數(shù)值計(jì)算答案石瑞民

1、習(xí)題一 1、取3.14,3.15, 22 , 355作為 的近似值，求各自的絕對誤差，相 7113 對誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。 解：x13.14 所以，X1有三位有效數(shù)字 絕對誤差：e 3.14，相對誤差：e 3.14 絕對誤差限：1 10 2，相對誤差限: 2 所以，X2有兩位有效數(shù)字 絕對誤差：e3.15，相對誤差：er 絕對誤差限：1 101，相對誤差限: 2 所以，X3有三位有效數(shù)字 3 1 10 10 3.15 10 1 絕對誤差：e22，相對誤差：er 絕對誤差限：1 10 2，相對誤差限: 2 所以，X4有七位有效數(shù)字 22 7 10 2 絕對誤差：e 絕對誤差限： 355，相對誤

2、差： 113 1 106，相對誤差限: 2 355 而 10 6 3、下列各數(shù)都是對準(zhǔn)確數(shù)四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出它 們的絕對誤差限和相對誤差限，有效數(shù)字的位數(shù)。 解：X10.0315m=-1 所以，n=3， X1有三位有效數(shù)字 絕對誤差限： _ 10，相對誤差： 2 r 丄 10 01 2a -102 6 x20.3015m=0 所以，n=4， X1有四位有效數(shù)字 絕對誤差限： -10 4，相對誤差： 1n 1 r10 0 1 丄10 3 2 2a 6 x331.50m=2 所以，n=4, X1有四位有效數(shù)字 絕對誤差限： 1 10 2，相對誤差 2 5000m=4 所以，n=4,

3、 X1有四位有效數(shù)字 絕對誤差限： 1 1 1000.5 2 ， 相對誤差： r110 n11103 X4 10 2 10n1 6103 2a2 5 4、計(jì)算,10的近似值，使其相對誤差不超過 解：設(shè)取n位有效數(shù)字，由定理1.1知， 0.1% 1 10 2a 由.1010 0.3162 ，所以，a13 由題意，應(yīng)使1 10 n1 6 所以，n=4, 即-.10的近似值取4位有效數(shù)字 近似值x 3.162 0.1%，即 10 10n 6 10 3 6、在機(jī)器數(shù)系下F(10,8,L,U)中取三個數(shù)x 0.23371258 10 4 , y 0.33678429 102， z 0.33677811

4、102，試按(x y) z禾口 x (y z)兩 種算法計(jì)算x y z的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。 (x y) z 解: 0.33677811 102 2 2 10 )0.33677811 10 102 所以， 因此， 盡量接近。 (0.23371258 10 40.33678429 102) 2 (0.00000023371258 100.33678429 0.33678452371258 1020.33677811 2 2 0.33678452 100.33677811 10 0.00000641 102 0.64100000 10 3 x (y z)比(x y) z精確，且x (y z

5、)與x y z相同； 在做三個以上的數(shù)相加時，需要考慮相加的兩個同號數(shù)的階數(shù) 8對于有效數(shù) Xi 3.105 , X20.001 , X3 0.100 ,估計(jì)下列算式的相 對誤差限 y1X1X2X3 , y1X1X2X3, y3 生 X3 解: Xi 所以 3.105 , m=1; 1 (X1)10 2 3 同理 (X2) 10 3 (X3) e(xi) 10 3 er(xi) e(xj X1 e(x2) 10 3 er(Xi) eg X2 e(X3) 10 3 er(Xi X2 X3) e x1 eg X3 x2 x3 e x1 0(X3) 1 10 3 2 1 10 3 2或 3.1025

6、| 1 10 3 2 0.001 1 10 3 2 0.100 r(Xi) r(X2) r(X3) 10 3 100 10 3 0（%） 所以， 所以， 綜合得: X1 X2 X3 er (x1 x2 x3)0.49975 er (y2)0.50516 e(y3)|0.505 3 r(y1)0.49975 10 3 , e x2 e x3 X1X2 X3 10 3 r(y2)0.50516 , 9、試改變下列表達(dá)式，使其結(jié)果比較精確 接近0， x 1表示x充分大）。 （1） （其中 X2 r(y3) 0.505 1表示X充分 (2) (3) (4) In x1 1 x x x ln x2，x-

