(完整word版)微分方程求解(word文檔良心出品)0001

1、(1)(2)(3)(4)d 2s dt20.4(5)第一節(jié)微分方程的基本概念學習目的：理解并掌握微分方程的基本概念， 主要包括微分方程的階，微分方程的通解、特解及微分方程的初始條件等學習重點：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始條件學習難點：微分方程的通解概念的理解學習內容:1、首先通過幾個具體的問題來給出微分方程的基本概念。（1） 一條曲線通過點（1，2），且在該曲線上任一點M （x,y）處的切線的斜率為2x，求這條曲線的方程。解設曲線方程為y y（x）.由導數的幾何意義可知函數 y y（x）滿足dy 2x dx同時還滿足以下條件：x 1 時，y 2把（1）式兩端積分，得2y

2、2xdx 即 y x C其中C是任意常數。把條件（2）代入（3）式，得C 1，由此解出C并代入（3）式，得到所求曲線方程：y x21（2）列車在平直線路上以 20 m/s的速度行駛；當制動時列車獲得加速度0.4m/s2.問開始制動后多少時間列車才能停住，以及列車在這段時間里行駛了多少路程？解設列車開始制動后t秒時行駛了 s米。根據題意，反映制動階段列車運動規(guī)律的函數s s（t）滿足:此外，還滿足條件:0 時，s 0,vdsdt20（5）式兩端積分一次得:再積分一次得V 不 0.4t C1s 0.2t2 C1t C2(6)(7)(8)其中C1,C2都是任意常數。把條件“ t 0時v 20 ”和“

3、 t0時s 0 ”分別代入（7）式和（8）式，得C1 20, C2 0把C1,C2的值代入（7）及（8）式得v0.4t 20,（9）2s0.2t20t（10）在（9）式中令V 0，得到列車從開始制動到完全停止所需的時間：20t -50（s）。0.4再把t 5代入（10）式，得到列車在制動階段行駛的路程s 0.2 50220 50500（m）.上述兩個例子中的關系式（1 ）和（5）都含有未知函數的導數，它們都是微分方程。2、定義 一般地，凡表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系到的方程，叫做微分方程。未知函數是一元函數的方程叫做常微分方程；未知函數是多元函數的方程，叫做偏微分方程。本章只

4、討論常微分方程。微分方程中所出現的求知函數的最高階導數的階數，叫做微分方程的階。例如，方程（1）是一階微分方程；方程（5）是二階微分方程方程。又如，方程y 44y 10y 12y 5y sin 2x是四階微分方程。般地，n階微分方程的形式是(11)F（x, y, y, ,y（n）0,其中F是個n 2變量的函數。這里必須指出，在方程（11）中，y（n）是必須出現的，而x, y, y, , y（n 1）等變量則可以不出現。例如n階微分方程y（n） 1 0中，除y（n）外，其他變量都沒有出現。如果能從方程（ 11）中解出最高階導數，得微分方程y（n）f （x, y, y, , y（n 1）.（12）

5、以后我們討論的微分方程都是已解出最高階導數的方程或能解出最高階導數的方程，且（12）式右端的函數 f 在所討論的范圍內連續(xù)。由前面的例子我們看到， 在研究某些實際問題時， 首先要建立微分方程， 然后找出滿足 微分方程的函數，就是說，找出這樣的函數 ，把這函數代入微分方程能使該方程成為恒等 式。這個函數就叫做該微分方程的解。確切地說，設函數y （ x） 在區(qū)間 I 上有 n 階連續(xù)導數，如果在區(qū)間 I 上，Fx, （ x）,（ x）, n （x）0,那么函數 y （x） 就叫做微分方程（ 11）在區(qū)間 I 上的解。例如， 函數（3）和（4）都是微分方程 （ 1）的解；函數（ 8）和（10）都是微

6、分方程（ 5） 的解。如果微分方程的解中含有任意常數， 且任意常數的個數與微分方程的階數相同， 這樣的 解叫做 微分方程的通解 。例如，函數（ 3）是方程（ 1）的解，它含有一個任意常數，而方程 （1）是一階的，所以函數（ 3）是方程（ 1）的通解。又如，函數（ 8）是方程的解，它含有 兩個任意常數，而方程（ 5）是二階的，所以函數（ 8）是方程（ 5）的通解。由于通解中含有任意常數， 所以它還不能完全確定地反映某一客觀事物的規(guī)律性， 必須 確定這些常數的值。為此，要根據問題的實際情況提出確定這些常數的條件。例如，例1中的條件（ 2 ），例 2 中的條件（ 6 ），便是這樣的條件。設微分方程中

