分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題典型解法

1、一、數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想，畫(huà)線段圖能將題目中抽象的數(shù)量關(guān) 系，直觀形象地表示出來(lái)，進(jìn)行分析、推理和計(jì)算，從而降低解題難度。畫(huà)線段 圖常常與其它解題方法結(jié)合使用，可以說(shuō)，它是學(xué)生弄清分?jǐn)?shù)(百分?jǐn)?shù))應(yīng)用題 題意、分析其數(shù)量關(guān)系的基本方法。 【例1】一桶油第一次用去丄，第二次比第一次多用去20千克，還剩下22 千克。原來(lái)這桶油有多少千克 分析與解 第一次用去第二次用去 從圖中可以清楚地看出：這桶油的千克數(shù)X (1 1 1)=20+22 5 則這桶油的千克數(shù)為：(20+22) 4- (1-i-l ) =70 (千克) 【例2】一堆煤，第一次用去這堆煤的20%,第二次用去290

2、千克，這時(shí)剩 下的煤比原來(lái)這堆煤的一半還多10千克，求原來(lái)這堆煤共有多少千克 加尤290千克10千克50% 剩下的煤 分析與解 顯然，這堆煤的千克數(shù)X (1-20%-50%) =290+10 則這堆煤的千克數(shù)為:(290+10) 一 (1-20%-50%) =1000 (千克) 二、對(duì)應(yīng)思想 量率對(duì)應(yīng)是解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的根本思想，量率對(duì)應(yīng)是通過(guò)題中具體數(shù)量與抽 象分率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思想。（量率對(duì)應(yīng)常常和畫(huà)線段 圖結(jié)合使用，效果極佳。） 7 【例3】縫紉機(jī)廠女職工占全廠職工人數(shù)的丄，比男職工少144人，縫紉 20 機(jī)廠共有職工多少人 分析與解 解題的關(guān)鍵是找到與具體數(shù)量144

3、人的相對(duì)應(yīng)的分率。 Mp3 7 奴、工占20 r 1I 1 1 1了 男職工占0-茹） 足j Lf 1iI J 相差人 77 13 從線段圖上可以清楚地看岀女職工占丄，男職工占1 ,女職工比 2020 20 男職工少占全廠職工人數(shù)的蘭一也就是144人與全廠人數(shù)的2相對(duì) 20 20 10 10 應(yīng)。全廠的人數(shù)為： 1444- （1- -）二480 （人） 20 20 【例4】菜農(nóng)張大伯賣一批大白菜，第一天賣岀這批大白菜的1,第二天賣出 3 余下的？，這時(shí)還剩下240千克大白菜未賣，這批大白菜共有多少千克 5 “ I ” 余下的5剩下240千克 分析與解 從線段圖上可以清楚地看出240千克的對(duì)應(yīng)分

4、率是第一天賣出+后余下的 (l-)o則第一天賣出后余下的大白菜千克數(shù)為： 5 9 2404- (1- ) =400 (千克) 5 同理400千克的對(duì)應(yīng)分率為這批大白菜的(1-1),則這批大白菜的千克 3 數(shù)為： 4004- (1- ) =600 (千克) 3 三、轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，可以這樣說(shuō)，任何一個(gè)解題過(guò)程都離不開(kāi) 轉(zhuǎn)化。它是把某一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓D(zhuǎn)化成另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行思 考、求解，從而實(shí)現(xiàn)從繁到簡(jiǎn)、由難到易的轉(zhuǎn)化。復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，常常含有 幾個(gè)不同的單位“1”，根據(jù)題目的具體情況，將不同的單位“1”轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一的 單位1”，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。 1、

5、從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)，把分?jǐn)?shù)變成份數(shù)進(jìn)行“率”的轉(zhuǎn)化 【例5】男生人數(shù)是女生人數(shù)的纟，男生人數(shù)是學(xué)生總?cè)藬?shù)的幾分之幾 分析與解 男生人數(shù)是女生的土，是將女生人數(shù)看作單位“1”，平均分成5份，男生是 5 這樣的4份，學(xué)生總?cè)藬?shù)為這樣的（4+5）份，求男生人數(shù)是學(xué)生總?cè)藬?shù)的幾分 之幾就是求4份是（4+5）份的幾分之幾 4 4一（4+5）=- 9 【例6】兄弟兩人各有人民幣若干元，其中弟的錢數(shù)是兄的扌，若弟給兄4 2 元，則弟的錢數(shù)是兄的彳，求兄弟兩人原來(lái)各有多少元 分析與解 兄弟兩人的總錢數(shù)是不變量，把它看作單位“1,原來(lái)弟的錢數(shù)占兩人總錢 數(shù)的丄，后來(lái)弟的錢數(shù)占兩人總錢數(shù)的丄，則兩人的總錢數(shù)為： 4