7、i (5) 1 cot X， X 答案: 法一：用1 cosx 1 cosx 法一： 2 X3 Xx3 x -X2得出結(jié)果為： 2 cosx X sin x sin x cosx 或- sin x 1 X 2 1 cosx X sin x sin x 2si n2 x 2si%) (4) 1 12、試給出一種計(jì)算積分In e1xnexdx近似值的穩(wěn)定性遞推算法 解：顯然，In 0, n=1,2, 當(dāng) n=1 時，得，I1xex 1dx - 10e 當(dāng)n2時，由分部積分可得： In o xnex 1dx 1 nl n 1 , n=2,3, 另外，還有: 由遞推關(guān)系 In n x 1 . x e

8、dx 0 1 xndx In=1-nln-1 ,可得計(jì)算積分序列in的兩種算法: In 1 nI n 1 n = 2,3 In1n 2,3,., n F面比較兩種算法的穩(wěn)定性 若已知I n 1的一個近似值I n 1，則實(shí)際算得的I n的近似值為 所以，In I n ( n)(ln 1 In 1) 由此可以看出In1的誤差放大門倍傳到了 In，誤差傳播速度逐 步放大 1 I 由 In 計(jì)算 In 1In 11 n N,N 1,1 n 若已知In的一個近似值是山，則實(shí)際計(jì)算的In1的近似值為 1 所以，I n 1 I n 1(In In) n 由此可以看出In的誤差將縮小n倍傳到了 In，誤差傳播

9、速度逐 步衰減。 1 綜上可看出，計(jì)算積分I n e 1 0 xnexdx的一種穩(wěn)定性算法為 習(xí)題二 1、利用二分法求方程 1 10 3 即誤差不超過2 2x2 4s 703 , 3 4內(nèi)的根，精確到10 , 解：令 f(x) x3 2x2 4x f(3)10 0 , f(40 9 0,說明在3, 4內(nèi)有根, 利用二分法計(jì)算步驟 得出 X10 3.632324219 , x-3.6321835938 1 、 、 d, a, 心 x100.4882181 10 10 3滿足精度要求 2 所以，X* X11 3.6321，共用二分法迭代11次。 2、證明1 x sinx 0在0,1內(nèi)有一個根，使用

10、二分法求誤差不大于 1 10 4的根。 2 證明：令f(x) 1 x sin x f(0)10; f (1) sin1 0， 所以，f(0) f (1) 0 由零點(diǎn)定理知，f (x)在0,1內(nèi)有一根 根據(jù)計(jì)算得出：x*人5 0.98283，此時共迭代15次。 4、 將一元非線性方程2cosx ex 0寫成收斂的迭代公式，并求其在 X。0.5附近的根，精確到10 X3 X2 1，迭代公式 Xk 1 (Xk2 1)1/3 。 解：令 f (x) 2cosx ex 令f(x) =0，得到兩種迭代格式 x (X)卜e，不滿足收斂定理。 2J1廠 1 2 (x)丄喧 tanx 2cosx 2(x0) I

11、 2(0.5)| 0.008727 1，滿足收斂定理 由方程寫出收斂的迭代公式為xk 1In (2cosxk) 取初值為x 0.5，得出近似根為：x* X2 0.69307417 5、 為方程x3 x2 1 0在X。1.5附近的一個根，設(shè)方程改寫為下列等 價形式，并建立相應(yīng)的迭代公式： (1) X 1，迭代公式 Xk 1 1 2 ； XXk (3) X2，迭代公式Xk 1 X 1 1 (Xk 1) 解：(1)利用局部收斂定理判斷收斂性，判斷初值 Xo 1.5附近的局部 收斂 (2) 局部收斂 (3) 不滿足局部收斂條件 但由于i(x). 2(X)，所以1(x)比2(x)收斂的慢 取第二種迭代格