7、的未知函數為y y（x），如果微分方程是一階的，通常用來確定任意常數的條件是x xo 時，y y,y |x x0y0或寫成其中xo , yo都是給定的值；如果微分方程是二階的，通常用來確定任意常數的條件是:x Xo 時，y yo,寸 yo或寫成y|xxo yo，ylxxo yo其中Xo， yo和yo都是給定的值。上述條件叫做初始條件。確定了通解中的任意常數以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）滿足條件（2）的特解；（1。）式是方程（5）滿足條件（6）的特解。求微分方程yf（x,y）滿足初始條件 y |x xy o的特解這樣一個問題，叫做一階微分方程的 初值問題，記作(13)y

8、f(x,y),y |x xoyo.微分方程的解的圖形是一條曲線，叫做微分方程的積分曲線。初值問題（13）的幾何意義是求微分方程的通過點 （xo, yo）的那條積分曲線。二階微分方程的初值問題y f（x,y,y）,ylxxo y。，ylxxo yo的幾何意義是求微分方程的通過點（xo, yo）且在該點處的切線斜率為yo的那條積分曲線。3、例題例1驗證：函數xC1 cos ktC2 sin kt(14)是微分方程d2x 22 k x dt20(15)的解。解求出所給函數（14）的導數dxkC1 sin ktkC 2 cos kt,dtd 2x22亠22k C1 cos ktk C2sin ktk

9、(C1 cos ktC2s in kt)dtd2xdF及x的表達式代入方程15)得2 2k (Cicoskt C2 sinkt)+k (Cicoskt C2 sin kt) 0函數（14）及其導數代入方程（15）后成為一個恒等式，因此函數（14）是微分方程（15)的解。小結：本節(jié)講述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解 及微分方程的初始問題第二節(jié)可分離變量的微分方程學習目的：熟練掌握可分離變量的微分方程的解法學習重點：可分離變量的微分方程的解法學習難點：可分離變量的微分方程的解法 學習內容：本節(jié)開始，我們討論一階微分方程(1)y f (x, y)的一些解法.一階微分方程有時

10、也寫成如下的對稱形式P(x, y)dx Q(x, y)dy 0在方程 中,變量x與y對稱,它既可以看作是以為x自變量、y為未知函數的方程dyP(x, y)dxQ(x, y)(Q(x, y)0),也可看作是以x為自變量、y為未知函數的方程dxQ(x, y)dyP(x, y)(P(x,y)0),在第一節(jié)的例1中，我們遇到一階微分方程魚2x dx ，或dy 2xdx.把上式兩端積分就得到這個方程的通解:(3)yx2C 。但是并不是所有的一階微分方程都能這樣求解。例如，對于一階微分方程dy 22xy dx就不能像上面那樣直接兩端用積分的方法求出它的通解。原因是方程（3 ）的右端含有未知函數y積分2xy

11、2dx求不出來。為我解決這個困難，在方程（3 ）的兩端同時乘以dxd2，使方程（3）變?yōu)閥卑 2xdx，y這樣，變量x與y已分離在等式的兩端，然后兩端積分得x2 C1x2 C(4)其中c是任意常數?？梢则炞C，函數（4）確實滿足一階微分方程（3），且含有一個任意常數，所以它是方程（3）的通解。般地，如果一個一階微分方程能寫成g(y)dy f(x)dx(5)的形式，就是說，能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy ,另一端只含x的函數和dx，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。假定方程（5）中的函數g（y）和f（x）是連續(xù)的，設y （x）是方程的解，將它代入（5）中得到恒等式g (x) (x)dx

12、 f(x)dx.將上式兩端積分，并由y （x）引進變量y，得g(y)dy f(x)dx(6)設G（y）及F（x）依次為g（y）和f（x）的原函數，于是有G(y) F(x) C因此，方程（5）滿足關系式（6）。反之，如果y （x）是由關系到式（6）所確定的隱函數，那么在g （y）0的條件下,y（x）也是方程（5）的解。事實上，由隱函數的求導法可知，當g（y）0時,這就表示函數y（x）滿足方程（5）。所以如果已分離變量的方程（5）中g（ y）和f （x）是連續(xù)的，且g（y）0，那么（5）式兩端積分后得到的關系式（6），就用隱式給出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程 （5）的隱式解。又由于關系

