法向量求法及應用方法

1、平面法向量的求法及其應用 一、 平面的法向量 1、定義 ：如果 a，那么向量 a 叫做平面 的法向量。平面 的法向量共有兩大類 (從方向上分) ，無數(shù)條。 2、平面法向量的求法 方法一(內積法): 在給定的空間直角坐標系中，設平面 的法向量n (x,y,1)或 n (x,1,z) ，或 n (1,y,z) ，在平面 內任找兩個不共線的向量 a,b。由 n ，得 n a 0且 n b 0 ，由此得到關于 x, y的方程組，解此方程組即可得到 n。 方法二：任何一個 x, y, z的一次次方程的圖形是平面；反之，任何一個平面的方程是x, y,z 的一次方程。 Ax By Cz D 0 (A,B,C

2、不同時為 0) ，稱為平面的一般方程。其法向 量 n (A, B,C) ;若平面與 3個坐標軸的交點為 P1 (a,0,0), P2 (0, b,0), P3 (0,0,c) ,如圖所示 ,則 xyz 平面方程為 :1,稱此方程為平面的截距式方程， 把它化為一般式即可求出它的法 abc 向量。 方法三 ( 外積法 ): 設 , 為空間中兩個不平行的非零向量，其外積 a b 為一長 度等于 |a|b |sin ，( 為 , 兩者交角，且 0 )，而與 , 皆垂直 的向量。通常我們采取右手定則，也就是右手四指由 的方向轉為 的方 向時， 大拇 指所 指的 方向 規(guī)定為 a b 的方 向 設a (x

3、1,y1,z1),b (x2,y2,z2),則 : a b x1 z1 x1 y1 x2 z2 x2 y2 (注： 例1、 試求( ab 1、二階行列式 : Mad cb ； 2、 cd 已知， a (2,1,0),b ( 1,2,1) ， 1)： a b; (2)： b a. z1 z2 Key: (1) a b (1, 2,5) ;(2)b a ( 1,2,5) 例 2、如圖 1-1,在棱長為 2 的正方體 ABCD A1B1C1D1中， 所成的角為： 圖 2-1-1: 2 n,AB n AB arccos 2 2 |n| | AB| 圖 2-1-2: n AB n,AB arccos 2

4、 |n| | AB| sin |cos n, AB | （2） 、求面面角 :設向量 m， n分別是平面 的法向量，則二面角 l 的平面角為： 圖 2-3 mn m,n arccos（圖 2-2）; |m| |n| mn m,n arccos（圖 2-3） |m| |n| 兩個平面的法向量方向選取合適 , 可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖 2-2 中， m的方向對平面 而言向外， n的方向對平面 而言向內；在圖 2-3 中， m的方向對 平面 而言向內， n 的方向對平面 而言向內。我們只要用兩個向量的向量積（簡稱“外 積”，滿足“右手定則” ）使得兩個半平面的法向量一個向內一個

5、向外，則這兩個半平面的法 向量的夾角即為二面角 l 的平面角。 2、 求空間距離 （ 1）、異面直線之間距離 方法指導 ：如圖 2-4, 作直線 a、 b的方向向量 a、 b， 求 a、 b 的法向量 n ，即此異面直線 a、 b 的公垂線的方向向量； 在直線 a、b 上各取一點 A、B，作向量 AB ； 求向量 AB在 n上的射影 d，則異面直線 a、b 間的距離為 |AB n| d , 其中 n a,n b,A a,B b |n| （ 2）、點到平面的距離 : 方法指導 ：如圖 2-5,若點 B 為平面 外一點，點 A 為平面 內任一點，平面的法向量為 n ，則點 P 到 B a 圖 2-

6、6 圖 2-7 n 平面 的距離公式為 d | AB n| |n| （ 3）、直線與平面間的距離 : 方法指導 ：如圖 2-6,直線 a 與平面 之間的距離： AB n d ，其中 A ,B a 。 n 是平面 的法向量 |n| （ 4）、平面與平面間的距離 : 方法指導 ：如圖 2-7,兩平行平面 , 之間的距離： 圖 2-8 圖 2-10 d |AB n|，其中 A,B。 n是平面 、 的法向量。 |n| 3、證明 （ 1）、證明線面垂直：在圖 2-8中, m向是平面 的法向量， a 是直線 a 的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線（ m a ）。 （2）、證明線面平行：在圖 2

