第9講.工程問(wèn)題.教師版

1、第九講：工程問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)1. 熟練掌握工程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法；2. 工程問(wèn)題中常出現(xiàn)單獨(dú)做，幾人合作或輪流做，分析時(shí)一定要學(xué)會(huì)分段處理；3. 根據(jù)題目中的實(shí)際情況能夠正確進(jìn)行單位“1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；4. 工程問(wèn)題中的常見(jiàn)解題方法以及工程問(wèn)題算術(shù)方法在其他類型題目中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)撥工程問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問(wèn)題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來(lái)比較困難。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。一 工程問(wèn)題的基本概念定義 ： 工程問(wèn)題是指用分?jǐn)?shù)來(lái)解答有關(guān)工作總量、工作時(shí)間

2、和工作效率之間相互關(guān)系的問(wèn)題。工作總量：一般抽象成單位“1”工作效率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成的工作量三個(gè)基本公式：工作總量=工作效率工作時(shí)間，工作效率=工作總量工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作總量工作效率；二、為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面 具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識(shí)，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題； 在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運(yùn)用； 學(xué)會(huì)畫(huà)線段示意圖線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們?cè)趶?fù)雜的條件與問(wèn)題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷和推理； 學(xué)會(huì)多角度、多側(cè)面思

3、考問(wèn)題的方法分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問(wèn)題之間的關(guān)系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時(shí)很難找到正確解題方法因此，在解題過(guò)程中，要善于掌握對(duì)應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解題方法，不斷地開(kāi)拓解題思路三、利用常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法如代換法、比例法、列表法、方程法等拋開(kāi)“工作總量”和“時(shí)間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率，最后再利用先前的假設(shè)“把整個(gè)工程看成一個(gè)單位”，求得問(wèn)題答案一般情況下，工程問(wèn)題求的是時(shí)間例題精講模塊一、工程問(wèn)題基本題型【例 1】 一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要天時(shí)間，乙單獨(dú)做需要天時(shí)間，如果甲、乙合作需要多少時(shí)間？【解析】 將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么

4、甲每天完成總量的，乙每天完成總量的，兩人合作每天能完成總量的，所以兩人合作的話，需要天能夠完成【例 2】 甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時(shí)可以完成任務(wù)如果甲單獨(dú)加工，便需要12小時(shí)完成現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了小時(shí)后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個(gè)零件才完成任務(wù)問(wèn)乙一共加工零件多少個(gè)? 【解析】 乙單獨(dú)加工，每小時(shí)加工 甲調(diào)出后，剩下工作乙需做時(shí)所以乙每小時(shí)加工零件(個(gè))，則小時(shí)加工(個(gè))，所以乙一共加工零件420+60480(個(gè))【鞏固】 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開(kāi)了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？【解析】

5、 共做了6天后，原來(lái)，甲做 24天，乙做 24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.這說(shuō)明原來(lái)甲24天做的工作，可由乙做16天來(lái)代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是天如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是天；甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天.【例 3】 一項(xiàng)工程，甲、乙合作需要天完成，乙、丙合作需要天完成，由乙單獨(dú)做需要天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？【解析】 如果將整個(gè)工程的工作量看做單位“1”，從條件中我們很容易看出： 甲乙， 乙丙， 乙因此不難得到丙的工作效率為，因此三個(gè)人的工作效率之和為，也就是說(shuō)，三個(gè)人合作需要12天

6、可以完成。本題也可以分別求出甲和丙的工作效率，再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效但是這樣做比較麻煩，事實(shí)上只要將甲乙工效和加上丙的工效就可以了【鞏固】 一項(xiàng)工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙單獨(dú)做需要天完成，那么如果甲、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？【解析】 法一：和上題類似，我們可以有：甲乙， 乙丙， 丙不難求得，乙的工作效率為，因此甲的工作效率為，從而甲丙合作的工作效率為，即甲丙合作12天能完成。法二：仍然觀察上面那三個(gè)等式，我們能否不求出每個(gè)人的工作效率，而同過(guò)整體的運(yùn)算直接得到“甲 +丙”的值呢？不難發(fā)現(xiàn)，我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有：，也就是說(shuō)：

7、，所以甲丙合作天能完成?！纠?4】 一池水，甲、乙兩管同時(shí)開(kāi)，5小時(shí)灌滿；乙、丙兩管同時(shí)開(kāi)，4小時(shí)灌滿現(xiàn)在先開(kāi)乙管6小時(shí)，還需甲、丙兩管同時(shí)開(kāi)2小時(shí)才能灌滿乙單獨(dú)開(kāi)幾小時(shí)可以灌滿？【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根據(jù)“現(xiàn)在先開(kāi)乙管6小時(shí)，還需甲、丙兩管同時(shí)開(kāi)2小時(shí)灌滿”，我們可以把乙管的6小時(shí)分成3個(gè)2小時(shí)，第一個(gè)2小時(shí)和甲同時(shí)開(kāi)，第二個(gè)2小時(shí)和丙同時(shí)開(kāi)，第三個(gè)2小時(shí)乙管單獨(dú)開(kāi)這樣就變成了甲、乙同時(shí)開(kāi)2小時(shí)，乙、丙同時(shí)開(kāi)2小時(shí)，乙單獨(dú)開(kāi)2小時(shí)，正好灌滿一池水可以計(jì)算出乙單獨(dú)灌水的工作量為，所以乙的工作效率為：，所以整池水由乙管單獨(dú)灌水，需要（小時(shí)）【鞏固】 一件工作，甲、乙

