數(shù)學(xué)建模 電力生產(chǎn)問題[圖表相關(guān)]

1、電力生產(chǎn)問題摘要對(duì)于該電力生產(chǎn)問題，在解決發(fā)電機(jī)的發(fā)電量能滿足每日的電力需求的條件下，為了使每日的總成本達(dá)到最低。我們通過對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)工作合理安排問題的探究和討論，通過數(shù)學(xué)規(guī)劃，建立了非線性的動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。 問題一，首先我們根據(jù)題意運(yùn)用非線性規(guī)劃方法列出目標(biāo)函數(shù)即四種型號(hào)的發(fā)電機(jī)的總的固定成本、總的邊際成本、總的啟動(dòng)成本的和函數(shù)，根據(jù)表一和表二所給的數(shù)據(jù)要求，列出模型約束條件，編出相應(yīng)的程序，對(duì)建立的模型進(jìn)行求解，最終得出每天最低總成本為1465840元 問題二，將第一個(gè)問題中的發(fā)電機(jī)的輸出功率變?yōu)樵瓉淼?0%，分析方法和問題一類似。最終求得發(fā)電機(jī)的工作安排，運(yùn)行成本為1532952元關(guān)鍵詞：固定

2、成本、邊際成本、啟動(dòng)成本、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、最低總成本一、 問題重述為滿足每日電力需求（單位為兆瓦（MW），可以選用四種不同類型的發(fā)電機(jī)。每日電力需求如下表1。 表1：每日用電需求（兆瓦）時(shí)段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求11000330002500036000250003000018000每種發(fā)電機(jī)都有一個(gè)最大發(fā)電能力，當(dāng)接入電網(wǎng)時(shí)，其輸出功率不應(yīng)低于某一最小輸出功率。所有發(fā)電機(jī)都存在一個(gè)啟動(dòng)成本，以及工作于最小功率狀態(tài)時(shí)的固定的每小時(shí)成本，并且如果功率高于最小功率，則超出部分的功率每兆瓦每小時(shí)還存在一個(gè)成本，即邊際成本。這些數(shù)據(jù)均列于表2中。表2：發(fā)電

3、機(jī)情況可用數(shù)量最小輸出功率（MW）最大輸出功率（MW）固定成本（元/小時(shí)）每兆瓦邊際成本（元/小時(shí)）啟動(dòng)成本型號(hào)110800180022002.75000型號(hào)251000150018002.21600型號(hào)381200200038001.82400型號(hào)441800350048003.81200只有在每個(gè)時(shí)段開始時(shí)才允許啟動(dòng)或關(guān)閉發(fā)電機(jī)。與啟動(dòng)發(fā)電機(jī)不同，關(guān)閉發(fā)電機(jī)不需要付出任何代價(jià)。問題（1） 在每個(gè)時(shí)段應(yīng)分別使用哪些發(fā)電機(jī)才能使每天的總成本最小，最小總成本為多少？問題（2） 如果在任何時(shí)刻，正在工作的發(fā)電機(jī)組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升。那么每個(gè)時(shí)段又應(yīng)分別使用哪些發(fā)電機(jī)才

4、能使每天的總成本最小，此時(shí)最小總成本又為多少？二、 模型的假設(shè)（1） 發(fā)動(dòng)機(jī)的實(shí)際功率為最大輸出功率（2） 所有發(fā)動(dòng)機(jī)在運(yùn)行過程無故障出現(xiàn)（3） 啟動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的一瞬間就達(dá)到最大輸出功率三、 符號(hào)的說明符號(hào)說明m不同時(shí)間段序號(hào)Tm發(fā)動(dòng)機(jī)在不同時(shí)段的運(yùn)行時(shí)間Nii型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)量Nmi第m的時(shí)間段i型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)量I發(fā)動(dòng)機(jī)的型號(hào)Pmaxii型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的最大輸出功率Pminii型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的最小輸出功率W發(fā)電機(jī)工作時(shí)的總運(yùn)行成本W(wǎng)1所用發(fā)電機(jī)的固定成本W(wǎng)2所用發(fā)電機(jī)的邊際成本W(wǎng)3所用發(fā)電機(jī)的啟動(dòng)成本Pm每個(gè)時(shí)段所需要的總功率Pmi同種型號(hào)的所有發(fā)電機(jī)在m時(shí)間段的功率總和Gi一臺(tái)i型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)的固定成本B

