西北工業(yè)大學(xué)矩陣論課件PPT第三章例題矩陣分析

1、例例 2 . 03 . 01 . 0 4 . 05 . 05 . 0 2 . 01 . 02 . 0 a 解解，19 . 0 1 a 所以所以a是收斂矩陣。是收斂矩陣。 ( (或或) 1943. 089. 0 f a ( (可求得可求得 ，5 . 2 1 m a，5 . 15 . 03 m a)4 . 1 a 是否為收斂矩陣？是否為收斂矩陣？為什么？為什么？ 因?yàn)橐驗(yàn)?矩陣矩陣 第三章第三章 矩陣分析矩陣分析 1 矩陣序列的極限矩陣序列的極限 解解 ) 6 3 )( 6 5 ( 36 15 3 1 )det( 2 6 1 3 1 3 4 6 1 ai 得得a的特征值為的特征值為， 6 5 1

2、2 1 2 從而從而，1 6 5 )(a故故a是收斂矩陣。是收斂矩陣。 由由 例例是否為收斂矩陣？是否為收斂矩陣？為什么？為什么？矩陣矩陣 6 1 3 1 3 4 6 1 a 例例 0 12 81 6 k k k k 解解， 12 81 a取冪級(jí)數(shù)取冪級(jí)數(shù) 。 06k k k x k 判斷矩陣冪級(jí)數(shù)判斷矩陣冪級(jí)數(shù) 的斂散性。的斂散性。 法法1. 1. 令令 因?yàn)橐驗(yàn)?2 矩陣級(jí)數(shù)矩陣級(jí)數(shù) k k ka a 1 lim k k k k k 6 6 1 lim 1 6 11 6 1 lim k k k 所以收斂半徑為所以收斂半徑為。6 1 r 可求得可求得a的特征值為的特征值為 3, 5 21 即

3、即，65)(a故矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。故矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 ， 0k k kx。 12 81 6 1 a 可求得可求得，1ra的特征值為的特征值為 2 1 , 6 5 21 于是于是，1 6 5 )(a故矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。故矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 法法2. 2. 取冪級(jí)數(shù)取冪級(jí)數(shù)則則 例例 2 . 03 . 01 . 0 4 . 05 . 05 . 0 2 . 01 . 02 . 0 a 判斷判斷 0k k a 解解，19 . 0 1 a所以所以 0k k a收斂，收斂， 1 0 )( aia k k 1 8 . 03 . 01 . 0 4 . 05 . 05 . 0 2 . 01 . 08

4、. 0 352520 426244 141428 14 1 已知已知 的斂散性。的斂散性。 若收斂，求其和。若收斂，求其和。 因?yàn)橐驗(yàn)榍仪?例例， 6 1 3 1 3 4 6 1 a則則 0k k a 收斂的原因是收斂的原因是 ，1 6 5 )(a 且其和為且其和為 3 10 3 4 3 16 3 10 已知已知 可求得可求得a的特征值為的特征值為 ， 6 5 1 2 1 2 分析分析 從而從而。 3 10 3 4 3 16 3 10 1 0 )(aia k k 1 6 5 )(a， 。 例例 ， 01 10 a 試求試求 。，t t aa aa cossinee 解解1 1 1 )det(

5、2 ai 所以所以，oia 2 即即 。ia 2 從而從而 已知已知 因?yàn)橐驗(yàn)?3 矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) ，aa 3 ，ia 4 ，aa 5 ，ia 6 ，aa 7 ，ia 8 可知可知 ，ia kk ) 1( 2 aa kk ) 1( 12 ), 2 , 1(k 故故 6 ! 6 1 5 ! 5 1 4 ! 4 1 3 ! 3 1 2 ! 2 1 ! 1 1 eaaaaaai a iaiaiaiai ! 8 1 !7 1 ! 6 1 ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 ai)1 ()1 ( !7 1 ! 5 1 ! 3 1 ! 8 1 ! 6 1 ! 4 1 ! 2 1

6、ai) 1(sin) 1(cos 1cos1sin 1sin1cos 44 ! 4 1 33 ! 3 1 22 ! 2 1 ! 1 1 etttt t aaaai a ai)()1 ( ! 5! 3! 6! 4! 2 53642 ttttt t ai)(sin)(costt tt tt cossin sincos 9 ! 9 1 7 !7 1 5 ! 5 1 3 ! 3 1 sinaaaaaa aaaa !7 1 ! 5 1 ! 3 1 )1 ()1 ( ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 2 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 2 1 a 2 ee 1 a1sha 01sh 1sh0 6