8、兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問(wèn)甲一人獨(dú)做需要多少天完成？【解析】 設(shè)這件工作的工作量是1。甲乙兩人合作每天完成，甲丙兩人合作每天完成，乙丙兩人合作每天完成，甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成，甲獨(dú)做需要天答：甲一人獨(dú)做需要90天完成.【鞏固】 一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需要多少天? 【解析】 方法一：對(duì)于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)(丙，甲)=2乙，即+=為兩倍乙的工作效率，所以乙的工作效率為而對(duì)于工作效率有，(乙，丙)乙=

9、丙，那么丙的工作效率為那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需1=48天。方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)，所以(甲，乙，丙)=2，即甲、乙、丙3人合作的工作效率為那么丙單獨(dú)工作的工作效率為，那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需48天【例 5】 （2007年四中考題)某水池可以用甲、乙兩個(gè)水管注水，單開(kāi)甲管需12小時(shí)注滿，單開(kāi)乙管需24小時(shí)注滿，若要求10小時(shí)注滿水池，且甲、乙兩管同時(shí)打開(kāi)的時(shí)間盡量少，那么甲、乙最少要同時(shí)開(kāi)放 小時(shí)【解析】 要想同時(shí)開(kāi)的時(shí)間最小，則根據(jù)工效，讓甲“滿負(fù)荷”地做，才可能使得同時(shí)開(kāi)放的時(shí)間最小所以，乙開(kāi)放的時(shí)間為(小時(shí))，即甲、乙最少要同時(shí)開(kāi)放4小

10、時(shí)【例 6】 一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開(kāi)5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打開(kāi)8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開(kāi)13個(gè)水龍頭，問(wèn)要多少時(shí)間才能把水放空？【解析】 先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4 60= 240（立方米）.時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240 （ 5 150- 8 90）= 8（立方米），8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8 8 90，其中 90分鐘內(nèi)流入水量是 4 90，因此原來(lái)水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米）.打開(kāi)13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水813，除去每分鐘流入4

11、，其余將放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 （8 13- 4）=54（分鐘）.所以打開(kāi)13個(gè)龍頭，放空水池要54分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開(kāi)考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.【例 7】 甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務(wù)甲車單獨(dú)清掃需10小時(shí)，乙車單獨(dú)清掃需15小時(shí)，兩車同時(shí)從東、西城相向開(kāi)出，相遇時(shí)甲車比乙車多清掃12千米問(wèn)：東、西兩城相距多少千米？【解析】 法一：先求出甲、乙相遇的時(shí)間：小時(shí)；甲清掃全長(zhǎng)的，乙清掃了全部的；所以東、西兩城相距千米 法二：因?yàn)闀r(shí)間相等，路程比等于速度比，這樣相遇時(shí)甲、乙清掃的

12、路程比是，甲行了全程的，乙行了全程的，全程就是千米【例 8】 (2007年十一學(xué)?？碱})有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要36天完成，乙單獨(dú)做需要30天完成，丙單獨(dú)做需要48天完成現(xiàn)在由甲、乙、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項(xiàng)工程也用了整數(shù)天那么丙休息了 天設(shè)甲、乙工作了天，丙工作了天，則有：，化簡(jiǎn)得由于和720都是15的倍數(shù)，所以也是15的倍數(shù)，而，所以，所以丙休息了天【鞏固】 一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做

13、完了這件工作.問(wèn)總共用了多少天？【解析】 解法一：甲做1天，乙就做3天，丙就做32=6（天），甲做1天，完成工作量的，乙就完成工作量的，丙就完成工作量的。共完成。天說(shuō)明甲做了2天，乙做了6天，丙做了12天，三人共做了20天，完成這項(xiàng)工作用了20天.解法二：本題整數(shù)化會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了天。模塊二、工程問(wèn)題變速問(wèn)題【例 9】 甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路，最終按工作量分配8400元工資按兩隊(duì)原計(jì)劃的工作效率，乙隊(duì)?wèi)?yīng)獲5040元實(shí)際上從第5天開(kāi)始，甲隊(duì)的工作效率提高了1倍，這樣甲隊(duì)最