12、式 Xk 1(Xk21)1/3 取初值X0 1.5，迭代 9次得x* x91.466 7、用牛頓法求解X3 3x 1 Xk 1 xk 0在初始值 Xo 2臨近的一個正根，要求 103 。 解：令 f(x) X3 3x 1 由牛頓迭代法知：xk 1 Xk f (Xk) f (Xk) 3x1 2 3( Xk1) 迭代結(jié)果為: 滿足了精度要求, X3 1.88 889 1.87939 1 87 1.87945939 導(dǎo)出計(jì)算C的倒數(shù)而不用除法的一種 &用牛頓法解方程丄 X Xo 簡單迭代公式，用此公式求0.324的倒數(shù)，設(shè)初始值X0 3，要求計(jì)算 結(jié)果有5位有效數(shù)字。 解：f(x)丄 0.325 X

13、 迭代結(jié)果為: 0 1 2 3 c3.08 34 3.08641 3.08 8 6420 滿足精度要求 所以，0.324的倒數(shù)為3.0864 11、用快速弦截法求方程X3 3x 1 0在X。2附近的實(shí)根，（取Xi = 1.9, 要求精度到10 3 ）。 解：f （x） x3 3x 1， 迭代結(jié)果： 0 1 2 3 4 2 1.9 1.8810 1.8794 1.879 94 1160 39 滿足精度要求 12、分別用下列方式求方程4cosx ex在xo -附近的根，要求有三位 4 有效數(shù)字 （1）用牛頓法，取X。 4 （2） 用弦截法，取x0 x1 42 （3）用快速弦截法，取xo 為一 42

14、 解：求出的解分別為：x1 0.905 x2 0.905 x3 0.905 習(xí)題三 1、用高斯消元法解下列方程組 (2) 2x1 X2 3x3 1 (1 )4X1 2X2 5x3 4 X1 2X2 7 11x1 3x2 2x3 3 23x111x 2 X3 0 x1 2x2: 2X3 1 解：(1)等價的三角形方 程組為 4x1 2x2 5x3 4 x19 2x2 0.5X3 1 ，回代求解為 x21 7 X3 21 X36 8 4 (2)等價白 【勺三角形方程組為 23x1 11X2 X3 0 X1 57 X2 47 X3 1 ， 回代求解為 X2 23 23 193 2 23 X3 X3

15、57 57 1 0 2 0 2、將矩陣 0 A 1 1 1 1作LU分解。 2 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 1 1 0 1 1 1 解：L 2 0 1 0 ,U 005 1 0 01 -1 0 0 0 6 5 41 193 106 193 223 193 3、用LU緊湊格式分解法解方程組 5 5 6 7 5 7 8 10 7 9 10 8 6 10 9 7 5 X1 X2 X3 X4 1 1 1 1 解: 1 0 0 0 5 7 9 10 6/5 1 0 0 0 2/5 4/5 3 L ，U 7/5 1/2 1 0 0 0 5 17/2 1 0 3/5

16、1 0 0 0 1/10 1 20 1/5 ,X 12 1/2 5 3/10 3 Y Xi 2x2 2x3 1 4、用列主元的三角分解法求解L方程組3xi X2 4X3 7 2x1 3x2 2x3 0 12 2 1 解：A 3147 2320 1 0 0 3 1 4 7 2 L 2/3 1 0 ,U 0 7/3 14/3 ，丫 14/3 ,X 1 1/3 7/5 0 0 0 4 2 1/2 5、 用 追 趕法 去 解 三 角方 程 組 Ax b 其中 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 A 0 1 1 2 1 0 ,b 0 . 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 2 0 1 2

17、 1 1/2 1 3/2 1 解: L 2/3 1 ,U 4/3 1 3/4 1 5/4 1 4/5 1 6/5 1 5/6 1/2 2/3 Y 1/3 , X 1/2 1/4 1/3 1/5 1/6 4x1 2x2 4x310 6. 用改進(jìn)的 Cholesky分解法解方程組 2x1 17x2 10 x33 4x-| 10 x2 9X37 1 00424 10 2 解: :L1/： 210 ，U0168 ，Y 8 ，x 1 1 1/2 1 0 0 1 1 1 41 1 0X1 7 7、 用改進(jìn)的 cholesky分解法解方程組 13 1 0X2 8 1 1 5 2X3 4 0 0 2 4 X4