7、6 ! 6 1 44 ! 4 1 22 ! 2 1 costtttaaaia )1 ( 4 ! 4 1 2 ! 2 1 tti 2 ee tt itchi t t ch0 0ch 例例 nn ca滿足滿足，aa 2 試求試求 ，a aa sinee t 。tacos 解解aa k ，), 3 , 2(k 所以所以 6 ! 6 1 5 ! 5 1 4 ! 4 1 3 ! 3 1 2 ! 2 1 ! 1 1 eaaaaaai a )( ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 ai 1)1( ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 aiai) 1(e 設(shè)設(shè) 由于由于 44 ! 4 1 33 ! 3 1 22

8、 ! 2 1 ! 1 1 etttt t aaaai a ai)( ! 3! 2! 1 32 ttt ai) 1(e t 9 ! 9 1 7 !7 1 5 ! 5 1 3 ! 3 1 sinaaaaaa aaaa !7 1 ! 5 1 ! 3 1 1sina 66 ! 6 1 44 ! 4 1 22 ! 2 1 costtttaaaia )( 4 ! 4 1 2 ! 2 1 ttai ai) 1(cos t 例例，)4, 0, 2, 1diag( 求求 ，t t sinee 。 cos 解解 )e, 1,ediag(e,e 42 )e, 1,e,diag(ee 42tttt )4sin, 0,

9、2sin,diag(sinsintttt )4cos, 1, 2cos, 1diag(coscos 已知已知 例例， 211 121 112 a試求試求。，t t a aa sinee 解解)3)(2)(1()det(ai a的特征值為的特征值為3, 2, 1 321 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 ， t 1 ) 1, 0, 1(p， t 2 ) 1, 1, 1(p t 3 )0, 1, 1(p 故相似變換陣故相似變換陣 011 110 111 p 已知已知 可求得可求得 使得使得 3 2 1 1ap p 從而從而 a e 1 3 2 e e e pp 222 32232 3223

10、2 eeeee eeeee eeeeeee ta e 1 3 2 e e e pp t t t ttttt ttttt ttttttt 222 32232 32232 eeeee eeeee eeeeeee tasin 1 3sin 2sin sin pp t t t ttttt ttttt ttttttt 2sin2sinsin2sinsin 3sin2sin2sin3sin2sin 3sin2sin2sinsin3sin2sinsin 例例， 2000 1200 0120 0012 a試求試求。，aa aa cossineet t 解解 a e ， 2 22 2 2 1 22 2 6 1

11、2 2 1 22 e ee eee eeee ta e t tt t t tt t t t t tt t t t 2 22 2 2 22 2 6 2 2 22 e ee eee eeee 2 32 已知已知 tasin t ttt tttt ttttt t tt 2sin 2cos2sin 2sin2cos2sin 2cos2sin2cos2sin 2 62 2 32 acos 2cos 2sin2cos 2cos2sin2cos 2sin2cos2sin2cos 2 1 6 1 2 1 例例， 1 11 2 0 10 10 a 求求 。，tt t aa aa cossinee 已知已知 解解

12、 a e ta e ， 1 11 2 2 1 e ee e 1 11 11 t tt t t t t t e ee e 1 1 1 2 2 2 tasin t ttt t t t sin cossin 2sin 0 0 00 tacos t ttt t t cos sincos 2cos 1 01 01 2 2 例例， 411 011 013 a求求 。，a a sine t 解解 ， 10 001 011 2 1 p 使使 400 020 012 1 japp 故故 1 ee pp jatt 1 011 010 e00 0e0 0ee 2 1 2 1 4 2 22 t t tt t p 已知

13、已知 可求得可求得 1 )(sinsin pjpa 4sin4sin2sin4sin2sin 02cos2sin2cos 02cos2cos2sin 2 1 2 1 2 1 2 1 ttttt ttt ttt tt tt 44 2 1 2 2 1 4 2 1 2 2 1 222 22 eeeee 0eee 0eee 1 4sin00 02sin0 02cos2sin pp 例例， 411 301 621 a求求 。，a a sine t 解解 ， 010 011 121 p 使使 1 11 1 1 japp 故故 1 ee pp jatt1 e ee e pp t tt t t 已知已知 可求

