微分幾何第四習(xí)題答案梅向明

1、1 曲面的概念1.求正螺面 rr = u cosv ,u sinv, bv 的坐標曲線 .r解 u-曲線為 r=ucosvo ,u sinvo,bv = 0,0 , bv + u cosvo, sinv,0,為曲線的直母線；v-曲線為r = uo cosv, uo sinv,bv 為圓柱螺線.2 .證明雙曲拋物面r = a (u+v) , b (u-v ) ,2uv 的坐標曲線就是它的直 母線證 u-曲線為 r = a (u+v0) , b (u- v0) ,2u v0= av0, bv0,O+ ua,b,2 v0表示過點 a vo, b Vo,O以a,b,2 Vo為方向向量的直線;v-曲線為

2、 r = a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v = au0, bu0 ,0 +va,-b,2 u表示過點（au。，b u,0）以a,-b,2 u。為方向向量的直線。法線方程為sin , a cossin ,asin,a cos ，上任r =:意點的切平面a cos sin至和法線方程,a cos cos,asinsina coscosy a cossinz a sina sincosa sinsina cos0a cossina coscos0sin + zsi n-a = 0cosya cos sinzasi n3 .求球面r =a cos解 r = a si

3、n cosx任意點的切平面方程為sin,0x a coscos sin即 xcos cos + ycoscoscos24.求橢圓柱面務(wù)a2工b21在任意點的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面2解橢圓柱面篤a2y_1的參數(shù)方程為 x = cos , y = asi n , z = t ,r a sin,b cos ,0,rt 0,0,1。所以切平面方程為:x a cosa sin0y bsinb cos00，即 x bcos + y asin a b = 0此方程與t無關(guān)，對于 的每一確定的值，確定唯一一個切平面，而的每一數(shù)值對應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個

4、切平面。3證ru1,0,即，u Vxyuv33 z 30u va與三坐標軸的交點分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2 3uv)o于是，四面體的體積為:163|u|3|v|3a3r3是常數(shù)35.證明曲面r u,v,的切平面和三個坐標平面所構(gòu)成的四面體的體積是常UV數(shù)。30,1,二。切平面方程為:uv 2曲面的第一基本形式1.求雙曲拋物面r = a (u+v) , b(u-v) ,2uv的第一基本形式解rua, b,2v, g a, b,2u, E2 2 . 2 ru a b4v .求正螺面r = ucosv ,u sinv, bv 的第一基本形式，并證明坐標曲線互 相垂直。

5、2解ru cos v,si nv,0, g usi nv,ucosv, b , Eg 1 , F ru m 0 ,G rv2 u2 b2 , I = du2 (u2 b2)dv2 ,tF=0,.坐標曲線互相垂直。,Frurv a2 b2 4uv, G rv2 a2 b2 4u2, I =2 2 2 2 2 2(a b 4v )du 2(a b4uv)dudv(a2 b2 4u2)dv24. 設(shè)曲面的第一基本形式為I = du2 (u2 a2)dv2，求它上面兩條曲線u + v =0 ,u - v = 0的交角。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊量，即等距不變量，而求等距不變 量只須知道曲面

6、的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量E 1，F(xiàn)v 0，G u2 a2 ,曲線u + v = 0與u - v = 0的交點為u = 0, v = 0,交點處的第一類基本量為E 1，F(xiàn)v 0， G a2。曲線u + v = 0 的方向為du = -dv , u - v = 0 的方向為S u=S v ,設(shè)兩曲線的夾角為，則有2Edu u Gdv u1 acos =-。VEdu2 Gdv2jEu2 G v2 1a5. 求曲面z = axy上坐標曲線x = x 0 ,y = y0的交角.解 曲面的向量表示為r =x,y,axy, 坐標曲線x = x 0的向量

7、表示為r = x,y,ax y ，其切向量ry=0，1，ax。；坐標曲線y = y的向量表示為r =x ,y ,ax y，其切向量.=1，0，ay，設(shè)兩曲線x = x 0與y = y的夾角為，則2有cos6.解=rx rya x0 yo1 rx |ry 1.1 a2x(2 1 a2y(2求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.對于u-曲線dv = 0,設(shè)其正交軌線的方向為S u: S v，則有EduS u + F(du S v + dv S u)+ G d v S v = 0,將 dv =0 代入并消去 du 得 u-曲線的 正交軌線的微分方程為ES u + F S v = 0 .同理可得v-曲