14、終可比原計(jì)劃多獲得960元那么兩隊(duì)原計(jì)劃完成修路任務(wù)要多少天？【解析】 開(kāi)始時(shí)甲隊(duì)拿到元，甲、乙的工資比等于甲、乙的工效比，即為；甲提高工效后，甲、乙總的工資及工效比為設(shè)甲開(kāi)始時(shí)的工效為“2”，那么乙的工效為“3”，設(shè)甲在提高工效后還需天才能完成任務(wù)有，化簡(jiǎn)為，解得工程總量為，所以原計(jì)劃天完成【例 10】 （2009年十三分小升初入學(xué)測(cè)試題）甲、乙兩人同時(shí)加工同樣多的零件，甲每小時(shí)加工40個(gè)，當(dāng)甲完成任務(wù)的時(shí)，乙完成了任務(wù)的還差40個(gè)這時(shí)乙開(kāi)始提高工作效率，又用了小時(shí)完成了全部加工任務(wù)這時(shí)甲還剩下20個(gè)零件沒(méi)完成求乙提高工效后每小時(shí)加工零件多少個(gè)？【解析】 當(dāng)甲完成任務(wù)的時(shí)，乙完成了任務(wù)的還差

15、40個(gè)，這時(shí)乙比甲少完成40個(gè)；當(dāng)乙完成全部任務(wù)時(shí)，甲還剩下20個(gè)零件沒(méi)完成，這時(shí)乙比甲多完成20個(gè)；所以在后來(lái)的小時(shí)內(nèi)，乙比甲多完成了個(gè)，那么乙比甲每小時(shí)多完成個(gè)所以提高工效后乙每小時(shí)完成個(gè)【例 11】 （2009年第七屆“希望杯”六年級(jí)第1試）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別負(fù)責(zé)兩項(xiàng)工程晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分別是晴天時(shí)的和實(shí)際情況是兩隊(duì)同時(shí)開(kāi)工、同時(shí)完工那么在施工期間，下雨的天數(shù)是 天【解析】 在晴天，甲、乙兩隊(duì)的工作效率分別為和，甲隊(duì)比乙隊(duì)的工作效率高； 在雨天，甲隊(duì)、乙隊(duì)的工作效率分別為和，乙隊(duì)的工作效率比甲隊(duì)高由于兩隊(duì)同時(shí)開(kāi)工、同時(shí)完工，完成工

16、程所用的時(shí)間相同，所以整個(gè)施工期間，晴天與雨天的天數(shù)比為如果有8個(gè)晴天，則甲共完成工程的，而實(shí)際的工程量為1，所以在施工期間，共有個(gè)晴天，個(gè)雨天模塊三、工程問(wèn)題方法與技巧（一）整體分析法【例 12】 甲、乙兩隊(duì)合作挖一條水渠要天完成，若甲隊(duì)先挖天后，再由乙隊(duì)單獨(dú)挖天，共挖了這條水渠的如果這條水渠由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)挖，各需要多少天？【解析】 法一：甲、乙合作完成工程的需要：(天)甲隊(duì)先做天，比合作少了(天)；乙隊(duì)后做天，比合作多了(天)，所以甲隊(duì)做天相當(dāng)于乙隊(duì)做天，甲、乙兩隊(duì)工作效率的比是甲隊(duì)單獨(dú)工作需要：(天)；乙隊(duì)單獨(dú)工作需要：(天)。法二：我們知道，甲乙合作，每天可以完成工程的，而題目中給定

17、的“甲隊(duì)先挖天，再由乙隊(duì)單獨(dú)挖天”，相當(dāng)于甲乙兩隊(duì)先合作天，然后再由乙隊(duì)單獨(dú)挖天，于是兩隊(duì)合作天，可以完成工程的，也就是說(shuō)乙隊(duì)天挖了，于是乙隊(duì)的工作效率為，那么甲隊(duì)的工作效率就是，即甲隊(duì)單獨(dú)做需要天，乙隊(duì)單獨(dú)做需要天。工程問(wèn)題里面也經(jīng)常用到比例，是因?yàn)楣こ虇?wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是乘法關(guān)系其實(shí)這一點(diǎn)是與工程習(xí)慣無(wú)關(guān)的【例 13】 (2008年實(shí)驗(yàn)中學(xué)考題)幾個(gè)同學(xué)去割兩塊草地的草，甲地面積是乙地面積的4倍，開(kāi)始他們一起在甲地割了半天，后來(lái)留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，這樣又割了半天，甲、乙兩地的草同時(shí)割完了，問(wèn)：共有多少名學(xué)生？【解析】 有12人全天都在甲地割草，設(shè)有人上午在甲地，下午在

18、乙地割草由于這人在下午能割完乙地的草(甲地草的)，所以這些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草，每人每天割草為，全部的草為甲地草的，所以共有20名學(xué)生【鞏固】 一批工人到甲、乙兩個(gè)工地進(jìn)行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍上午去甲工地的人數(shù)是去乙工地人數(shù)的倍，下午這批工人中有的人去甲工地其他工人到乙工地到傍晚時(shí)，甲工地的工作已做完，乙工地的工作還需名工人再做天，那么這批工人有多少人？【解析】 根據(jù)題意，這批工人的人數(shù)是12的倍數(shù)，設(shè)這批工人有人那么上午有人在甲工地，有人在乙工地；下午有人在甲工地，有人在乙工地所以甲工地相當(dāng)于人做了一整天；乙工地相當(dāng)于人做了一整天由于甲工