14、得相似變換陣可求得相似變換陣 ttt ttt ttt ttt ttt ttt e)31 (ee e3e)1 (e e6e2e)21 ( 1 )(sinsin pjpa 1cos31sin1cos1cos 1cos31cos1sin1cos 1cos61cos21cos21sin 1 1sin 1cos1sin 1sin pp 例例， 311 111 002 a試計(jì)算試計(jì)算。，aa aa cossineet t 解解 3 )2()det(ai a的特征值為的特征值為2 321 ( (三重三重) ) 2 210 )(bbbr 列方程組：列方程組： a e求求 2 21 210 2)2( 4)2(

15、42)2( br bbr bbbr 2 2 2 e e e 解得解得 2 2 1 2 2 1 2 0 e e e b b b 已知已知 法法1.1. 設(shè)設(shè) 1)1) 故故 2 210 eaai a bbb 2102121 211021 210 8344 44 0042 bbbbbbb bbbbbb bbb 222 22 2 e2ee e0e 00e 2) 2) 求求 ta e t t t tbr tbbr bbbr 22 2 2 21 2 210 e2)2( e4)2( e42)2( 解得解得 t tt ttt tb ttb ttb 22 2 1 2 222 1 2222 0 e e2e e2

16、e2e 故故 2 210 eaai a bbb t 2102121 211021 210 8344 44 0042 bbbbbbb bbbbbb bbb tttt tttt t ttt ttt 2222 2222 2 eeee eeee 00e 3) 3) 求求tasin ttbr ttbbr tbbbr 2sin2)2( 2cos4)2( 2sin42)2( 2 2 21 210 解得解得 ttb ttttb tttttb 2sin 2sin22cos 2sin22cos22sin 2 2 1 2 2 1 2 0 故故 2 210 sinaaiabbbt 2102121 211021 210

17、 8344 44 0042 bbbbbbb bbbbbb bbb ttttttt ttttttt t 2cos2sin2cos2cos 2cos2cos2sin2cos 002sin 4) 4) 求求acos 2cos2)2( 2sin4)2( 2cos42)2( 2 21 210 br bbr bbbr 解得解得 2cos 2cos22sin 2cos2sin2 2 1 2 1 0 b b b 故故 2 210 cosaaiabbb 2102121 211021 210 8344 44 0042 bbbbbbb bbbbbb bbb 2cos2sin2sin2sin 2sin2cos2sin

18、2sin 002cos 法法2. 2. 2 )2()( a m 是是a的最小多項(xiàng)式。的最小多項(xiàng)式。設(shè)設(shè) 10 )(bbr 對(duì)應(yīng)特征值對(duì)應(yīng)特征值2 2有有2 2個(gè)線性無關(guān)的特征向量，個(gè)線性無關(guān)的特征向量， 于是于是 由由 1 10 )2( 2)2( br bbr a e(求求 ta etasin )cos a 解得解得 t t t 2 2 e e tt t 2cos 2sin 2sin 2cos 2 2 e e 2sin2cosee 2sin22cos2cos22sine)21 (e 22 1 22 0 tttb ttttb t t 故故 )(af( (或或)( tf aai 10 bb 101

19、1 1101 10 3 002 bbbb bbbb bb 例例， 130 020 412 a試計(jì)算試計(jì)算 ta e 和和。asin 解解 ) 1()2()det( 2 ai a的特征值為的特征值為1, 2 321 設(shè)設(shè) 2 210 )(bbbr 則由則由 210 21 210 ) 1 ( 4)2( 42)2( bbbr bbr bbbr t t t t e e e 2 2 ta e(求求)sin a 已知已知 解得解得 ttt ttt ttt tb tb tb 22 2 22 1 22 0 eee e3e4e4 e2e3e4 2cos2sin1sin 2cos32sin41sin4 2cos2

20、2sin31sin4 1sin 2cos 2sin 于是于是 )(af( (或或)( tf a 2 210 aaibbb 21021 210 2121210 )3(30 0420 )3(41642 bbbbb bbb bbbbbbb 故故 ttt t tttttt t t ee3e30 0e0 e4e4e13e12e12e e 2 2 2222 a 1sin2sin31sin30 02sin0 2sin41sin42cos132sin121sin122sin sin a 例例 已知已知4 4階方陣階方陣a的特征值為的特征值為，00 試計(jì)算試計(jì)算asin和和。acos 解解 2242 )()de