6、+52+3 42 4 一（亠一二-）=90 （元） 4+52+3 弟原來(lái)的錢數(shù)為：90X丄=40 （元） 4 + 5 兄原來(lái)的錢數(shù)為：90-40=50 （元） 2、直接運(yùn)用分率計(jì)算進(jìn)行“率”的轉(zhuǎn)化 【例7】甲是乙的？，乙是丙的纟，甲是丙的的幾分之幾 3 5 分析與解 甲是乙的2,乙是丙的纟，求甲是丙的的幾分之幾就是求士的？是多少 3 553 4x2_8 53 15 【例8】某工廠計(jì)劃一月份生產(chǎn)一批零件，由于改進(jìn)生產(chǎn)工藝，結(jié)果上半月生產(chǎn) 了計(jì)劃的3,下半月比上半月多生產(chǎn)了丄，這樣全月實(shí)際生產(chǎn)了 1980個(gè)零件， 一月份計(jì)劃生產(chǎn)多少個(gè) 分析與解 丄是以上半月的產(chǎn)量為1”，下半月比上半月多生產(chǎn)丄，即

7、下半月生產(chǎn)了 計(jì)劃的Ox （1+i） =o則計(jì)劃的（0 +竺）為1980個(gè)，計(jì)劃生產(chǎn)個(gè)數(shù)為： 55255 25 3 31 19804- X （1 + - ） =1500 （個(gè)） 5 55 3、通過(guò)恒等變形，進(jìn)行“率”的轉(zhuǎn)化 【例9】甲的扌等于乙的字，甲是乙的幾分之幾 分析與解 4 3 由條件可得等式：甲乙X二 5 7 4 43 4 方法1：等式兩邊同除以丄得：甲乙x二三 5 57 5 甲二乙X蘭 25 方法2：根據(jù)比例的基本性質(zhì)得：甲：乙=-:- 75 化簡(jiǎn)得：甲：乙二15： 28 即甲是乙的空。 25 【例10五（2）班有學(xué)生54人，男生人數(shù)的75%和女生人數(shù)的80%都參加了課 外興趣小組，

8、而未參加課外興趣小組的男、女生人數(shù)剛好相等，這個(gè)班男、女生 各有多少人 分析與解 由條件可得等式： 男生人數(shù)X (1-75%)= 女生人數(shù)X (1-80%) 男生人數(shù)：女生人數(shù)=4： 5 4 就是男生人數(shù)是女生人數(shù)的上。 5 4 女生人數(shù)：54一 (1 + -) =30 (人) 5 男生人數(shù)：54-30=24 (人) 四、變中求定的解題思想 分?jǐn)?shù)(百分?jǐn)?shù))應(yīng)用題中有許多數(shù)量前后發(fā)生變化的題型，一個(gè)數(shù)量的變化, 往往引起另一個(gè)數(shù)量的變化，但總存在著不變量。解題時(shí)要善于抓住不變量為單 位“1”，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。 1、部分量不變 【例11】有兩種糖放在一起，其中軟糖占？，再放入16塊硬糖以后，軟糖

9、 20 占兩種糖總數(shù)的丄，求軟糖有多少塊 4 分析與解 根據(jù)題意，硬糖塊數(shù)、兩種糖的總塊數(shù)都發(fā)生變化，但軟糖塊數(shù)不變，可以 99 11 確定軟糖塊數(shù)為單位“1S則原來(lái)硬糖塊數(shù)是軟糖塊數(shù)的(1-)4- 倍。 2020 9 加入16塊硬糖以后，后來(lái)硬糖塊數(shù)是軟糖塊數(shù)的(1-) -=3倍，這樣16 4 4 塊硬糖相當(dāng)于軟糖的3-=-倍，從而求出軟糖的塊數(shù)。 99 11QQ 16一 (1-)(1- )4- =9(塊) 442020 2、和不變 【例12】小明看一本課外讀物，讀了幾天后，已讀的頁(yè)數(shù)是剩下頁(yè)數(shù)的彳， 后來(lái)他又讀了 20頁(yè)，這時(shí)已讀的頁(yè)數(shù)是剩下頁(yè)數(shù)的丄，這本課外讀物共有多少 6 分析與解 根

10、據(jù)題意，已讀頁(yè)數(shù)和未讀頁(yè)數(shù)都發(fā)生了變化，但這本書(shū)的總頁(yè)數(shù)不變，可 把總頁(yè)數(shù)看作單位“1”，原來(lái)已讀頁(yè)數(shù)占總頁(yè)數(shù)的丄，又讀了 20頁(yè)后，這時(shí) 1 + 8 已讀頁(yè)數(shù)占總頁(yè)數(shù)的丄，這20頁(yè)占這本書(shū)總頁(yè)數(shù)的（丄一丄），則這本 1 + 6 1 + 6 1 + 8 課外讀物的頁(yè)數(shù)為： 20=（丄一丄）二630 （頁(yè)） 1 + 6 1 + 8 【例13兄弟三人合買一臺(tái)彩電，老大出的錢是其他兩人出錢總數(shù)的丄，老二 2 出的錢是其他兩人出錢總數(shù)的老三比老二多出400元。問(wèn)這臺(tái)彩電多少錢 分析與解 從字面上看丄和丄的單位“1”都是其他兩人出錢的總數(shù)，但含義是不同的, 23 丄是以老二和老三出錢的總數(shù)為單位“1”，

