2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《幾何證明》壓軸題((有答案))

1、幾何證明壓軸題(中考) 1、如圖，在梯形 ABCD 中，AB / CD，/ BCD=90 ，且 AB=1 , BC=2 , tan/ ADC=2. 求證：DC=BC; (2) E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且/ EDC= / FBC，DE=BF，試判斷厶ECF的形狀，并證明你的結(jié)論; (3) 在(2)的條件下，當(dāng) BE: CE=1 : 2, / BEC=135。時(shí)，求 sin/ BFE 的值. 2、已知：如圖，在口 ABCD 中，E、F分別為邊 AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG / DB交CB的延長(zhǎng)線于 G. (1) 求證： ADE CBF; (2) 若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形

2、AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論. A El 3、如圖13- 1，一等腰直角三角尺 GEF的兩條直角邊與正方形 ABCD的兩條邊分別重合在一起. 現(xiàn)正方形ABCD 保持不動(dòng)，將三角尺 GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)0 (點(diǎn)0也是BD中點(diǎn))按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn). (1) 如圖13-2,當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M , GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測(cè)量 BM , FN的長(zhǎng)度， 猜想BM , FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； (2) 若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13-3所示的位置時(shí)，線段 FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) M，線段 BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) N,此時(shí), (1)中的猜想還成立嗎

3、？若成立，請(qǐng)證明；若不成立, 請(qǐng)說明理由. 圖 13-1 4、如圖，已知O 0的直徑AB垂直于弦 CD于E,連結(jié) AD、BD、OC、0D，且0D = 5。 3 (1) 若 sin Z BAD，求 CD 的長(zhǎng)； 5 (2) 若Z ADO : Z EDO = 4: 1，求扇形OAC (陰影部分)的面積(結(jié)果保留)。 D 5、如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓 0上一點(diǎn)，CH丄AB于點(diǎn)H，直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D, E為CH中點(diǎn)，連接 AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F,直線CF交直線AB于點(diǎn)G. (1 )求證：點(diǎn)F是BD中點(diǎn)； (2) 求證：CG是O 0的切線； (3) 若FB=FE=2，求O 0的半

4、徑. 6、如圖，已知 0為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4, 3), O A的半徑為2 .過A作直線I平行于X軸，點(diǎn)P在直線I上運(yùn)動(dòng). (1) 當(dāng)點(diǎn)P在O 0上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出它的坐標(biāo)； (2) 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為12,試判斷直線 0P與O A的位置關(guān)系，并說明理由 7、如圖，延長(zhǎng)。O的半徑OA到B,使OA=AB , DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，過點(diǎn)B作DE的 垂線，垂足為點(diǎn)C. 求證：/ ACB= 1 / OAC. 3 8、如圖1，一架長(zhǎng) 4米的梯子AB斜靠在與地面 0M垂直的墻壁 ON上，梯子與地面的傾斜角a為 60 . 求A0與B0的長(zhǎng)； 若梯子頂端 A沿NO下滑，同時(shí)底端 B沿0M向右滑行. 如

5、圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到 D點(diǎn)，并且AC:BD=2:3，試計(jì)算梯子頂端 A沿NO下滑多 少米； 如圖3，當(dāng) A點(diǎn)下滑到A點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到 B 點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)到 P點(diǎn).若/ POP 幾何證明壓軸題(中考)解析 1、如圖，在梯形 ABCD 中，AB / CD，/ BCD=90 ，且 AB=1 , BC=2 , tan/ ADC=2. (4) 求證：DC=BC; (5) E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且/ EDC= / FBC, DE=BF，試判斷厶ECF的形狀，并證明你的結(jié)論; (6) 在(2)的條件下，當(dāng) BE: CE=1 : 2, / BEC=135。時(shí)，求