7、-9中,m向是平面 的法向量， a 是直線 a 的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直（ m a 0 ）。 3）、證明面面垂直：在圖 2-10 中， m 是平面 的法向量， n 是平面 平面的法向量垂直（ m n 0 ） （ 4）、證明面面平行： 在圖 2-11 中, m向是平面 的法向量， 面 的法向量， 證明兩平面的法向量共線 （ m n ）。 的法向量，證明兩 三、高考真題新解 1、（2005 全國 I，18）（本大題滿分 12 分） 已知如圖 3-1,四棱錐 P-ABCD 的底面為直角梯形， AB DC， 1 DAB 90 ,PA 底面 ABCD ，且 PA=AD=DC= AB

8、=1 ， 2 M 是 PB 的中點 （）證明：面 PAD面 PCD ； （）求 AC 與 PB 所成的角； （）求面 AMC 與面 BMC 所成二面角的大小 圖 3-1 C 解:以A 點為原點 ,以分別以 AD，AB，AP為 x軸， y軸， z軸，建立空間直角坐標系 A-xyz 如圖所示 (I). AP (0,0,1)，AD (1,0,0) ，設平面 PAD 的法向量為 m AP AD (0, 1,0) 又 DC (0,1,0) ， DP ( 1,0,1) ，設平面 PCD 的法向量為 n DC DP (1,0,1) m n 0， m n ，即平面 PAD 平面 PCD。 (II ). AC

9、(1,1,0) ， PB AC PB (0,2, 1) ， AC,PB arccos | AC| |PB| 10 arccos 5 1 (III ). CM ( 1,0, 2) ， 11 m CM CA ( , ,1). 22 CA （ 1, 1,0） ，設平在 AMC 的法向量為 11 又 CB ( 1,1,0) ,設平面 PCD 的法向量為 n CM CB ( 2, 2, 1). mn m,n arccos |m| |n| arccos( ) . 面 AMC 與面 BMC 所成二面角的大小為 arccos( 2) .或 arccos2 圖 D-xyz 如圖所示 . 2、(2006 年云南省

10、第一次統(tǒng)測 19 題) ( 本題滿分 12分) 如圖 3-2 ，在長方體 ABCD A1B1C1D1中， 已知 ABAA1 a， BC 2a，M是 AD的中點。 ( ) 求證： AD平面 A1BC； ( ) 求證：平面 A1MC平面 A1BD1； ( ) 求點 A 到平面 A1MC的距離。 解:以D點為原點 ,分別以 DA,DC,DD1為x軸,y 軸,z 軸,建立空間直角坐標系 (I). BC ( 2a,0,0) , BA1 (0, a,a) , 設 平 面 A1BC 的 法 向 量 為 n BC BA1 (0, 2a , 2a ) 又 AD ( 2a,0,0) , n AD 0, AD n,

11、即 AD/ 平面 A1BC. 22 (II ). MC ( a,0, a) , MA1 ( a,a,0) , 設 平 面 A1MC 的 法 向 量 為 22 2 m MC MA1 (a2 22 a 22 2 a2) 又 BD1 ( 2a, a,a) , BA1 (0, a,a) , 設 平 面 A1BD1 的 法 向 量 為 n BD1 BA1 (0, 2a2, 2a2) , m n 0, m n ,即平面 A1MC 平面 A1BD1. (III ). 設點 A到平面 A1MC的距離為 d, 2 2 2 2 2 m MC MA1 (a2,a2,a2 )是平面 A1MC 的法向量 , 22 又 MA ( 2 a,0,0), A點到平面 A1MC的距離為 : d |m MA| 2 2 |m| 1 a. 2 四、 用空間向量解決立體幾何的“三步曲 （1）、建立空間直角坐標系 （利用現(xiàn)