2015年高考數(shù)學(xué)(人教A版理)一輪復(fù)習(xí)配套講義：第4篇 第3講 平面向量的數(shù)量積

1、第3講平面向量的數(shù)量積最新考綱1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.知 識(shí) 梳 理1平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0.(2)幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積2平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，

2、y2)，為向量a，b的夾角(1)數(shù)量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夾角：cos .(4)兩非零向量ab的充要條件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2| .3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(交換律)(2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律)(3)(ab)cacbc(分配律)辨 析 感 悟1對(duì)平面向量的數(shù)量積的認(rèn)識(shí)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)向量，向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量()(2)(2013湖北卷改編)已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為.()(3

3、)若ab0，則a和b的夾角為銳角；若ab0，則a和b的夾角為鈍角()2對(duì)平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律的理解(4)ab0，則a0或b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)abac(a0)，則bc.()感悟提升三個(gè)防范一是兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，如(1)；二是在向量數(shù)量積的幾何意義中，投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量設(shè)向量a，b的夾角為，當(dāng)為銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)，投影為0；當(dāng)0時(shí)，b在a的方向上投影為|b|，當(dāng)180時(shí)，b在a方向上投影為|b|，如(2)；當(dāng)0時(shí)，ab0，180，ab0，即ab0是兩個(gè)向量a，b夾角為銳角的必要而不充分條件，如(3)

4、；三是ab0不能推出a0或b0，因?yàn)閍b0時(shí)，有可能ab，如(4) 考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【例1】 (1)(2014威海期末考試)已知a(1,2)，2ab(3,1)，則ab()A2 B3 C4 D5(2)(2013江西卷)設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為，若ae13e2，b2e1，則向量a在b方向上的射影為_(kāi)解析(1)a(1,2)，2ab(3,1)b2a(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)ab(1,2)(1,3)1235.(2)由于ae13e2，b2e1，所以|b|2，ab(e13e2)2e12e6e1e2265，所以a在b方向上的射影為|a|cos.答案(1)D(2)學(xué)

5、生用書(shū)第74頁(yè)規(guī)律方法 求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用【訓(xùn)練1】 (1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)滿足條件(8ab)c30，則x()A6 B5 C4 D3(2)(2013山東卷)已知向量與的夾角為120，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)解析(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab)c(6,3)(3，x)30，即183x30，解得x4.故選C.(2)，0，()0，即()()(1)220.向量與的夾角為120，|3，|2，(1)|cos 12

6、0940，解得.答案(1)C(2)考點(diǎn)二向量的夾角與向量的?！纠?】 (1)若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_(kāi)(2)已知向量a，b滿足ab0，|a|1，|b|2，則|2ab|_.解析(1)等式平方得|a|29|b|2|a|24|b|24ab，則|a|2|a|24|b|24|a|b|cos ，即04|b|243|b|2cos ，得cos .(2)因?yàn)閨2ab|2(2ab)24a2b24ab4a2b2448，故|2ab|2.答案(1)(2)2規(guī)律方法 (1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式(2)|a|常用來(lái)求向量的?！居?xùn)練2】 (1)(2014長(zhǎng)沙模擬)已知

7、向量a，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.(2)若平面向量a，b滿足|a|1，|b|1，且以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為，則a和b的夾角的取值范圍是_解析(1)由|2ab|平方得，4a24abb210，即|b|24|b|cos 45410，亦即|b|22|b|60，解得|b|3或|b|(舍去)(2)依題意有|a|b|sin ，即sin ，由|b|1，得sin 1，又0，故有.答案(1)3(2)考點(diǎn)三平面向量的垂直問(wèn)題【例3】 已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )(0)(1)求證：ab與ab互相垂直；(2)若kab與akb的模相等，求(其中k為非零實(shí)數(shù))

8、審題路線證明兩向量互相垂直，轉(zhuǎn)化為計(jì)算這兩個(gè)向量的數(shù)量積問(wèn)題，數(shù)量積為零即得證由模相等，列等式、化簡(jiǎn)求.(1)證明(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab與ab互相垂直(2)解kab(kcos cos ，ksin sin )，akb(cos kcos ，sin ksin )，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.0，0，.規(guī)律方法 (1)當(dāng)向量a與b是坐標(biāo)形式給出時(shí)，若證明ab，則只需證明ab0x1x2y1y20.(2)當(dāng)向量a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把a(bǔ)，b用已知的不共線向量作為基底來(lái)表示且