18、 6 4 1 -1 0 7 1 解：u 0 11/4 -3/4 0 25/4 2 ，Y ，X 0 0 50/11 2 -6/11 1 0 0 0 78/25 156/25 2 設(shè)x (1, 2,3)t ,求廚1，岡2和|X 。 解 11X1 n x 6 i 1 1 10 9、 設(shè)A 2 2 -3 ,求卜占凡和A| 541 解: A1 8， A 10， A2 (At At) 1 1 0 1 10、設(shè) A 2 2-3，x 3 ， 計(jì)算x 5 4 1 2 和x ?A 的 勺大小。 解：x 3， A =10, Ax =9 1 2 2x-i 12 11、給定方程 1 1 1x2 0 2 2 1X3 10

19、 7.1417 ,A及Ax，并比較Ax (1) 寫出 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代格式； (2) 證明Jacobi迭代法收斂而 Gauss-Seidel迭代法發(fā)散； 3)給定x(0)(0,0,0)T，用迭代法求出該方程的解，精確到 x(kD x(k) 2103。 2x2 2x3 12 X1 X3 2x1 2x2 10 解: X1 (1) Jacobi迭代公式x2 X3 Gauss-Seidel迭代公式 (k 1) X1 2x2(k) 3x3(k) 12 (k 1) X2 2x2(k) (k) X3 12 (k 1) Xn 8x2(k) (k) 6 X3 38 (3)用Jac

20、obi迭代得，X X(4)(12, 46, 58)t 13、已知 5x1 x % X2 X3 xt 10 x2 x3 x4 x2 5x3 x4 X2 X3Z 1OX4 4 12，考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel 8 34 迭代格式的收斂性。 14、方程組Ax b，其中 1 4a a a 1 0 x, b R3 利用迭代收斂的充分必要條件確定使 迭代法均收斂的a的取值范圍。 0 4a a Jacobi 迭代法禾口 Gauss-Seidel 解:Jacobi迭代矩陣為 Bj Bj 1得, Gauss-Seidel迭代矩陣為: Bj a 4a2 2 a a 4a2 2 a 當(dāng)Bs

21、1得， 5 5 0 1 4 4 15、設(shè)方程組3 0 w=1.25的SOR法求解此方程， 解：Gauss-Seidel迭代法共迭代 X1 X2 X3 24 30 24 準(zhǔn)確到4位有效數(shù)字(取x(0) 17次，此時近似解為 分別用 Gauss-Seidel迭代法和 (1,1,1)T) SOR法w=1.25時，迭代11次，此時的近似解為 16、用SOR方法解方程組(分別取松弛因子 w=1.03，w=1， 4x1 x21 洛4X2 3x34精確解x* x2 4x33 時，終止迭代，并且對每一個 解：當(dāng)w=1.03時，迭代5次， 當(dāng)w=1時，迭代6次， 當(dāng)w=1.1時，迭代6次， (1/2,1, 1/

22、2)，要求當(dāng) x* x(k) w值確定迭代次數(shù)。 x*x(5)(0.5,1, 0.5)T * x(6)(0.5,1, 0.5)T x* x(6)(0.5,1, 0.5)T 習(xí)題四 w=1.1) 5 10 6 1、設(shè) Xo0, X1 1，寫出f (x) e x的一次插值多項(xiàng)式L1(x)，并估計(jì)插值 解：Li(x)yo兇匹(x X。)1 (- 1)x x1 x0e 1R1(x) 1 KX X)(XX1)， 其中M max X) x召 f (x) 1 2、給定函數(shù)表 -0.1 0.3 0.7 1.1 0.995 0.995 0.765 0.454 選用合適的三次插值多項(xiàng)式來近似計(jì)算f(0.2)和f(