5、i一臺(tái)i型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)的邊際成本Qi一臺(tái)i型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)的啟動(dòng)成本Qmi第m個(gè)時(shí)間段i型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的啟動(dòng)成本四、 問題分析此題解決的是在不同時(shí)間段應(yīng)如何選擇不同發(fā)電機(jī)的型號(hào)使總成本最低的優(yōu)化模型問題。要使所選擇的發(fā)電機(jī)的總成本最低應(yīng)該需要建立合理的模型?？偝杀臼怯筛鱾€(gè)時(shí)間段的總的固定成本、總的邊際成本和總的啟動(dòng)成本構(gòu)成，即W=W1+W2+W3。總的固定成本W(wǎng)1由每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的固定成本和發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間及發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)量的乘積求出?？偟倪呺H成本W(wǎng)2是通過先求出當(dāng)前型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率與其相同型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)最小功率的差，再將差值與一臺(tái)該型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)的邊際成本及其工作時(shí)間相乘，得到的乘積即為總的邊際成本?？偟膯?dòng)成本W(wǎng)3

6、，在不同時(shí)間段中，上一階段的電機(jī)運(yùn)行情況將影響下一階段的啟動(dòng)成本，這樣就會(huì)進(jìn)接影響總成本，因此在考慮電機(jī)的運(yùn)行費(fèi)用時(shí)應(yīng)該把下一階段電機(jī)的運(yùn)行狀況和上一階段的運(yùn)行狀況聯(lián)系起來，最后得到總的啟動(dòng)成本。在解決此問題的同時(shí)，除了考慮滿足每天的用電需求外，還應(yīng)該使每天電機(jī)的運(yùn)行費(fèi)用盡可能的小。對(duì)于問題二要在任何時(shí)候，使正在工作的發(fā)電機(jī)必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升，我們只需要在第一問的基礎(chǔ)上，把各時(shí)段電機(jī)最大輸出功率總和的80%作為各時(shí)段電機(jī)輸出功率總和的最大值。再根據(jù)第一問的模型思想，通過非線性規(guī)劃，得到最低總成本。五、 數(shù)據(jù)分析根據(jù)題目的表1，將一天分為時(shí)間分為七個(gè)時(shí)間段，列出相關(guān)

7、的數(shù)據(jù)運(yùn)行時(shí)間及需求功率表（表一）,功率（MW），時(shí)間（小時(shí)）時(shí)間段m1234567運(yùn)行時(shí)間Tm6332442需求功率Pm11000330002500036000250003000018000根據(jù)題目中的表2，將數(shù)據(jù)中發(fā)電機(jī)的情況表列出（表二），功率（MW），固定成本、邊際成本（元/小時(shí)），啟動(dòng)成本（元）。型號(hào)i1234臺(tái)數(shù)Ni10584最大功率Pmaxi1800150020003500最小功率Pmini800100012001800固定成本Gi2200180038004800邊際成本Bi2.72.21.23.8啟動(dòng)成本Qi5000160024001200六、 模型的建立與求解問題一由表中數(shù)據(jù)

8、可得，總的固定成本W(wǎng)1由每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的固定成本和發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間及發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)量的乘積求出W1=m=17i=14Ni Gi Tm而總的邊際成本W(wǎng)2是通過先求出當(dāng)前型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率與其相同型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)最小功率的差，再將差值與一臺(tái)該型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)的邊際成本及其工作時(shí)間相乘，得到的乘積即為總的邊際成本W(wǎng)2=i=14t=17(Pti-Ni Pmini)Bi Tm再者，求總的啟動(dòng)成本W(wǎng)3，由于上一階段的電機(jī)運(yùn)行情況將影響下一階段的啟動(dòng)成本，其值與上階段啟動(dòng)的發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)量及下階段新啟動(dòng)的發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)量有關(guān)，再根據(jù)不同型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)成本就得出總的啟動(dòng)成本W(wǎng)3=i=14(N1i-N7i)Q1i+m=27i=14Nmi-N(