19、地的工作量是乙工地的工作量的倍，假設(shè)甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量是2份人做一整天完成3份，那么人做一整天完成份，所以乙工地還剩下份這份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要人做一整天，即，可得，那么這批工人有(人)【例 14】 （2009年第七屆“希望杯”六年級(jí)第2試）有兩個(gè)同樣的倉(cāng)庫(kù)，搬運(yùn)完其中一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要6小時(shí)，乙需要7小時(shí)，丙需要14小時(shí)甲、乙同時(shí)開(kāi)始各搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，開(kāi)始時(shí)，丙先幫甲搬運(yùn)，后來(lái)又去幫乙搬運(yùn)，最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物同時(shí)搬完則丙幫甲 小時(shí)，幫乙 小時(shí)【解析】 整個(gè)搬運(yùn)的過(guò)程，就是甲、乙、丙三人同時(shí)開(kāi)始同時(shí)結(jié)束，共搬運(yùn)了兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，所以它們完成工

20、作的總時(shí)間為小時(shí)在這段時(shí)間內(nèi)，甲、乙各自在某一個(gè)倉(cāng)庫(kù)內(nèi)搬運(yùn)，丙則在兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)都搬運(yùn)過(guò)甲完成的工作量是，所以丙幫甲搬了的貨物，丙幫甲做的時(shí)間為小時(shí)，那么丙幫乙做的時(shí)間為小時(shí)【例 15】 甲、乙、丙三隊(duì)要完成，兩項(xiàng)工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果讓甲、乙、丙三隊(duì)單獨(dú)做，完成工程所需要的時(shí)間分別是天，天，天現(xiàn)在讓甲隊(duì)做工程，乙隊(duì)做工程，為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，丙隊(duì)先與乙隊(duì)合做工程若干天，然后再與甲隊(duì)合做工程若干天問(wèn)丙隊(duì)與乙隊(duì)合做了多少天？【解析】 這個(gè)問(wèn)題當(dāng)中有兩個(gè)不同的工程，三個(gè)不同的人，因此顯得很難解決，數(shù)學(xué)中化歸的思想很重要，即以一個(gè)為基準(zhǔn)，把其他的量轉(zhuǎn)化為這個(gè)量，然后進(jìn)行計(jì)算，我們不

21、妨設(shè)工程的工作總量為單位“1”，那么工程的工作量就是“”，那么這個(gè)問(wèn)題就和例聯(lián)系到了一起了。三隊(duì)合作完成兩項(xiàng)工程所用的天數(shù)為：天。天里，乙隊(duì)一直在完成工作，因此乙的工作量為，剩下的工作量應(yīng)該是由丙完成，因此丙在工程上用了天也就是說(shuō)兩隊(duì)合作了天。解題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成一個(gè)單位，運(yùn)用公式：工作效率工作時(shí)間工作總量，表示出各個(gè)工程隊(duì)(人員)或其組合在統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)和單位下的工作效率【例 16】 甲、乙、丙三人同時(shí)分別在3個(gè)條件和工作量相同的倉(cāng)庫(kù)工作，搬完貨物甲用10小時(shí)，乙用12小時(shí)，丙用15小時(shí)第二天三人又到兩個(gè)大倉(cāng)庫(kù)工作，這兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的工作量相同甲在倉(cāng)庫(kù)，乙在倉(cāng)庫(kù)，丙先幫甲后幫乙，用了16個(gè)小時(shí)將

22、兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)同時(shí)搬完丙在倉(cāng)庫(kù)搬了多長(zhǎng)時(shí)間？【解析】 因?yàn)椤蓚€(gè)倉(cāng)庫(kù)的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一個(gè)大倉(cāng)庫(kù)工作，那么8小時(shí)可以搬完因?yàn)榧住⒁?、丙三人每小時(shí)的工作量的比是，所以甲每小時(shí)可以完成大倉(cāng)庫(kù)工作量的，丙每小時(shí)可以完成大倉(cāng)庫(kù)工作量的那么甲16小時(shí)完成了倉(cāng)庫(kù)的，丙在倉(cāng)庫(kù)搬了小時(shí)【例 17】 一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)做要天完成如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，那么比上次輪流的做法多用半天完工問(wèn)：甲單獨(dú)做需要幾天？【解析】 甲、乙輪流做，如果是偶數(shù)天完成，那么乙、甲輪流做必然也是偶數(shù)天完成，且等于甲、乙輪流做的天數(shù)，與題意

