《圓》章節(jié)知識點總結(jié)

1、For pers onal use only in study andresearch; not for commercial use圓章節(jié)知識點一、圓的概念1. 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。其中，定點稱為圓心，定長稱為半徑，以點o為圓心的圓記作“L o”讀作“圓o”2. 確定圓的基本條件：（1 ）、圓心：定位置，具有唯一性，（2 ）、半徑：定大小。3. 半徑相等的兩個圓叫做等圓，兩個等圓能夠完全重合。4連接圓上任意兩點的線段叫做 弦，經(jīng)過圓心的弦叫做 直徑，圓上任意兩點間的部分叫 做圓弧，簡稱弧，弧用符號“”表示，圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成為兩條 等弧，每一條弧

2、都叫做半圓，大于半圓的弧稱為 優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為 劣弧。在同圓或等圓 中， 能過重合的兩條弧叫做 等弧。理解：弧在圓上，弦在圓及圓上：弧為曲線形，弦為直線形。5.不在同一直線上的三個點確定一個圓且唯個。6三角形的三個頂點確定一個圓， 經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的 外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。與三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)切圓是三角形內(nèi)面積最大的圓，圓心是三個角的角平分線的交點，他到三條邊的距離相等：內(nèi)心到三頂點的連線平分這三個角。

3、（補充）圓的集合概念 1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合;2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合 軌跡形式的概念：1、圓：至U定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫 中垂線）；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定 長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離 都相等的一條直線。、點

4、與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系是由這個點到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系決定的。1、點在圓內(nèi)d : r點C在圓內(nèi);2、點在圓上d = r點B在圓上;3、點在圓外d r點A在圓外;解題注意點和圓的位置不確定性。圓的對稱性圓是軸對稱圖形，他有無數(shù)條對稱軸,每一條過圓心的直線都是他的對稱軸。圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形，圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能夠與原來的圖形重合，這種性 質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性。圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。、直線與圓的位置關(guān)系：相交，相切，相離如果圓0的半徑為r，圓心0到直線I的距離為d，那么:1、直線與圓相離= d r = 無交點；2、直線與圓相切= d = r

5、= 有一個交點;四、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d,那么:外離（圖1）無交點外切（圖2）有一個交點相交（圖3）有兩個交點R - r : d內(nèi)切（圖4）有一個交點d ： R - r內(nèi)含（圖5）無交點R五、垂徑定理（非常重要）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1:（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。唬?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共 5個結(jié)論中，只要知道其中 2個即 可推出其它3個結(jié)論，即：AB是直徑

6、AB _ CD CE = DE弧BC二弧BD弧AC二弧ADD中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在O O 中， AB /CD/MAC 二弧 BD解題技巧：在圓中，解有關(guān)弦的問題時，常常需要做“垂直于弦的直徑”作為輔助線。六、圓心角定理 頂點在圓心的角叫做 圓心角。圓心角的度數(shù)與他所對的弧的度數(shù)相等。圓心角定理：在 同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的 3個結(jié)論，即： AOB DOE : AB =DE ；OC =OF :弧BA二弧BD七、圓周角定理C

7、A1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角（或弧的 度數(shù)）的一半。即：. AOB和.ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角. AOB =2 ACB2、圓周角定理的推論:推論1 :同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等?。患矗涸贠 O中，二C、. D都是所對的圓周角推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在O O中，：AB是直徑或 C =90 C =90/.AB是直徑推論3 :若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，：OC =OA =OB ABC是直角三角形或 C = 90

8、注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半 的逆定理。注：忽略一條弦所對的弧有兩條，所對的圓周角邊有兩種不同的角。八、圓內(nèi)接四邊形一般的，如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，那么這個多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形,這個圓叫做多邊形的外接圓。E圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補。 推論：圓內(nèi)接四邊形任何一個外角都等于他的內(nèi)對角。 即：在O O中，四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形 C BAD =180 B . D =180.DAE =/C九、切線的性質(zhì)與判定定理 直線和圓有唯一公共點(即直線和圓相切)時，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點 叫做切點。(1