9、m-1)iQmi約束條件如下PtiPm0N1100N250N380N44最后由總的固定成本W(wǎng)1，總的固定成本W(wǎng)2，總的啟動(dòng)成本W(wǎng)3，得到最小總成本W(wǎng)=W1+W2+W3具體結(jié)果如下表（表三）型號(hào) 時(shí)段 臺(tái)數(shù)型號(hào)一型號(hào)二型號(hào)三型號(hào)四各時(shí)段的總成本實(shí)際輸出功率臺(tái)數(shù)實(shí)際輸出功率臺(tái)數(shù)實(shí)際輸出功率臺(tái)數(shù)實(shí)際輸出功率臺(tái)數(shù)0 - 6360027500500001458006 - 93600275005160008700022878209 - 1236002750051400070018294012 - 1480005750051600083500120296014 - 188000560004100005002

10、4920018 - 2280005750051000053500130864022 - 248000575005200010088480合計(jì)46800026510003468000341400041465840問題二 由于問題二與問題一的的模型思路類似，由表中數(shù)據(jù)可得，總的固定成本W(wǎng)1由每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的固定成本和發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間及發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)量的乘積求出W1=m=17i=14Ni Gi Tm而總的邊際成本W(wǎng)2是通過先求出當(dāng)前型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)的功率與其相同型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)最小功率的差，再將差值與一臺(tái)該型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)的邊際成本及其工作時(shí)間相乘，得到的乘積即為總的邊際成本W(wǎng)2=i=14t=17(80%Pti-Ni Pmi

11、ni)Bi Tm再者，求總的啟動(dòng)成本W(wǎng)3，由于上一階段的電機(jī)運(yùn)行情況將影響下一階段的啟動(dòng)成本，其值與上階段啟動(dòng)的發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)量及下階段新啟動(dòng)的發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)量有關(guān)，再根據(jù)不同型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)成本就得出總的啟動(dòng)成本W(wǎng)3=i=14(N1i-N7i)Q1i+m=27i=14Nmi-N(m-1)iQmi約束條件如下PtiPm0N1100N250N380N44最后由總的固定成本W(wǎng)1，總的固定成本W(wǎng)2，總的啟動(dòng)成本W(wǎng)3，得到最小總成本W(wǎng)=W1+W2+W具體結(jié)果如下表（表四）型號(hào) 時(shí)段 臺(tái)數(shù)型號(hào)一型號(hào)二型號(hào)三型號(hào)四各時(shí)段的總成本實(shí)際輸出功率臺(tái)數(shù)實(shí)際輸出功率臺(tái)數(shù)實(shí)際輸出功率臺(tái)數(shù)實(shí)際輸出功率臺(tái)數(shù)0 - 657604600

12、0500001614716 - 9144001060005128008003091209 - 12144001060005480030019212012 - 141440010600054800311200420768014 - 18144001060005480030025616018 - 22144001060005960060031760022 - 247200560005480030088800合計(jì)8496059420003541600261120041532952七、 模型誤差分析1. 模型過于理想化，在實(shí)際操作中發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率不可能達(dá)到最大輸出功率2. 通過lingo軟件的計(jì)算得

13、到了較為準(zhǔn)確的數(shù)值，使結(jié)果更為精確3. 發(fā)動(dòng)機(jī)在實(shí)際工作中功率是緩慢增加，不可能一瞬間達(dá)到，所以實(shí)際中的結(jié)果與理想化的模型也會(huì)有一定的偏差八、 模型評(píng)價(jià)1 該模型在求最低成本的問題上思路明確，從固定成本、邊際成本、啟動(dòng)成本三個(gè)因素開始計(jì)算，通過其總和求出最低成本，步驟及思路清晰。2 將一天作為一個(gè)整體進(jìn)行求解，考慮到了各個(gè)時(shí)段間的關(guān)聯(lián)，考慮到前段時(shí)間的啟動(dòng)成本與后一階段的啟動(dòng)成本可能存在的發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)重復(fù)性，通過合理的分析，排除前階段啟動(dòng)后階段仍然啟動(dòng)的發(fā)動(dòng)機(jī)的啟動(dòng)成本，使結(jié)果更為精確。3 本模型忽略了一些實(shí)際問題中的問題，是較為理想化的模型，存在誤差。九、 模型的推廣和改進(jìn)在實(shí)際操作中，需要計(jì)