6、 sin/ BFE 的值. 解析(1) 過A作DC的垂線 AM交DC于 M, 則 AM=BC=2. 又 tan / ADC=2所以 DM -1.即 DC=BC. 2 (2)等腰三角形. 證明： 所以， 所以， 所 因?yàn)?DE DF, EDC FBC,DC DECA BFC CE CF, ECD BCF . 以 ECF BCF 即厶ECF是等腰直角三角形. (3)設(shè) BE k,則 CE CF 2k，所以 EF BC . BCE ECD BCE BCD 90 因?yàn)?BEC 135 ，又 CEF 45，所以 BEF 90 . 所以 BF .k2 (2、2k)2 3k 所以 sin BFE k 1 3

7、k 3. 2、已知： 如圖， 在口 ABCD 中，E、F分別為邊 AB、CD的中點(diǎn), 2、2k. (1)求證： (2 )若四邊形 ADE CBF; BEDF是菱形，則四邊形 AGBD BD是對(duì)角線，AG / DB交CB的延長(zhǎng)線于 G. 解析(1) 四邊形ABCD是平行四邊形, / 1 = / C, AD = CB , AB = CD . 點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)， 11 - AE = - AB , CF= CD . 22 AE = CF ADE CBF . (2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)， 四邊形AGBD是矩形. 四邊形ABCD是平行四邊形， AD / BC . 是什么特殊四邊形？并證明

8、你的結(jié)論. / AG / BD , 四邊形AGBD是平行四邊形. 四邊形 BEDF是菱形， DE = BE . / AE = BE , AE = BE = DE . / 1 = / 2,/ 3 =/ 4. / 1 + / 2+/ 3 +/ 4= 180 2/2+ 2 / 3= 180 . / 2+/ 3= 90. 即/ ADB = 90. 四邊形AGBD是矩形 3、如圖13- 1，一等腰直角三角尺 GEF的兩條直角邊與正方形 ABCD的兩條邊分別重合在一起. 現(xiàn)正方形ABCD 保持不動(dòng)，將三角尺 GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)0 (點(diǎn)0也是BD中點(diǎn))按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn). (1) 如圖13-2,當(dāng)EF與A

9、B相交于點(diǎn)M , GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測(cè)量 BM , FN的長(zhǎng)度， 猜想BM , FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； (2) 若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13-3所示的位置時(shí)，線段 FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) M，線段 BD的延長(zhǎng)線與GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) N,此時(shí), 請(qǐng)說明理由. (1)中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立, 圖 13-1 BM=FN. GEF是等腰直角三角形, 解析(1) 證明： 四邊形 ABCD是正方形, / ABD = / F =45 , OB = OF .又BOM = / FON ,/ OBM OFN . a BM=FN . (2) BM=FN

10、仍然成立. (3) 證明： GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，/ DBA= / GFE=45 , OB=OF . / MBO= / NFO=135。.又MOB = / NOF , OBM OFN . BM = FN . 4、如圖，已知O O的直徑AB垂直于弦 CD于E,連結(jié) AD、BD、OC、OD，且OD = 5。 3 (1) 若 sin / BAD 3，求 CD 的長(zhǎng)； 5 (2) 若/ ADO : / EDO = 4: 1，求扇形OAC (陰影部分)的面積(結(jié)果保留)。 解析(1) 因?yàn)锳B是O O的直徑，OD= 5 所以/ ADB = 90 , AB = 10 亠出/BD

11、在 RtA ABD 中，sin / BAD AB 又 sin / BAD 3，所以 BD 3，所以 BD 6 AD .AB2 BD2 102 62 8 因?yàn)? ADB = 90, AB 丄 CD 所以 DE AB AD BD, CE DE 24 48 所以 DE 10 8 6 所以 DE 5 所以CD 2DE 5 (2) 因?yàn)?AB 是O O的直徑， AB 丄 CD c c c 所以 CB BD ,AC AD 5105 所以/ BAD =/ CDB，/ AOC = / AOD 因?yàn)?AO = DO，所以/ BAD =/ ADO 所以/ CDB = / ADO 設(shè)/ ADO = 4x，則/ CD