23、0.8)。 解： 、求 f (0.2),選用插值節(jié)點(diǎn)為 xo -0.1 , xi 0.3 , X20.7 ,用 lagrange 插值多項(xiàng)式為： 解得 f(-0.1) L2(-0.1)0.979 、求f(0.8)，選用插值節(jié)點(diǎn)X。0.3，為0.7，X2 1.1 , 解得：f(0.8) L2(0.8)0.6975 4、給定數(shù)據(jù)(f(x) x) 2.02.12.22.4 1.14214 1.449138 1.48320 1.54917 (1) 試用線性插值計(jì)算f(2.3)的近似值，并估計(jì)誤差。 (2) 試用二次Newt on插值多項(xiàng)式計(jì)算f(2 .佝的近似值，并估計(jì)誤差 解：(1)取 X。 2.2

24、，X1 2.4 |R(x)| (x x)(x X1) max f (x) X X X1 0.0766 (2)寫出二次Newton插值差商表 一階差商 二階差商 2.0 1.14214 2.1 1.449138 0.34924 2.2 1.48320 0.34062 -0.0431 5、給出函數(shù)值 X 0 1 2 3 4 y 0 16 46 88 0 試求各階差商，并寫出Newton插值多項(xiàng)式和差值余項(xiàng) 解： 一階差商二階差商三階差商四階差商 0 0 1 16 16 2 46 30 7 3 88 21 -3 -5/2 4 0 -88 -109/3 -25/2 -7/6 6、給定數(shù)據(jù)表 0.125

25、0.250.3750.5000.6250.750 0.796180.77334 0.743710.704130.65632 0.60228 試用三次牛頓差分插值公式計(jì)算f (0.158)和f (0.636)。 解： 、求 f (0.158)，取 xo 0.125， x, 0.25，X2 0.375x 0.500，h=0.125 差分表為 一階差分 二階差分 三階差分 0.125 0.79618 0.25 0.77334 -0.02284 0.375 0.74371 -0.02963 -0.00679 0.5 0.70413 -0.03958 -0.00995 -0.00316 、.k f 由公

26、式 fXi,Xi 1,Xi 2, Xi k k k!hk 由牛頓插值公式有 、求 f (0.636)，取 X0 0.375，X10.500， X20.625, X3 0.750，h=0.125 一階差分 二階差分 三階差分 0.375 0.74371 0.5 0.70413 -0.03958 0.625 0.65632 -0.04781 -0.00823 0.750.60228-0.05404-0.006230.002 求解得 f 0.636) N3(0.636)0.65179 9、給出sinx在0,pi的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，用線性插值計(jì)算sinx的近似 值，使其截?cái)嗾`差為-10 4，問該函數(shù)表的

27、步長h應(yīng)取多少才能滿足 2 要求？ 解：設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為Xi ih , (i=0,1 h) ,h - n 由 |Rn(x)| 丨 f (x) h2 m2 2 F(x)=sinx， f (x) sinx,所以f (x) 1,即 m2 1 所以h 0.02 步長h應(yīng)取為0.02 才能滿足要求。 14、已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下 19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 用最小二乘法求形如y a bx2的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方差 解：設(shè)擬合多項(xiàng)式為y a bx2，則正規(guī)方程組為 51575327a271.4 即：157532719233109776.1 532719233172

28、77699b369321.5 所以，經(jīng)驗(yàn)公式為：y 0.968 0.05x2 均方誤差為0.003019 15、觀測物體的直線運(yùn)動，得出以下數(shù)據(jù) 時間t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距離 S(m) 0 10 30 50 80 110 求運(yùn)動方程。 解：設(shè)擬合多項(xiàng)式為ya bx ex2，則正規(guī)方程組為 614.753.63a280 即：14.753.63218.907b1078 53.63218.90795103023e4533.2 a=-0.5834, b=11.0814, e=2.2488 所以擬合多項(xiàng)式為y0.5834 11.0814x 2.2488x2。 習(xí)題五 1、分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分，并比較結(jié)果。 (1)0宀dx (n=8) x 4 x2 0 4 x 解：用復(fù)合梯形公式 h -,n 8, f (