21、t( ai 由由h-c定理得定理得，oaa 224 從而從而 ， 224 aa， 325 aa， 246 aa， 347 aa 即即 ， 2222 aa kk 32212 aa kk ), 3 , 2(k 法法1 1 故故 9 ! 9 1 7 !7 1 5 ! 5 1 3 ! 3 1 sinaaaaaa 3 ! 9 3 !7 3 ! 5 3 ! 3 1 642 aaaaa )( ! 9!7! 5! 3 1 3 642 aa 8 ! 8 1 6 ! 6 1 4 ! 4 1 2 ! 2 1 cosaaaaia )( ! 6! 4! 2 1 2 42 ai 2 1cos 2 ai )( ! 6! 4

22、! 2 1 2 642 2 ai 2 2 2 ai 法法2 2 4 4階方陣階方陣a的特征值為的特征值為。，00設(shè)設(shè) 3 3 2 210 )(bbbbr )( ! 9!7! 5! 3 1 3 9753 3 aa 3 sin 3 aa 3 1 2 aa 解得解得 2 1 3 2 1 0 0 1 0 b b b b 0 0 1 3 2 2 1 0 2 b b b b 故故 ， 3 1 2 sinaaa 2 2 2 cosaia 則由則由 1 0 3 3 2 2 10 3 3 2 2 10 )0( )0( )( )( br br bbbbr bbbbr 10cos 00sin 0)sin( 0sin

23、 00sin 10cos 1)cos( 1cos asin(求求)cos a 例例， 411 301 621 a求求a和和。aln 解解 ， 010 011 121 p 使使 1 11 1 1 japp 且且 311 100 110 1 p 取取，)(f，ln)(g則則 ， 2 1 )( f ， 1 )( g 已知已知 可求得相似變換陣可求得相似變換陣 故故 1 ) 1 (00 ) 1 () 1 (0 00) 1 ( )( ppaa f ff f f 311 100 110 100 10 001 010 011 121 2 1 2 5 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 310 1 ) 1

24、 (00 ) 1 () 1 (0 00) 1 ( )(ln ppaa g gg g g 311 100 110 000 100 000 010 011 121 311 311 622 例例， 21 21 2 a求求。)(af 解解 ， 2 12 12 t a )2( )2()2( )2()2()2( )( 2 1 t f ff fff f a 故故 )(af tt )(af )2()2()2( )2()2( )2( 2 1 fff ff f 已知已知 例例， 11 1 0 10 a求求 。，a a cose t 解解 ， tt t t t t ee e 1 1 e a 1cos1sin 1co

25、s 1 01 cosa 已知已知 例例， t t t t t 2 e20 e1 )(a求求)( 1 t a的存在區(qū)間，的存在區(qū)間， 。)( 1 d d t t a 解解， t tt 2 e2)(deta僅當(dāng)僅當(dāng)0t時(shí)，時(shí)，)(ta奇異，奇異， 設(shè)設(shè) 并求并求 因?yàn)橐驗(yàn)?4 矩陣微積分矩陣微積分 )( 1 t a的存在區(qū)間為的存在區(qū)間為。), 0(),0 ,( 法法1. 1. )( 1 t a 10 ee2 e2 1 2 2 tt t tt t t t t 2 2 1 2 1 e0 e1 故故 由于由于 所以所以 )( 1 d d t t a t t t t 2 2 21 2 1 e0 e0 2

26、 法法2. 2. t t t t t t t t t t 2 2 1 2 1 22 2 1 2 1 e0 e1 e)21 (20 e)1 (0 e0 e1 t t t t 2 2 21 2 1 e0 e0 2 ( (由定義由定義) ) )( 1 d d t t a)()()( 1 d d 1 ttt t aaa 例例 設(shè)設(shè)a是可逆矩陣，是可逆矩陣，。 1 0 det ta )(e 1 ia a 分析分析 1 0 det ta 1 0 1 det ta aa 1 0 1 )(e ta a )(e 1 ia a 則則 1 0 d d 1 det t t a a 例例，axxax tt )(f其中其

27、中 是已知向量，是已知向量， t 1 ),( n xx x是向量變量，是向量變量，。 xd d f 解解 nnx axa 11 因?yàn)橐驗(yàn)?i i a x f ), 2 , 1(ni 所以所以 t 1 ),( d d n x f x ff x a t 1 ),( n aa 已知已知 t 1 ),( n aa a 求求 axxax tt )(f 例例 nnij a )(a已知，已知， t 1 ),( n xx x是向量變量，是向量變量， ，axxx t )(f求求。 xd d f 設(shè)設(shè) 解解 axxx t )(f n s n t tsst xxa 11 n t tt n t tt xaxxax 1