12、B = 4x 由/ ADO : / EDO = 4: 1,則/ EDO = x 因?yàn)? ADO +/ EDO + / EDB = 90 所以 4x 4x x 90 所以 x= 10 所以/ AOD = 180- (/ OAD +/ ADO )= 100 所以/ AOC = / AOD = 100 S 100 S扇形OAC 5、如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓 0上一點(diǎn)，CH丄AB于點(diǎn)H，直線AC與過B點(diǎn)的切線相交于點(diǎn) E為CH中點(diǎn)，連接 AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F,直線CF交直線AB于點(diǎn)G. b F s ADF B , B (1 )求證：點(diǎn)F是BD中點(diǎn)； (2) 求證：CG是O 0的切線； (3

13、) 若FB=FE=2，求O 0的半徑. CH 丄 AB , DB 丄 AB , A / HE = EC,. BF = FD 解析證明：T .EH AE CE 麗 AF FD 方法一：連接CB、0C , / AB 是直徑，./ ACB = 90 v F 是 BD 中點(diǎn)， / BCF= / CBF=90 - / CBA= / CAB= / ACO / OCF=90 , CG 是O 0 的切線6 方法二：可證明 0CF也 0BF（參照方法一標(biāo)準(zhǔn)得分） （3）解：由 FC=FB=FE 得：/ FCE= / FEC 可證得：FA= FG,且AB = BG 由切割線定理得：（2+ FG） 2= BG X

14、AG=2BG 2 在Rt BGF中，由勾股定理得：BG2= FG2 BF2 由O、得：FG2-4FG-12=0 解之得：FG1 = 6, FG2= 2 （舍去） AB = BG = 4.J2 O 0半徑為2 .2 6、如圖，已知 0為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4, 3), O A的半徑為2 .過A作直線l平行于X軸，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng). (1) 當(dāng)點(diǎn)P在O 0上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出它的坐標(biāo)； (2) 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為12,試判斷直線 0P與O A的位置關(guān)系，并說明理由 解析 解：點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,3）或（6,3） 作AC丄OP, C為垂足. / ACP= / OBP= 90o,Z 1 = / 1 AC

15、Ps OBP .AC AP OB OP 在 Rt OBP 中，OPOB2 BP2 AC= 24153 1.94 / 1.942 OP與O A相交. E D B O 若梯子頂端 A沿NO下滑，同時(shí)底端 B沿OM 向右滑行. 如圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到 D 點(diǎn)，并且 AC:BD=2:3 , 試計(jì)算梯子頂端 A沿NO下滑多 7、如圖，延長(zhǎng)。O的半徑OA到B,使OA=AB , DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，過點(diǎn) 作DE的垂線，垂足為點(diǎn)C. 求證：z ACB=1 z OAC. 3 解析 證明：連結(jié)OE、AE，并過點(diǎn)A作AF丄DE于點(diǎn)F，（ 3分） / DE是圓的一條切線， E是切點(diǎn)，OE丄

16、DC,又T BC丄DE,.OE/ AF / BC. Z 1 = Z ACB , Z 2=Z 3. T OA=OE , Z 4= Z 3. Z 4=Z 2.又 T點(diǎn) A 是 OB 的中點(diǎn)， 1 點(diǎn) F 是 EC 的中點(diǎn). AE=AC . Z 1 = Z 2. Z 4=Z 2= Z1.即 Z ACB = _ Z OAC. 3 8、如圖1, 一架長(zhǎng) 4米的梯子AB斜靠在與地面 OM垂直的墻壁 ON上，梯子與地面的傾斜角a為 60 . 求AO與BO的長(zhǎng); 2 少米; 如圖3,當(dāng)A點(diǎn)下滑到A點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到 B 點(diǎn)時(shí)，梯子AB的中點(diǎn) P也隨之運(yùn)動(dòng)到 P點(diǎn).若/ POP 15，試求AA 的長(zhǎng). 解析 Rt AOB 中，/ O=90o, Za =60 1 , Z OAB=30，又 AB= 4 米， OB -AB 2 AB sin 60o 432、3 米- 2 AC 2x, BD 3x,在 Rt COD 中, OC 2、3 2x,OD 2,3 2x 2 OA 設(shè) （3分） 3x,CD 4 根據(jù)勾股定理：OC2 OD2 CD2 2 2 3x42 （5分） 13x212 8.3 AC=2x= 13 - x 0 1