13、式（6）中含有任意常數，因此（6） 式所確定的隱函數是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隱式通解。例1求微分方程(7)dy 2xy的通解。解 方程（7）是可分離變量的,分離變量后得dyy2xdx兩端積分dyy2xdx,InCi 從而ex2 CieCi ex2。又因為Ce 1仍是任意常數，把它記作C便得到方程（7）的通解2y Cex。鈾的含量就不斷2放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素,減少，這種現象叫做衰變。由原子物理學知道，鈾的誤變速度與當時未衰變的原子的含量M(8)成正比。已知t 0時鈾的含量為 Mo,求在衰變過程中含量M（t）隨時間變化的規(guī)律。解 鈾的衰

14、變速度就是 M （t）對時間t的導數dM。由于鈾的衰變速度與其含量成正dt比，得到微分方程如下M,dMdt其中（0）是常數，叫做衰變系數。前的負號是指由于當t增加時M單調減少，即dMdt0的緣故。由題易知，初始條件為M It 0 M 0方程（8）是可以分離變量的，分離后得兩端積分dMMdMMdt.dt.以InC表示任意常數，因為 M 0，得In M t In C,M Ce是方程（8）的通解。以初始條件代入上式，解得M0 Ceo C故得MM 0e由此可見，鈾的含量隨時間的增加而按指數規(guī)律衰落減。小結：本節(jié)講述了一階微分方程中可分離變量的微分方程，及其解法第三節(jié)齊次方程學習目的：熟練掌握齊次微分方

15、程的解法學習重點：齊次方程的解法學習難點：齊次方程的解法學習內容:1、齊次方程的形式如果一階微分方程dxxdu(u) uy f(x,y)xxx)dy 0(x y)dx (y是齊次方程，因為其可化為dy xy1yxdx xy1y.x2、齊次方程f(x, y)C)x(1)的解法。作代換u -，則 yxux，于是dy dxdu x -dxu.從而du xudx(u)，du(u)udxx分離變量得dudx(u)ux中的函數f (x,y)可寫成1的函數，即f (x, y)(-)，則稱這方程為 齊次方程。例如兩端積分得求出積分后，再用 址代替u，便得所給齊次方程的通解。如上例xdu1 ux udx1 u分

16、離變量，得叮歲蟲1 u2x積分后，將u=y代回即得所求通解。x例1解方程xy y(1 In y In x)。解原式可化為令u = y，則x于是分離變量兩端積分得dy du x - dx dxdydxu ,dux udxduu l n uIn In uu(1 In u) dxxIn u InCIn u Cx即故方程通解為3、練習. 2 | 21 x y y xy2 22 ( 3x y )dx 2xydy 0Cxu e 。Cxy xe 。通解為In y - C x2 2通解為x y Cx小結：本節(jié)講述了齊次方程，及其解法第四節(jié) 一階線性微分方程學習目的：掌握一階線性微分方程的形式，熟練掌握其解法；

17、掌握利用變量代換解微分方程的方法；了解貝努利方程的形式及解法學習重點：一階線性微分方程的形式，及解的形式，利用變量代換解微分方程 學習難點：一階線性微分方程通解的形式，利用變量代換解微分方程學習內容：一、線性方程1、定義 方程dy P(x)y Q(x) ( 1)稱為一階線性微分方程。dx特點 關于未知函數 y及其導數y是一次的。若Q(x) 0 ，稱(1)為齊次的;若Q(x) 0 ，稱(1)為非齊次的。5(X1尸2、解法當 Q(x)當 Q(x)X2y 2xy 2xe x(2) y空x 10時，方程(1)為可分離變量的微分方程。0時，為求其解首先把 Q(x)換為0，即dyP(x)y 0 dx稱為對