23、不符；所以甲、乙輪流做是奇數(shù)天完成，最后一天是甲做的那么乙、甲輪流做比甲、乙輪流做多用半天，這半天是甲做的如果設(shè)甲、乙工作效率分別為和，那么，所以，乙單獨(dú)做要用天，甲的工作效率是乙的倍，所以甲單獨(dú)做需要天【例 18】 一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成若甲先做1小時(shí)，然后乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)，兩人如此交替工作，請(qǐng)問(wèn)：完成任務(wù)時(shí)，共用了多少小時(shí)？【解析】 若甲、乙兩人合作共需多少小時(shí)？ （小時(shí)） 甲、乙兩人各單獨(dú)做7小時(shí)后，還剩多少？ 余下的由甲獨(dú)做需要多少小時(shí)？ （小時(shí)） 共用了多少小時(shí)？ （小時(shí)）在工程問(wèn)題中，轉(zhuǎn)換條件是常用手法本題中，甲做1小時(shí)，乙做

24、1小時(shí)，相當(dāng)于他們合作1小時(shí)，也就是每2小時(shí)，相當(dāng)于兩人合做1小時(shí)這樣先算一下一共進(jìn)行了多少個(gè)這樣的2小時(shí)，余下部分問(wèn)題就好解決了【鞏固】 一件工程，甲單獨(dú)做要小時(shí)，乙單獨(dú)做要小時(shí)，如果接甲、乙、甲、乙順序交替工作，每次小時(shí)，那么需要多長(zhǎng)時(shí)間完成？【解析】 甲小時(shí)完成整個(gè)工程的，乙小時(shí)完成整個(gè)工程的，交替干活時(shí)兩個(gè)小時(shí)完成整個(gè)工程的，甲、乙各干小時(shí)后完成整個(gè)工程的，還剩下，甲再干小時(shí)完成整個(gè)工程的，還剩下，乙花小時(shí)即分鐘即可完成所以需要小時(shí)分鐘來(lái)完成整個(gè)工程【鞏固】 規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程，要求第一個(gè)人先做1個(gè)小時(shí)，第二個(gè)人接著做一個(gè)小時(shí)，然后再由第一個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，然后又由第二個(gè)人做1個(gè)小時(shí)

25、，如此反復(fù)，做完為止如果甲、乙輪流做一個(gè)工程需要小時(shí)，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要小時(shí)，那乙單獨(dú)做這個(gè)工程需要多少小時(shí)？【解析】 根據(jù)題意，有：，可知，甲做小時(shí)與乙做小時(shí)的工作量相等，故甲工作2小時(shí)，相當(dāng)于乙1小時(shí)的工作量所以，乙單獨(dú)工作需要小時(shí)【鞏固】 蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管要灌滿一池水，單開(kāi)進(jìn)水管需小時(shí)；排光一池水，單開(kāi)排水管需小時(shí)現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水，排水，進(jìn)水，排水的順序輪流各開(kāi)小時(shí)問(wèn)：多長(zhǎng)時(shí)間后水池的水剛好排完？(精確到分鐘)【解析】 法一：小時(shí)排水比小時(shí)進(jìn)水多，說(shuō)明排水開(kāi)了小時(shí)后（實(shí)際加上進(jìn)水3小時(shí)，已經(jīng)過(guò)去小時(shí)了），水池還剩一池子水的，再過(guò)小時(shí)，水池里的水為一池

26、子水的，把這些水排完需要小時(shí)，不到1小時(shí)，所以共需要 小時(shí)小時(shí)分法二：小時(shí)排水比小時(shí)進(jìn)水多，說(shuō)明小時(shí)以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的，排一池子需要小時(shí)，排一池子水的需要小時(shí)，所以實(shí)際需要小時(shí)小時(shí)分【鞏固】 一項(xiàng)工程，甲、乙合作小時(shí)可以完成，若第小時(shí)甲做，第小時(shí)乙做，這樣交替輪流做，恰好整數(shù)小時(shí)做完；若第小時(shí)乙做，第小時(shí)甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要多小時(shí)，那么這項(xiàng)工作由甲單獨(dú)做，要用多少小時(shí)才能完成？【解析】 若第一種做法的最后一小時(shí)是乙做的，那么甲、乙共做了偶數(shù)個(gè)小時(shí)，那么第二種做法中甲、乙用的時(shí)間應(yīng)與第一種做法相同，不會(huì)多小時(shí)，與題意不符所以第一種做法的最后一小時(shí)是甲做的

27、，第二種做法中最后小時(shí)是甲做的，而這小時(shí)之前的一小時(shí)是乙做的，所以乙甲甲，得乙甲甲、乙工作效率之和為：，甲的工作效率為：， 所以甲單獨(dú)做的時(shí)間為(小時(shí))【例 19】 ）甲、乙、丙3隊(duì)要完成a，b兩項(xiàng)工程b工程的工作量比a工程的工作量多甲、乙、丙3隊(duì)單獨(dú)完成a工程所需時(shí)間分別是20天、24天、30天.為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，先派甲隊(duì)做a工程，乙、丙兩隊(duì)共同做b工程；經(jīng)過(guò)幾天后，又調(diào)丙隊(duì)與甲隊(duì)共同完成a工程那么，丙隊(duì)與乙隊(duì)合作了多少天?【解析】 設(shè)a項(xiàng)工程的工程總量為“1”，那么b工程的工程總量為，a、b兩項(xiàng)工程的工程總量為1+=而甲、乙、丙合作時(shí)的工作效率為+=，甲、乙、丙始終在同時(shí)工作，所以兩