14、算發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)，從最小功率上升到最大功率的時(shí)間和在這期間的輸出功率。發(fā)動(dòng)機(jī)在工作中會(huì)產(chǎn)生熱量，這就代表發(fā)動(dòng)機(jī)不可能一直以最大功率進(jìn)行輸出。這需要考慮到發(fā)動(dòng)機(jī)隨工作時(shí)間增長(zhǎng)其實(shí)際輸出功率的變化，從而進(jìn)行。十、 參考文獻(xiàn)1司守奎 數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用習(xí)題解答 北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2013.12焦云芳 數(shù)學(xué)建模入門 北京：冶金工業(yè)出版社，2012.43姜啟源 謝金星 葉俊 數(shù)學(xué)模型(3版) 北京：高等教育出版社.2十一、附錄問題一NMI( 1, 1) 2.000000/所用（時(shí)間段，型號(hào)）臺(tái)數(shù) NMI( 1, 2) 5.000000 NMI( 1, 3) 0.000000 NMI( 1, 4) 0.

15、000000 NMI( 2, 1) 2.000000 NMI( 2, 2) 5.000000 NMI( 2, 3) 8.000000 NMI( 2, 4) 2.000000 NMI( 3, 1) 2.000000 NMI( 3, 2) 5.000000 NMI( 3, 3) 7.000000 NMI( 3, 4) 0.000000 NMI( 4, 1) 5.000000 NMI( 4, 2) 5.000000 NMI( 4, 3) 8.000000 NMI( 4, 4) 1.000000 NMI( 5, 1) 5.000000 NMI( 5, 2) 4.000000 NMI( 5, 3) 5.

16、000000 NMI( 5, 4) 0.000000 NMI( 6, 1) 5.000000 NMI( 6, 2) 5.000000 NMI( 6, 3) 5.000000 NMI( 6, 4) 1.000000 NMI( 7, 1) 5.000000 NMI( 7, 2) 5.000000 NMI( 7, 3) 1.000000 NMI( 7, 4) 0.000000W( 1, 1) 58800.00/總成本（時(shí)間段，型號(hào)） W( 1, 2) 87000.00 W( 1, 3) 0.000000 W( 1, 4) 0.000000 W( 2, 1) 29400.00 W( 2, 2) 435

17、00.00 W( 2, 3) 144960.0 W( 2, 4) 69960.00 W( 3, 1) 29400.00 W( 3, 2) 43500.00 W( 3, 3) 110040.0 W( 3, 4) 0.000000 W( 4, 1) 64000.00 W( 4, 2) 29000.00 W( 4, 3) 86240.00 W( 4, 4) 23720.00 W( 5, 1) 98000.00 W( 5, 2) 46400.00 W( 5, 3) 104800.0 W( 5, 4) 0.000000 W( 6, 1) 98000.00 W( 6, 2) 59600.00 W( 6,

18、3) 104800.0 W( 6, 4) 46240.00 W( 7, 1) 49000.00 W( 7, 2) 29000.00 W( 7, 3) 10480.00 W( 7, 4) 0.000000問題二NMI( 1, 1) 4.000000 18568.00 NMI( 1, 2) 5.000000 11839.98 NMI( 1, 3) 0.000000 24720.00 NMI( 1, 4) 0.000000 0.000000 NMI( 2, 1) 10.00000 11784.00 NMI( 2, 2) 5.000000 6720.000 NMI( 2, 3) 8.000000 15

19、960.00 NMI( 2, 4) 0.000000 0.000000 NMI( 3, 1) 10.00000 11784.00 NMI( 3, 2) 5.000000 6720.000 NMI( 3, 3) 3.000000 11160.00 NMI( 3, 4) 0.000000 25800.00 NMI( 4, 1) 10.00000 7856.000 NMI( 4, 2) 5.000000 4480.000 NMI( 4, 3) 3.000000 9040.000 NMI( 4, 4) 4.000000 18400.00 NMI( 5, 1) 10.00000 15712.00 NMI

20、( 5, 2) 5.000000 8959.981 NMI( 5, 3) 3.000000 18080.00 NMI( 5, 4) 0.000000 33199.99 NMI( 6, 1) 10.00000 2280.000 NMI( 6, 2) 5.000000 0.000000 NMI( 6, 3) 6.000000 0.000000 NMI( 6, 4) 0.000000 -239.9721 NMI( 7, 1) 5.000000 -280.0000 NMI( 7, 2) 5.000000 0.000000 NMI( 7, 3) 3.000000 0.000000 NMI( 7, 4) 0.000000 0.000000W( 1, 1) 94272.00 0.000000 W( 1, 2) 67200.00 0.000000 W( 1, 3) 0.000000 0.000000 W( 1,