28、 22 1 11 n t tntn n t titi xaxxax 11 因?yàn)橐驗(yàn)?i x f )( 1 1, 111 n t titiiiiiii xaxaxaxa nniiii xaxa 1, 1 n t tit n s ssi xaxa 11 所以所以 xd d f n x f x f 1 n s n t tntssn n s n t ttss xaxa xaxa 11 11 11 axxa t xaa)( t 特例，特例， aa t 時(shí)，時(shí)， 即即a對(duì)稱時(shí)，對(duì)稱時(shí)，。ax x 2 d d f 當(dāng)當(dāng) 例例 mnij x )(x為矩陣變量，為矩陣變量， ，)tr()(axx f 求求。 x

29、d d f 解解 )tr()(axx f m s n t tsst xa 11 itjs m s n t tsstijji xaxa 或或 11 因?yàn)橐驗(yàn)椋?ji ij a x f 所以所以 xd d f mn ij x f )( t a 設(shè)設(shè) nmij a )(a已知，已知， mnji a )( 例例 nnij x )(x是矩陣變量，是矩陣變量，xxdet)(f 試求試求。 xd d f 解解 ij x是是xdet中元素中元素 ij x的代數(shù)余子式，的代數(shù)余子式， ininijijii xxxxxx 11 因?yàn)橐驗(yàn)椋?ij ij x x f 所以所以 xd d f nn ij x f )(

30、t*) (x 當(dāng)當(dāng) x 可逆時(shí)，可逆時(shí)， xd d f t1) )(det xx t )(det xx 設(shè)設(shè) 設(shè)設(shè)則則 xxdet)(f nnij x )( 例例， 654 321 ttt ttt x， 435261 )(ttttt tfx 則則。 xd d f 分析分析 例例， nnij x )(x，xxtr)(f 則則n i 已知已知 123 456 ttt ttt 654 321 d d t f t f t f t f t f t f f x 123 456 ttt ttt 已知已知。 xd d f 分析分析xxtr)(f nn xxx 2211 于是于是， ji ji x f ij ,

31、 0 , 1 故故。 n nn ij x ff i x d d 例例， nm ra， m rb對(duì)于矛盾方程組對(duì)于矛盾方程組 ，bax 使得使得 2 2 )(baxxf為最小的向量為最小的向量 )0( x 稱為稱為最小二乘解最小二乘解， 已知已知 試導(dǎo)出最小二乘解所滿足的試導(dǎo)出最小二乘解所滿足的 方程組。方程組。 解解 )0( x使使)(xf達(dá)到極小，達(dá)到極小， 0 )0(d d xx x f 因?yàn)橐驗(yàn)?從而應(yīng)有從而應(yīng)有 2 2 )(baxxf)()( t baxbax bbaxbbaxaxax tttttt 由前幾例得由前幾例得 baaxa x tt 22 d d f 于是于是 )0(d d

32、xx x f baaxa t)0(t 220 即即baaxa t)0(t 稱稱baaxa tt 為為法方程組法方程組， 它是最小二乘解它是最小二乘解 所滿足的方程組。所滿足的方程組。 例例， nmij a )(a， t 1 ),( m xx x且且 ，axxf t )(求求。 x f d d 解解axxf t )(),( 11 2 1 1 m k knk m k kk m k kk axaxax 因?yàn)橐驗(yàn)?,( 21inii i aaa x f 所以所以 x f d d m x x f f 1 a mnmm n aaa aaa 21 11211 已知已知 例例 3)0(, 1)0(, 2)0(

33、 3 2 442 321 323 d d 22 d d 3211 d d xxx xxx xx txxxx t t t 用矩陣函數(shù)方法求解微分方程組用矩陣函數(shù)方法求解微分方程組 解解 0 )0( )()( d )(d xx fax x tt t t 寫成矩陣形式寫成矩陣形式 5 矩陣分析的應(yīng)用矩陣分析的應(yīng)用 其中其中， 130 020 412 a， 0 0 4 )( t tf 3 1 2 0 x 可求得可求得 ) 1()2()det( 2 ai a的特征值為的特征值為 1, 2 321 設(shè)設(shè) 2 210 )(bbbr 由由 t t t bbbr tbbr bbbr e) 1 ( e4)2( e42)2( 210 2 21 2 210 解得解得 ttt ttt ttt tb tb tb eee e4e4e3 e4e3e2 22 2 22 1 22 0 所以所以 2 210