28、項(xiàng)工程同時(shí)完成時(shí)所需的時(shí)間為=18(天)在這18天，乙完成18=的工程量，則b工程中剩下的-=的工程量是由丙幫助完成，即=15(天)即丙隊(duì)與乙隊(duì)合作了15天【例 20】 甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整數(shù)天做完，若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計(jì)劃多用半天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則也比原計(jì)劃多用半天已知甲單獨(dú)做完這件工作要天，且三個(gè)人的工作效率各不相同，那么這項(xiàng)工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？【解析】 首先應(yīng)確定按每一種順序去做的時(shí)候最后一天由誰(shuí)來(lái)完成如果按甲、乙、丙的順序去做，最后一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的順序和丙、甲

29、、乙的順序去做時(shí)用的天數(shù)將都與按甲、乙、丙的順序做用的天數(shù)相同，這與題意不符；如果按甲、乙、丙的順序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的順序去做，最后由甲做了半天來(lái)完成，這樣有，可得；而按丙、甲、乙的順序去做，最后由乙做了半天來(lái)完成，這樣有，可得那么，即甲、乙的工作效率相同，也與題意不合所以按甲、乙、丙的順序去做，最后一天是由甲完成的那么有，可得，這項(xiàng)工作由甲、乙、丙三人一起做，要用天（二）等量代換法【例 21】 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問(wèn)這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？【解析】 丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量

30、.丙的工作效率是乙的工作效率的42=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要天【例 22】 一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做天完成，甲天的工作量，乙要天完成兩隊(duì)合做天后由乙隊(duì)獨(dú)做，還要幾天才能完成？【解析】 法一：我們把工程看作兩個(gè)人分別完成的，那么顯然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完成的。甲完成整個(gè)工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作效率是甲的，因此甲4天完成的量，乙需要天完成，除去與甲合作的2天以

31、外，乙還要做天。法二：甲的工作效率為，所以乙的工作效率為兩隊(duì)合作2天后乙隊(duì)獨(dú)做還要天才能完成【例 23】 打印一份書(shū)稿，甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才能完成如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成甲、乙兩人合做需要幾天完成？【解析】 根據(jù)“甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才能完成如果甲、乙合做2天，剩下的由乙獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成這項(xiàng)工作甲、乙所用的時(shí)間比是另外，由于甲、乙單獨(dú)做，乙用的時(shí)間比甲多天，所以乙獨(dú)做需要的天數(shù)是：(天)，甲獨(dú)做需要(天)，甲、乙合做需要(天)【鞏

32、固】 一件工作甲先做小時(shí)，乙接著做小時(shí)可以完成；甲先做小時(shí)，乙接著做小時(shí)也可以完成如果甲做小時(shí)后由乙接著做，還需要多少小時(shí)完成？【解析】 根據(jù)題意可知，甲做小時(shí)的工作量等于乙做小時(shí)的工作量， 可見(jiàn)甲做1小時(shí)的工作量等于乙做3小時(shí)的工作量那么可以用乙做3小時(shí)來(lái)代換甲做1小時(shí)，可知乙完成全部工作需要小時(shí)，甲先做的3小時(shí)相當(dāng)于乙做了9小時(shí)，所以乙還需要小時(shí)（三）比例法【例 24】 一批零件平均分給甲、乙兩人同時(shí)加工，兩人工作小時(shí)，共完成這批零件的。已知甲與乙的工作效率之比是，那么乙還要幾小時(shí)才能完成分配的任務(wù)？【解析】 乙小時(shí)完成總工作量的；乙每小時(shí)完成總工作量的；乙需要完成的總工作量為；乙要完成這

33、個(gè)任務(wù)還需要的時(shí)間：（小時(shí)）【例 25】 一項(xiàng)工程，甲15天做了后，乙加入進(jìn)來(lái)，甲、乙一起又做了，這時(shí)丙也加入進(jìn)甲、乙、丙一起做完已知乙、丙的工作效率的比為3：5，整個(gè)過(guò)程中，乙、丙工作的天數(shù)之比為2：1，問(wèn)題中情形下做完整個(gè)工程需多少天? 【解析】 方法一：先把整個(gè)工程分為三個(gè)階段：；且易知甲的工作效率為又乙、丙工作的天數(shù)之比為(+)：=2：1，所以有階段和階段所需的時(shí)間相等即甲、乙合作完成的的工程與甲、乙、丙合作完成的工程所需的時(shí)間相等所以對(duì)于工作效率有：(甲+乙)2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=又有乙、丙的工作效率的比為3：5易知乙的工作效率為丙的工作效率為：那么這種情形下