18、應于(1)的齊次微分方程，求得其解P(x)dxy Ce為求(1)的解，禾U用常數變易法,u(x)代替C ,即yu(x)eP(x)dx曰疋，dydxueP(x)dxueP(x)dxP(x)代入(1),得P(x)dxQ(x)e dxP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx C)。3、例求方程2yy x 1解 這是一個非齊次線性方程。先求對應的齊次方程的通解。魚丑。,dx x 1dy 2dxy x 1In y 2ln(x 1) In C ,2y C(x 1)(5)用常數變易法。把 C換成u(x)，即令y u(x I)2,則有代入(i)式中得u(x 1)2 2u(x 1), dx兩端積分，得u (x

19、儼,|(X 1)2再代入(4)式即得所求方程通解(x 1)2|(x31尸C。另解我們可以直接應用(3 )式P(x) dxP(x)dxy e ( Q(x)e dx C)得到方程的通解，其中，52 2 P(x)-， Q(x) (x 1)2x 1代入積分同樣可得方程通解(x 1)2|(x 1)C，此法較為簡便，因此，以后的解方程中，可以直接應用(3 )式求解。、貝努力方程1、定義 也 P(x)y Q(x)yn (n 0,1)稱為貝努力方程。 dx當n 0,1時，為一階線性微分方程。2、解法兩邊同除yn令zy1n，則有y 呼 P(x)y1nQ(x)dxdzn dy(1 n)y dxdx1 dz1 n

20、dxP(x)z Q(x)dzdx(1 n)P(x)z (1 n)Q(x)為一階線性微分方程，故(1 n) P(x)dx(1 n)P(x)dxz e( (1 n)Q(x)edx C)。貝努力方程的解題步驟(1)兩端同(1 n)yn(2)代換z y1 n(3)解關于z的線性微分方程(4)還原例解方程xy yx3y6解過程略，通解為 y55x3 Cx5。2、利用變量代換解微分方程例解方程xyyy(ln xlny)解令xyu，則duyxdy，于是dxdxdu,u,dxylnuInux解得Cxu e，即xyCx e例解方程1dxxy解過程略，通解為1x yCey。小結：本節(jié)講述了一階線性微分方程，及貝努

21、力方程的解法，利用常數變易法, 和變量代換法來解微分方程。第五節(jié)全微分方程學習目的：掌握全微分方程成立的充要條件，掌握全微分方程的解法，會用觀察 法找積分因子學習重點：全微分方程的解法，觀察法找積分因子學習難點：全微分方程的解法，觀察法找積分因子學習內容：1 定義若 P(x,y)dx Q(x, y)dy 0(1 )恰為某一個函數的全微分方程，即存在某個u(x, y)，使有du P(x, y)dx Q(x, y)dy，則稱(1)為全微分方程?？梢宰C明u(x, y) C是(1 )式的隱式通解。2、解法 若P(x,y)，Q(x, y)在單連通域G內具有一階連續(xù)偏導數，條件P Qy x是(i)式為全微

22、分方程的充要要條件。xy通解為 u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy C。Xoy0423222例 1 求解 (5x 3xy y )dx (3x y 3xy y )dy 0解令P 5 x43 xyy3，Q2 23x y 3xyy則PQ6xy3y2yx此方程為全微分方程。：于是xu(x, y) 0(5x43xy23y2y3)dx0 y2dy53 2231 3xxy xy-y23通解為x5 3x2 y2 xy3 1 y3 C233、積分因子P Q(x, y)，使(1)若上，則(1)式不是全微分方程，但若有一個適當函數y x式乘以(x, y)后為全微分方程，稱函數 (x, y)為積分因

23、子。一般積分因子不好求，我們只要求通過觀察找到積分因子。例2 方程ydx xdy 0不是全微分方程，但d(-)yydx xdy2 yydx xdy 02y1于是將方程乘以三，則有yxx即d()0，從而一C為其通解。此時yy1冷為其積分因子。y注意 積分因子一般不唯一。dx1如上述方程，若同乘有x 是 d (In x In y) 0，即- yc為其通解。 丄 也是其積分因子。xyxy小結：本節(jié)講述了全微分方程的解法，用觀察法長積分因子，使之滿足全微分方程的充要條件。第六節(jié) 可降階的高階微分方程學習目的：掌握三種容易降階的高階微分方程的求解方法 學習重點：三種可降階的高階微分方程的求法 學習難點：

