近世代數ch2(1-6節(jié))習題參考答案

1、第二章前 6 節(jié)習題解答P35 1 1全體整數集合對于普通減法來說是不是一個群？ 解減法不滿足結合律，.全體整數對于減法不構成群。 2舉出一個有兩個元的群例子。 解 1， 1 對于普通乘法構成一個群。 0，1 對于運算 i j i j 構成群。 1， 2 對于運算 i j ij 構成群。 它們都是兩個元的群。G 中存在個群。3. 設G是一個非空集合，“”是一個運算。若 “”運算封閉；結合律成立； 右單位元 eR: a G，有 aeR a : a G，G，有 aa eR。則 G證（ 仿照群第二定義的證明 ）先證 aaR1 aR1a eR。T aR1 G，二 a G，使 aR1a eR,(aR1a

2、)eR(aR1a)(aR1a)aR1 (aaR1)a1aR eRa1aR a eR，1aR a eR。3aa r a r a eR。再證eRa aeR a，即卩eR是單位元。1 1 1 1a G，已證aaRar aeR，eRa(aaR )aa(aR a) aeR aeRaa。-eRa aeRa。即eR就是單位元e。再由aaRaR a e 得到 aR 就是 a 。這說明: G 中有單位元， a G 都有逆元 a 1 G是一個群。P38 21.若群G的每一個元都適合方程 x2 e，那么G是可交換的。證t x G, x2 e x x 1。 a,b G a a 1 ,b b 1。 ab a 1b 1

3、（ba） 1 ba。 ab ba ，即 G 是可換群。2在一個有限群中階大于2 的元的個數一定是偶數。證 令a是有限群G中一個階2的元，t互逆元是同階的， a 1的階也大于2,（若a 1 a a2 e,與a的階2矛盾）。設G中還有階2的元b，且b a,b a 1 , b 1的階也大于2，且b 1 b。我們還可以得出b 1 a , b 1 a 1。這是因為若b 1 a b a 1，矛盾；若b 1 a 1 b a，矛盾。 所以在有限群G中，階 2的元成對出現，因此命題成立。3假定G是一個階是偶數的有限群，在G中階等于2的元的個數一定是奇數。證 由上題知階2的元的個數是偶數。T G是偶數，階2的元也

4、必是偶數。但階是 1的元只有單位元e，二階等于2的元的 個數為奇數。4. 在有限群G中,每一元素具有一有限階。證a G,a e, a, a2 ,a3,.,a冋,a冋1 G,根據鴿巢原理，這|G| 1個幕至少有兩個相同。不妨設ai aj (1 i j |G| 1)，那么aj i e。所以命題成立。P44 41.假定兩個群G與G的一個同態(tài)之下，a a ,那么a與a的階是否相同？解不一定。取G e,o，運算為e e e ,顯然G e,o是一個群。取整數加群 G Z, 。建立:G G，其中(n) e, n Z。顯然 是G到G的同態(tài)。G的單位元0是一階元，它的象是一階元e, G的除0外的其他元都是無窮階元，它們的象也是一階元e。思考：若假定兩個群G與G的一個同構 之下,那么a與a的階是否相同?解肯定相同。若o(a) n，即 an e ,n(a )n(a)