34、完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為：天.方法二：顯然甲的工作效率為設(shè)乙的工作效率為，那么丙的工作效率為所以有乙工作的天數(shù)為丙工作的天數(shù)為且有即解得所以乙的工作效率為丙的工作效率為高那么這種情形下完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為：天.【例 26】 甲、乙、丙三村準(zhǔn)備合作修筑一條公路，他們?cè)?jì)劃按派工，后因丙村不出工，將他承擔(dān)的任務(wù)由甲、乙兩村分擔(dān)，由丙村出工資360元，結(jié)果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任務(wù)，問(wèn)甲、乙兩村各應(yīng)分得丙村所付工資的多少元？【解析】 丙村出的元錢是不是應(yīng)該按照甲乙兩村派出的人數(shù)比即來(lái)進(jìn)行分配呢？我們仔細(xì)思考一下，發(fā)現(xiàn)丙村所出的錢應(yīng)該是其他兩個(gè)村幫他完成的工作量，換句話說(shuō)，

35、我們應(yīng)該考慮的是甲乙兩村各幫丙村出了多少人，然后再計(jì)算如何分配。甲、乙兩村共派出了人，而這80人，按照原計(jì)劃應(yīng)是甲村派出人，乙村派出32人，丙村派出12人，所以，實(shí)際上甲村幫丙村派出了人，乙村幫丙村派出了人，所以丙村拿出的360元錢，也應(yīng)該按來(lái)分配給甲、乙兩村，所以，甲村應(yīng)分得：元，乙村應(yīng)分得：元【例 27】 (2007年二中考題)某工地用種型號(hào)的卡車運(yùn)送土方已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為，速度比為，運(yùn)送土方的路程之比為，三種車的輛數(shù)之比為工程開(kāi)始時(shí)，乙、丙兩種車全部投入運(yùn)輸，但甲種車只有一半投入，直到天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了天完成任務(wù)那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是

36、多少？【解析】 由于甲、乙、丙三種卡車運(yùn)送土方的路程之比為，速度之比為，所以它們運(yùn)送次所需的時(shí)間之比為，相同時(shí)間內(nèi)它們運(yùn)送的次數(shù)比為：在前天，甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為由于三種卡車載重量之比為，所以三種卡車的總載重量之比為那么三種卡車在前天內(nèi)的工作量之比為：在后天，由于甲車全部投入使用，所以在后天里的工作量之比為所以在這天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之比為：【例 28】 一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水若只開(kāi)甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱已滿；若只開(kāi)乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍則該水箱最多可容納多少噸水？【

37、解析】 由于乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍那么甲管注入18噸水的時(shí)間是乙管注入噸水的時(shí)間，則甲管注入18噸水的時(shí)間與乙管注入27噸水的時(shí)間比是那么在這兩種情況下丙管注水的時(shí)間比為，而且前一種情況比后一種情況多注入噸水，則甲管注入18噸水時(shí)，丙管注入水噸所以該水箱最多可容納水噸【例 29】 一個(gè)水箱有甲、乙、丙三根進(jìn)水管，如果只打開(kāi)甲、丙兩管，甲管注入噸水時(shí)，水箱已滿；如果只打開(kāi)乙、丙兩管，乙管注入噸水時(shí)，水箱才滿已知乙管每分鐘注水量是甲管的倍，則該水箱注滿時(shí)可容納 噸水【解析】 方法一：乙注入40噸水的時(shí)間相當(dāng)于甲注入噸水的時(shí)間，甲注入30噸水，丙可注水量為，那么，乙注40噸水丙可注

38、水量為，所以，解得，（噸）為水箱容量。方法二：如果只打開(kāi)甲、丙兩管，注滿水時(shí)甲管注入了30噸水；如果只打開(kāi)乙、丙兩管，注滿水時(shí)乙管注入了40噸水由于乙管每分鐘注水量是甲管的倍，所以在甲管注入30噸水的時(shí)間內(nèi)，乙管可以注入噸水，而在只打開(kāi)乙、丙兩管的情況下乙管共注入了40噸水，可見(jiàn)打開(kāi)甲、丙兩管注滿水所用的時(shí)間是打開(kāi)乙、丙兩管所用時(shí)間的倍可以假設(shè)打開(kāi)乙、丙兩管的情況下丙管注了噸水，則打開(kāi)甲、丙兩管的情況下丙管注了噸水，所以有，得到，所以水箱注滿時(shí)可容納噸水在得到第一種情況所用時(shí)間是第二種情況所用時(shí)間的倍之后，可以假設(shè)第二種情況此時(shí)乙、丙兩管繼續(xù)注水，總時(shí)間為注滿水所需時(shí)間的倍，也就是與第一種情況

39、所用時(shí)間相同此時(shí)，注入的水量也是水箱容積的倍，即比第一種情況多了倍然而此時(shí)注水時(shí)間相同，所以丙管注入的水量相同，乙管則注入噸水，比甲管多注了噸，所以這15噸就是水箱容積的，那么水箱容積為噸（四）列表法【例 30】 放滿一個(gè)水池，如果同時(shí)打開(kāi)1，2，3號(hào)閥門，則20分鐘可以完成；如果同時(shí)打開(kāi)2，3，4閥門，則21分鐘可以完成；如果同時(shí)打開(kāi)1，3，4號(hào)閥門，則28分鐘可以完成；如果同時(shí)打開(kāi)1，2，4號(hào)閥門，則30分鐘可以完成問(wèn)：如果同時(shí)打開(kāi)1，2，3，4號(hào)閥門，那么多少分鐘可以完成？【解析】 根據(jù)條件，列表如下（畫(huà)表示閥門打開(kāi)，畫(huà)表示閥門關(guān)閉）：1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)工作效率從表中可以看出，每個(gè)閥門都打