8、線的正交軌線的微分方程為 FS u + G S v = 0 .7. 在曲面上一點，含du ,dv的二次方程Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2 =0,確定兩 個切方向(du : dv)和(S u : Sv )，證明這兩個方向垂直的充要條件是ER-2FQ+GP=0.證明 因為du,dv不同時為零，假定dv0,則所給二次方程可寫成為P(蟲)2 +dvduduuduuR2Q + R=0 ,設(shè)其二根一，一，貝U=dvdvvdvvP向垂直的條件知EH +F(巴+上)+G = 0dv vdv v將代入則得ER - 2FQ + GP = 0 .duu2Q+ =又根據(jù)二萬dvvP8.證明曲面的坐標曲線的二

9、等分角線的微分方程為Edu2 =Gdv2.證 用分別用5、d表示沿u 曲線，v曲線及其二等分角線的微分符號,即沿u 曲線S u0,5 v=0，沿v 曲線 u=0,v 0.沿二等分角軌線方向為du:dv，根據(jù)題設(shè)條件，又交角公式得2 2 2(Edu v Fdv u) (Fdu v Gdv v) 即(Edu Fdv)2 . 2Z 2，即E u ds2 2G v ds2(Fdu Gdv)。展開并化簡得E(EG-F2) du2=G(EG-F2) dv2,而EG-F20,消去EG-F2得坐標曲線的二等分角線的微分方程為Edu2=Gdv2.9 .設(shè)曲面的第一基本形式為du2 (u2a2)dv2，求曲面上三

10、條曲線u =v =1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形(如圖)所示。 線圍城的三角形的面積是0S= . u2a1du dvuaau20 1a2du dvuaav,a=2：-? u0 1a2du dv=2 (1u0au)、u2aa2 du3=敎2a2)2 u u2 a2 a21n(u u2 a2) |a= a 2 U 1、 u 2/2(1廠)二 du (u22 ln(1 2) o310.求球面 r=acos sin , a cos sin , a sin 的面積。解 r = asin cos , a sin sin , a cos , r = a cos sin ,acos cos

11、,0E = r2 =a2 ,F= r r = 0 , G = r2 = a2 cos2.球面的面積為：2 a2 sin |24 a2.22S = 2 dau u 1 cos2 d 2 a2 2 cos d2 02和旋轉(zhuǎn)曲面r =tcos ,tsin11.證明螺面 r =ucosv,usinv,u+v(t1, 02 )之間可建立等距映射=arctgu + v , t= - u21 .1)(du dv)21 u2u2u1)du22 du21 u22dudv (u22 2 2 21)dv =2du +2 dudv+( u +1) dv = I .所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射=arctgu +

12、 v , t =. u21分析 根據(jù)等距對應(yīng)的充分條件,要證以上兩曲面可建立等距映射=arctgu+ v , t= . u21,可在一個曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對應(yīng)點有相同的參數(shù)，然后證明在新的參數(shù)下，兩曲面具有相同的第一基本形式證明 螺面的第一基本形式為l=2du2+2 dudv+( u2+1) dv2,旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為I=t2:(12 )dt2 t2d ,在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換=arctgu + v ,t 1t = 、u21 ,則其第一基本形式為： 3曲面的第二基本形式1.計算懸鏈面r =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解

13、 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshus inv, 0,ruv =-s in hus inv,sin hucosv,0,rvv=-coshucosv,-coshusinv,0,Eru = cosh u, F ru rv=0, G rv =cosh u.所以 I = cosh 2u du2+ cosh 2 udv2 .cosh u cosv, cosh u s in v, s in hus inv,n = Jr_VEG F2 cosh2 uL= _coshu1, m=0, N= _coshu

14、=1 .tsinh2 1sinh2 1所以 II = -du2+dv22.計算拋物面在原點的2x3 5x； 4X1X2 2x；第一基本形式，第二基本形式.解曲面的向量表示為r2,討2 2x1x2 X；,、1,0,5x12x2 (0,0)1,0,0 , rx20,1,2x12x2(,) 0,1,0 , g 0,0,5,G20,0,2 , rX2X20,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 丄=5 , M = 2 , N =2 ,22221= dx1dx2, II= 5dx14dx1dx2 2dx2.3. 證明對于正螺面 r =u cosv,u sinv,bv,- gu,vx處處有