9、不共線的向量要知道其模與夾角，從而進(jìn)行運(yùn)算證明ab0.(3)數(shù)量積的運(yùn)算ab0ab中，是對(duì)非零向量而言的，若a0，雖然有ab0，但不能說(shuō)ab.【訓(xùn)練3】 已知平面向量a(，1)，b.(1)證明：ab；(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，試求函數(shù)關(guān)系式kf(t)(1)證明ab10，ab.(2)解ca(t23)b，dkatb，且cd，cda(t23)b(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)ab0.又a2|a|24，b2|b|21，ab0，cd4kt33t0，kf(t)(t0) 1計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，和

10、圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算3利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧.學(xué)生用書(shū)第75頁(yè)教你審題5數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題【典例】 (2012上海卷)在矩形ABCD中，設(shè)AB，AD的長(zhǎng)分別為2,1.若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是_審題一審：抓住題眼“矩形ABCD”；二審：合理建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決解析 如圖，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)，設(shè)k(0k1)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

11、2，k)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(22k,1)，則(2，k)，(22k,1)，2(22k)k43k，而0k1，故143k4.答案1,4反思感悟 在利用平面向量的數(shù)量積解決平面幾何中的問(wèn)題時(shí)，首先要想到是否能建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算題目會(huì)容易的多【自主體驗(yàn)】(2012江蘇卷)如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若，則的值是_解析法一以A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(xiàn)(x,2)，(x,2)，(，0)，(，1)，(x，2)，x，解得x1，F(xiàn)(1,2)，.法二|cosBAF，|cosBAF1，即

12、|1，|1，()()(1)(1)121.答案基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1(2013湛江二模)向量a(1,2)，b(0,2)，則ab()A2 B(0,4) C4 D(1,4)解析ab(1,2)(0,2)10224.答案C2(2014紹興質(zhì)檢)在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BAD120，則在方向上的投影為()A. B. C1 D2解析如圖所示，在方向上的投影為|cos 6021.答案C3(2013山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)若a2b與c垂直，則k()A3 B2 C1 D1解析由題意知(a2b)c0，即ac2bc0.所以k20，解得k3.答案A4(

13、2014浙江五校聯(lián)盟)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(2ab)b0，則向量a，b的夾角為()A. B. C. D.解析由(2ab)b0，得2ab|b|20.2|b|2cos|b|20，cos，又0，.答案A5(2013福建卷)在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為()A. B2 C5 D10解析1(4)220，S四邊形5.答案C二、填空題6(2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b.若bc0，則t_.解析bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|21t1.由bc0，得10，所以t2.答案27(201

14、4南京三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知(3，1)，(0,2)若0，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)解析設(shè)C(x，y)，則(x，y)，又(0,2)(3，1)(3,3)，所以3x3y0，解得xy.又(x3，y1)(0,2)，得結(jié)合x(chóng)y，解得2.答案28.(2014濰坊二模)如圖，在ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB1，AC3，60，則|_.解析因?yàn)?0，所以|cos 6013，又，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.答案三、解答題9已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解(1)若ab，則ab1(2x3)x(x)0.整理得x22x30，故x1或

15、x3.(2)若ab，則有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.當(dāng)x0時(shí)，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.當(dāng)x2時(shí)，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.綜上，可知|ab|2或2.10已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61，(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面積解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos .又0，.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)與的夾角，A

16、BC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC433.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1(2013青島一模)若兩個(gè)非零向量a，b滿足|ab|ab|2|a|，則向量ab與a的夾角為()A. B. C. D.解析由|ab|ab|，得a22abb2a22abb2，即ab0，所以(ab)aa2ab|a|2.故向量ab與a的夾角的余弦值為cos .所以.答案B2(2014昆明調(diào)研)在ABC中，設(shè)222，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)ABC的()A垂心 B內(nèi)心 C外心 D重心解析假設(shè)BC的中點(diǎn)是O.則22()()22，即()0，所以，所以動(dòng)點(diǎn)M在線段BC的中垂線上，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)ABC的外心，選C.答案C二、填空題3(2013浙江卷)設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于_解析因?yàn)閑1e2cos ，所以b2x2y22xye1e2x2y2xy.所以，設(shè)t，則1t2t2，所以04，即的最