40、開(kāi)了三次，所以這4個(gè)閥門的工作效率之和為：，那么同時(shí)打開(kāi)這4個(gè)閥門，需要（分鐘）【例 31】 某工程如果由第一、二、三小隊(duì)合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小隊(duì)合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小隊(duì)合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小隊(duì)合干需要42天才能完成那么這五個(gè)小隊(duì)一起合干需要多少天才能完成這項(xiàng)工程？【解析】 首先將各個(gè)小隊(duì)之間的組合列成表：一隊(duì)二隊(duì)三隊(duì)四隊(duì)五隊(duì)工作效率從表中可以看出，一隊(duì)、三隊(duì)在表中各出現(xiàn)次，二隊(duì)、四隊(duì)、五隊(duì)各出現(xiàn)次，那么，如果將第二、四、五小隊(duì)的組合計(jì)算兩次，那么各種組隊(duì)的工作效率和中5個(gè)小隊(duì)都被計(jì)算了次所以五個(gè)小隊(duì)的工作效率之和為：，五個(gè)小隊(duì)一起

41、合干需要天【例 32】 (2009年十三分入學(xué)測(cè)試題)某市有一項(xiàng)工程舉行公開(kāi)招標(biāo)，有甲、乙、丙三家公司參加競(jìng)標(biāo)三家公司的競(jìng)標(biāo)條件如下：公司名稱單獨(dú)完成工程所需天數(shù)每天工資/萬(wàn)元甲10乙15丙301 如果想盡快完工，應(yīng)該選擇哪兩家公司合作？需要多少天完成？2 如果想盡量降低工資成本，應(yīng)該選擇哪兩家公司合作？完工時(shí)要付工資多少元？【解析】 如果要想盡快完工，應(yīng)該選擇效率較高的兩家公司由于甲、乙、丙三家公司單獨(dú)做時(shí)，每天完成的工作量分別為、，所以應(yīng)該選擇甲、乙這兩家公司合作甲、乙兩公司合作，完成工程需要的時(shí)間為天；如果想盡量降低工資成本，應(yīng)該選擇完成全部工程所需總工資較少的兩家公司由于甲、乙、丙三家

42、公司單獨(dú)完成全部工程所需要的工資成本分別為萬(wàn)元、萬(wàn)元、萬(wàn)元，所以應(yīng)當(dāng)選擇甲、丙這兩家公司合作甲、丙兩公司合作需要天才能完成工程，完工時(shí)要付的工資為：元課后練習(xí)練習(xí)1. 一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要天時(shí)間，甲、乙合作需要天時(shí)間，如果乙單獨(dú)做需要多少時(shí)間？【解析】 將整個(gè)工程的工作量看作“1”個(gè)單位，那么甲每天完成總量的，甲、乙合作每天完成總量的，乙單獨(dú)做每天能完成總量的，所以乙單獨(dú)做天能完成練習(xí)2. 、五個(gè)人干一項(xiàng)工作，若、四人一起干需要6天完成；若、四人一起干需要8天完工；若、兩人一起干需要12天完工那么，若一人單獨(dú)干需要幾天完工？【解析】 從題中可以看出，、四人每天完成總量的，、四人每天完成總量的

43、，、兩人每天完成總量的，可見(jiàn)，一人每天完成總量的，所以一人單獨(dú)干需要天練習(xí)3. 乙兩項(xiàng)工程分別由一、二隊(duì)來(lái)完成在晴天，一隊(duì)完成甲工作要12天，二隊(duì)完成乙工程要15天；在雨天，一隊(duì)的工作效率要下降，二隊(duì)的工作效率要下降結(jié)果兩隊(duì)同時(shí)完成工作，問(wèn)工作時(shí)間內(nèi)下了多少天雨？【解析】 在晴天，一隊(duì)、二隊(duì)的工作效率分別為和，一隊(duì)比二隊(duì)的工作效率高；在雨天，一隊(duì)、二隊(duì)的工作效率分別為和，二隊(duì)的工作效率比一隊(duì)高由知，3個(gè)晴天5個(gè)雨天，兩個(gè)隊(duì)的工作進(jìn)程相同，此時(shí)完成了工程的，所以在施工期間，共有6個(gè)晴天10個(gè)雨天方法二：本題可以用方程的方法，在方程解應(yīng)用題中會(huì)繼續(xù)出現(xiàn)。練習(xí)4. 一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天可以完成那么甲、丁兩人合作多少天可以完成?【解析】 甲、