9、 )切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線;兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MN _OA且MN過半徑OA外端(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑(如上圖)推論1 ：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2 :過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。通常敘述為：見切點連半徑得連接圓心與切點間的線段是解圓的切線問題時常用的輔助線,垂直”解決與圓的切線有關(guān)的問題時，常需要補充的線是作過切點的半徑九、切線長定理圓的切線長。在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點到切點之間的

10、線段的長叫做這點到A切線長 定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切 相等，圓心和圓外這一點的連線平分兩條切線的夾角。即： PA、PB是的兩條切線PA =PBPO平分 BPA十一、圓幕定理(1 )相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在O O中，弦AB、CD相交于點P ,PA 卩B =PC PD(2 )推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成 的兩條線段的比例中項。即：在O O中，直徑AB _CD ,COpCE2 二 AE BE(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在O O中， PA是切線，PB是

11、割線2 PA =PC 卩B(4) 割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長 的積相等(如上圖)。即：在O O中，I PB、PE是割線PC PB =PD PE十二、兩圓公共弦定理兩圓相切時，連心線必過切點，這一性質(zhì)是由圓的對稱性決定, 圖形，對稱軸是經(jīng)過兩圓圓心的直線。圓公共弦定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。即：.O01、O O2相交于A、B兩點QO2垂直平分 AB兩個圓組成的圖形是軸對稱注：兩圓相交時，依照兩圓圓心和公共弦的位置，可分為兩種情況:兩圓圓心在公共弦同側(cè)，兩圓圓心在公共弦異側(cè)。十三、圓的公切線兩圓公切線長的計

12、算公式：(1)公切線長： Rt O1O2C 中，AB2 二 CQ2 二.OQ22 -CO22 ;A(2)外公切線長：CO2是半徑之差;內(nèi)公切線長：CO2是半徑之和十四、圓內(nèi)正多邊形的計算各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。把一個圓分成相等的弧， 依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫 做正多邊形的外接圓。經(jīng)過各分點做圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切多邊形，這個圓叫做多邊形的內(nèi)切圓。正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心。正多邊形外接圓的半徑叫做正 多邊形的半徑。正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，正多邊形內(nèi)切圓半

13、徑叫做正多邊形的 邊心距。正n邊形的半徑R與邊心距r把正n邊形分成2n個全等的直角三角形。360180關(guān)系式：中心角 ：n二；邊長an=2Rsin;nn邊心距 rn = Rcos18; R2 = r2(-an)2;周長 Cn = nan;n2面積 Sn=；anrn = C. 2 2(1) 正三角形在O O中厶ABC是正三角形，有關(guān)計算在 RtBOD中進(jìn)行：OD : BD: OB = 1: . 3:2 ;(2) 正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在Rt，O A曲進(jìn)行，O E: AE: O A 1 : 1 :2(3) 正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在RC OA中進(jìn)行，AB:OB:OA =1: 73:2

14、 .Qz卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式nn r1、扇形：(1)弧長公式：l1802n兀R(2 )扇形面積公式： S -3601lR2n:圓心角 R:扇形多對應(yīng)的圓的半徑l :扇形弧長 S :扇形面積2、圓柱:(1 )圓柱側(cè)面展開圖5表 = S 2S = 2 二 rh 2 二2(2)圓柱的體積：V -：r h底面圓周長母線長C1(2 )圓錐側(cè)面展開圖2(1) S表 = % S底=Rr r1 2(2) 圓錐的體積：V r h補充:圓中四心：外心：各邊垂直平分線的交點內(nèi)心：各角角平分線的交點垂心：各邊高線的交點重心：各邊中線的交點僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal

15、 use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to員bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 員 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 貝 ex.以下無正文僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Fors