24、三種可降階的高階微分方程的求法學習內容：一、y(n)f(X)型令y(n1) z，則原方程可化為dzf (x)，dx于是 zy(n 1)f (x)dx C1同理y(n 2)f(x)dx C1dxCO O OO O On次積分后可求其通解。其特點：只含有 y和x，不含y及y的1(n1)階導數。例1解方程 y12x1解得1y (2x1551)22C1XC2X C3為其通解。、yf(x,y)令y p,則y p，于是可將其化成一階微分方程。特點含有y, y,x，不含y。例 2 xy y x201 3解得通解為 y xC.ln x C29三、yf(y,y)令y p,則 y坐也巴p生,dx dy dx dy

25、于是可將其化為一階微分方程。特點不顯含x。例 3 yy y2 y 0解化為一階線性或可分離變量的微分方程，解得通解為ln(1 Ciy) Gx C2。小結：本節(jié)講述了三種容易降階的高階微分方程及其求解方法第七節(jié)高階線性微分方程學習目的：掌握二階線性方程解的結構，齊次線性方程的通解，非齊線性方程的 特解及通解的形式。學習重點：齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。學習難點：齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。學習內容：d2d1、定義：方程 P(x)dy Q(x)y f(x) (1)稱為二階線性微分方程。dxdx當f (x)0時稱為齊次的，當 f (x)0時稱為非齊次的

26、。為求解方程(1)需討論其解的性質d2ydy2、解的性質2 P(x) Q(x)y 0( 2)dxdx性質1若(x), y2(x)是(2)的解，則y Gyjx) C2y2(x)也是(2)的解,其中G，C2為任意常數。稱性質1為解的疊加原理。但此解未必是通解，若 ydx) 3y2(x)，貝U y,x) (C2 3G)y2(x)，那么Cl yi （x） C2 y （X）何時成為通解？只有當 yi與y線性無關時。線性相關設yi,y2,L , yn是定義在區(qū)間I內的函數，若存在不全為零的數 kl,k2,L ,kn使得kiyi k2y2 L kn yn 0恒成立，則稱yi, y2, L , yn線性相關。

27、線性無關不是線性相關。2 2女口：i,cos x,sin x線性相關，2i,x,x線性無關。對兩個函數，當它們的比值為常數時，此二函數線性相關。若它們的比值是函數時，線性無關。性質2若yi（x）, y2（x）是（2）的兩個線性無關的特解，那么y C（x） C2y2（x）（Ci，C2為任意常數）是方程（2）的特解。此性質稱為二階齊次線性微分方程（2）的通解結構。如：yi cosx, y2 si nx是y y 0的兩個解，又 ctgx 常數。因此， y2y C| cos x C2sinx 為 y y 0 的通解。又（x i）y xy y 0的解y x, y? ex亦線性無關。則y Cix C2ex

28、為其通解。下面討論非齊次微分方程（i）的解的性質稱（2）為（i）所對應的齊次方程。性質3設y*是（i ）的特解，Y是（2）的通解，貝U y Y y*是（i）的通解。2 2女口： y y x , y Ci cos x C2 s inx 為 y y 0 的通解，又 y* x2 是特解，則 y Ci cosx C2sin x 的通解。性質4設（5）式中f（x） fi（x）f2（x），若yi*, y2*分別是器 P(x)字 Q(x)ydxdxfi (x),穿 P(x)dx Q(x)yf2(x)的特解，則yi* y2*為原方程的特解。稱此性質為解的疊加原理。小結：本節(jié)講述了二階線性方程解的結構， 包括齊

29、次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。第八節(jié)二階常系數齊次線性微分方程學習目的：掌握二階常系數齊次線性微分方程的特征方程，特征根，及對應于特征根的三種情況，通解的三種不同形式。學習重點：特征方程，特征根，及對應于特征根的三種情況，通解的三種不同形式。學習難點：根據特征根的三種不同情況，得到三種不同形式的通解。學習內容：d 2ydy若一今 P(x) Q(x)y 0(2)中P(x),Q(x)為常數，稱之為二階常系數齊次dxdx微分方程，而(2)稱之為二階變系數齊次微分方程。pr q 0為(3)的特征方程。記：y py qy 0( 3)設A, D為(4)的解。(1)當12r2 即 p 4q0時，yCierix C2er2x 為其通解。(2)當rir2r 即 p24q 0 時，(3)只有一個解y Cerx。(3)當ri即p24q 0 時，有ye)是解。