00；elsealpha=(uKI0 j 1)den,-n；for(q=0；q2；qH )wp q：=(10一alpha)*wI(卜 I*wP：卜 iq：+ pu* j*,vii兒q：；,klj：=(10 a【PIa *wI(ji：

12、+ alpha wI( ；wP 0=wPj：o：，wI(j=；wPj_1= jIf,kfj；ha=s ( k：0：k一一0J)*(wpkj0一wpk一1：l0：)+( k_1：一wpkI：1：)*(wpk1：一 k_1一1j)；opiO= d*(wpk 1一呻k一1_1j)，且【0pI1=d*(wPk0一wPlk 1 0：)alpIa；pIla=(ukndk一1)，(knotk kn0t：k一1)：(q=0；q(2；qH jwPk：q =(IOalPIa)*wI( kI* Plkl一【q+ Ia*wkk*wpk1q；wkk_=(10一alpha)*wkk1+alpha*wI(k ；for(q=

13、0：q2；q+)cpiq=wpkqwkk；cpiIq=cpiq +opiqU U4 delta圖 1和圖 2分別為由本算法計(jì)算的等距曲線一、一一wI(_j_=wj ；阿 1圖 2wPj0=pj：o圖注：j1=pJ：1中間一條為原曲線，內(nèi)(外)的曲線分別為 dO)時(shí)的等距線62 4 結(jié) 論本文基于 NERBS曲線導(dǎo)矢的精確計(jì)算公式，給出了精確計(jì)算平面 NLItIS曲線等距曲線 的算法與已有的等距曲線構(gòu)造方法相比，本文所給的算法精確、穩(wěn)定、高教。特別適合于二維輪廓加工的刀具軌跡計(jì)算，其缺點(diǎn)是等距曲線缺乏最后的表達(dá)式，需要再擬合得到。參 考 文 獻(xiàn)1Tiler，w and n咖E GOfsetof1

14、 DimentionaP啪IEEECornpurerGraphlc icatil 4(1984)，36462：Coquilar，s，cm mgOf-,etsofBSplineclIr c o119(1987)維普資訊 305309【3 H0 h k，JSpIlneApproximati ofOfselcu ，cc 附aidedCeo-n咖 c DesilI，Vo5(1988)，3340：4鄭健民、彭群生，NuRBs曲線的等距線計(jì)算由國 CAI?C?,N研究進(jìn)展浙江大學(xué)出版社99145495姜壽山、劉罐偉，“平面 ,lieRIS曲線的等距線算法一圓弧嵇矢近似

15、法”，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，Vol5(1993)91一IOI 6蔣太為 劉哲 等距曲線的B樣條光旭逼近計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)， 6(1994)，89947JWei】l，Ofsellt,ati；,：alPaTmneicPlaneCurve，CAidedCeoa-cDesignv0I12(1995)6066168療建，“均勻三次 B樣條曲線的等距線逼近算法”，小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，No8(1996)9 呂科“幾何造型中等距線面與曲線面過渡問題研究 ，西北大學(xué)碩lI學(xué)位論文 19985(上接第 20頁)域 的類型是無序的，是類型的 n元不相交并；成分類型由不同的標(biāo)記索引。域類型的元素就是一對

16、標(biāo)記 ，類型的值是由標(biāo)記確定的。r 玨r卜r：帥e規(guī)則 1 -= = 一r ： ：ct： ： t： l 這說明如果相應(yīng)的成分具有子類型關(guān)系。則 n個(gè)成 分的域也是 I+k個(gè)成分的域。372方法子類型方法子類型類似函數(shù)子類型，有下面兩條規(guī)則：r卜 cd1r1 啦c規(guī)則 2-二= (逆變式規(guī)則 )I卜 d2T】一r卜 c r卜 啦c規(guī)則 3_二=一(協(xié)變式規(guī)則)r卜 dl d2一規(guī)則 2是表示方法子類型關(guān)系的逆變式規(guī)則，規(guī)則 3是表示方法子類型關(guān)系的協(xié)變式規(guī)則。規(guī)則 3比規(guī)則 2更直觀，但可能帶來意想不到的結(jié)果。例如使用協(xié)變規(guī)則構(gòu)造的程序，靜態(tài)類型正確，但運(yùn)行時(shí)就可能出現(xiàn)類型錯(cuò)誤。因此，所有靜態(tài)類

17、型的面向?qū)ο笳Z言，或者使用逆變規(guī)則來定義方法類型，或者根本不允許 方法重載中重新定義有爭議的類型，因?yàn)槟孀冿L(fēng)格的重定義是相當(dāng)有用的。373對象子類型給定一個(gè)對象類型 A，A的對象子類型 B可通過向 A中加人域或方法得到規(guī)則 4r卜 d】 ，rr卜。i)【】：d】，一-， ：d，一一， ： cx1： ，一一， ：規(guī)則 4說明對象 T是對象類型 S的子類型必須滿足 ：T至少含有 S的所有“規(guī)范”；T的這些“規(guī)范”均是從 S中相應(yīng)“規(guī)范”繼承而來的。4 結(jié)束語文1闡述了具有行為子類型關(guān)系的面向?qū)ο笳Z言 的具體設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)；文5，6只給出一種特殊形式的對象類型的語義及解釋；文7，8主要研究類型的推理問題

18、，沒有給出對象子類型的推理系統(tǒng)；本文與它們的不同之處是：嚴(yán)格地定義對象子類型及其規(guī)范，給出對象子類型存在的語法及語義條件，以及充要條件，構(gòu)造對象子類型的推理規(guī)則。從而豐富了，面向?qū)ο蟮淖宇愋拖到y(tǒng)。參 考 文 獻(xiàn)【1JP AI 惜DngaI】d0ojeet_(n即t甜 PI 啷 g】 4山he-帥 lTIg，489SpringerVerlg，199L2Idl 舯昏c v日larTtd。ep叩a e ACM SIGPLN Norices，No 5，】9953mgJMNitchelR JlTl s0f【w一 ，1994、91】，I9一 【4d越Basicp。lIctypecheckingSineeC utetP E -uingr82(p 1987)P,e d62185 Mmin Atol b】ca CdeliA I唧 fl嚆 of d ecpesIn Pmce ingthe l9血 腫u 卻 僻n刪 m Linc0 t Sei e，pp332341，July，l州【6JM n Ah end I胴 eli，n mt盯p咖 nc啊0f e出 鋤d 。cttypes，Tointhe P eeding0f