11、丄是以老大和老三出錢的總數(shù)為單 23 位“1”。但三人出錢的總數(shù)（彩電價(jià)格）是不變的，把它確定為單位“1”，老大 出的錢數(shù)相當(dāng)于彩電價(jià)格的丄，老二出的錢相當(dāng)于彩電價(jià)格的丄，老三出 1+21+3 的錢數(shù)相當(dāng)于彩電價(jià)格的1 丄一丄二丄，400元相當(dāng)于彩電價(jià)格的丄一 1 + 21 + 3 1212 =-o這臺(tái)彩電的價(jià)格為： 1 + 3 6 4004- （1一丄一丄一丄）=2400 （元） 1 + 21 + 31 + 3 五. 假設(shè)思想 假設(shè)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，常用有推測(cè)性假設(shè)法和沖突式假設(shè)法。 1、推測(cè)性假設(shè)法 推測(cè)性假設(shè)法是通過(guò)假定，再按照題的條件進(jìn)行推理，然后調(diào)整設(shè)定內(nèi)容， 從而得到正確答

12、案。 3 【例14】一條公路修了 1000米后，剩下部分比全長(zhǎng)的二少200米，這條公路全 長(zhǎng)多少米 分析與解 由題意知，假設(shè)少修200米，也就是修1000-200=800 （米），那么剩下部分 正好是全長(zhǎng)的,因此已修的800米占全長(zhǎng)的（1-）,所以這條公路全長(zhǎng)為： 3 （1000-200） 一（1一二）=2000 （米） 2、沖突式假設(shè)法 沖突式假設(shè)法是解應(yīng)用題中常用的一種思維方法。通過(guò)對(duì)某種量的大膽假 設(shè)，再依照已知條件進(jìn)行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾沖突，進(jìn)行比較，作適當(dāng) 調(diào)整，從而找到正確答案的方法。 【例15】甲、乙兩班共有96人，選出甲班人數(shù)的丄和乙班人數(shù)的1,組成 45 22人的數(shù)學(xué)

13、興趣小組，問(wèn)甲.乙兩班原來(lái)各有多少人 分析與解 假設(shè)兩班都選出丄，則選岀96x1=24 （人人假設(shè)比實(shí)際多選出24-22=2 44 （人）。 調(diào)整：這是因?yàn)榘堰x出乙班人數(shù)的1假設(shè)為選出丄，多算了丄一丄二丄，由 5 445 20 此可先算出乙班原來(lái)的人數(shù)。 （96x 1-22） 4-=40 （人） 445 甲班原來(lái)的人數(shù)：96-40=56 （人） 【例16】某書(shū)店出售一種掛歷，每售出1本可得18元利潤(rùn)。售出一部分后每本 減價(jià)10元出售，全部售完。已知減價(jià)出售的掛歷本數(shù)是減價(jià)前出售掛歷本數(shù)的 -o書(shū)店售完這種掛歷共獲利潤(rùn)2870元。書(shū)店共售出這種掛歷多少本 分析與解 2 根據(jù)減價(jià)出售的掛歷本數(shù)是減

14、價(jià)前出售掛歷本數(shù)的彳，我們假設(shè)減價(jià)前岀售 的掛歷為3本，減價(jià)出售的掛歷為2本，則售出這2+3=5 （本）掛歷所獲的利潤(rùn) 為： 18X3+ （18-10） X2=70 （元） 這與實(shí)際共獲利潤(rùn)2870元相矛盾，這是什么原因造成的呢 調(diào)整：這是因?yàn)榘殉鍪鄣膾鞖v假設(shè)為5本，根據(jù)實(shí)際共獲利潤(rùn)是假設(shè)所獲利 潤(rùn)的28704-70=41倍，實(shí)際共售出掛歷的本數(shù)也應(yīng)該是假設(shè)5本的41倍。即5 X41=205 （本） 六、用方程解應(yīng)用題思想 在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時(shí)，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，特別是逆向思考的應(yīng)用題， 往往棘手，而這些的應(yīng)用題用列方程解答則簡(jiǎn)單易行。列方程解應(yīng)用題一開(kāi)始就 用字母表示未知量，使它與已知量處于同等地位，同時(shí)運(yùn)算，組成等式，然后解 答出未知數(shù)的值。列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是根據(jù)題中已知條件找出的等量關(guān)系， 再根據(jù)等量關(guān)系列出方程。 4 【例17某工廠第一車問(wèn)人數(shù)比第二車間的上多16人，如果從第二車間調(diào) 40人到第一車問(wèn)，這時(shí)兩個(gè)車間的人數(shù)正好相等，原來(lái)兩個(gè)車間各有多少人 分析與解 根據(jù)題意，有如下數(shù)量關(guān)系： 第一車間人數(shù)+40人二第二車間人數(shù)一40人 解：設(shè)第二車間有X人。 4 X+16+40=X40 5 解得：X=480 4 4 第一車間人數(shù)為：一X+16二一 X480+16=400 （人） 5 5 【例18老師買來(lái)一些本子