15、EN-2FM+GL=。解 ru cos v, sin v,0, rv u sinv, ucosv,b , ruu =0,0,0,2ruv =-uucosv,cosv,0,rw =-ucosv,-usinv,0,E1 , F 4 50 ,Gr：u2 b2 , L= 0, M = b , N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .u2 b214. 求出拋物面z -（ax2by2）在（0,0）點沿方向（dx:dy）的法曲率.解X 1,O,ax（o,o）1,0,0,ry 0乙 by（o,）0,1,0 , 口 0,0,a, * 0,0,0ryy 0,0,b ,E=1,F=0,G=1,L=

16、a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率 kn adX2 彎 dx dy5. 已知平面 到單位球面(S)的中心距離為d(0d1),求 與(S)交線的曲率 與法曲率解 設(shè)平面 與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為,1 d2 ,即(C)的曲率為1 d2 ,所以1k i二,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于1 d2(C)的法曲率為kn6.利用法曲率公式kny證明在球面上對于任何曲紋坐標第一、第二類基2 2Ldu 2Mdudv NdvEdu2 2Fdudv Gdv2R或計，所以卡M G( R 即第一、第本量成比例。證明 因為在球面上任一點處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其

17、曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(u,v)，沿任意方向du:dv類基本量成比例。7 求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。證明對于正螺面 r =u cosv,u sinv,bv，ru cos v,si n v,0, rv u si nv,ucosv,b， ruu=0,0,0 ， rvv=-ucosv,-usi nv,0L=詈響=0 N= 注=0 .所以u族曲線和v族曲線都是漸近線。而u族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。8. 求曲面z xy2的漸近線.2 2 2 22xy , G ry 1 4x y .解曲面的向量表示為 r xyxy2,.1,0, y2, r

18、y 0,1,2xy, *0,0,0,rxy 0,0,2y, ryy 0,0,2x, E rx21 4y4,F rx gL 0,M1 4x2；2 y4 ,N 1 4x2y2 y4漸近線的微分方程為Ldx2 2MdxdyNdy2 ,即 4ydxdy 2xdy20, 一族為 dy=0,即yC1,C1 為常數(shù).另一族為 2ydx=-xdy,即 Inx2yc?,或 x2yc,c 為常數(shù).9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上，沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C) 的主法向量所確定的平面，與曲線(C)的密切平面重合，所以每一條曲線(C)在它的主 法線曲面上

19、是漸近線.方法二：任取曲線(s)，它的主法線曲面為S:r(s,t)r (s)rt (s)，rs r(s) t&(s) r t(rr r r)(1 t ) t ， t(1 t )r在曲線上，t = 0 ,sr,曲面的單位法向量r，即 n r，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.10. 證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù)，y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為r =x,y, f(x)+g(y),x= 常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標曲線rx 1,0, f , ry0,1, g. L 0,0, f , rXy 0,0,0,二0,0, g,x=吊數(shù)，y=吊數(shù)因為M Lry0,所以坐標曲線構(gòu)成共

20、軛網(wǎng)，即曲線族xy止G乍7構(gòu)成共軛網(wǎng)。11. 確定螺旋面r =u cosv,u sinv,bv上的曲率線.解 ru cos v,sin v,0, rv u sin v,u cosv, b ，ruu=0,0,0rvv =-ucosv,-us inv,O2ruv =-sinv,cosv,0, Eru1 , Fru rv0 ,r；u2F，L=0, M= _ubf，N=0,曲率線的微分方程為:dv210dudv0b.u2 b2du2u2 b200,即 dv17u2 b2du 積分得兩族曲率線方程：ln(u.u2 b2)G 和 v ln(、u2b2u)C2.12.求雙曲面z=axy上的曲率線2 2y ,

21、F a x,G|2x2 ,L 0,M,N=0 .2 2a ydy22 21 a xdxdy2 2 2a x ya2 2 2 2 a x a ydx22a x=0 得(1 a2y2 22)dx2(1a2x2)dy2,積分得兩族曲率線為ln(ax 1 a2x2)In (ay, 1 a2y2) c.13.求曲面r -| (u v),b (u v)上的曲率線的方程.2 .2 2解 e a b v ,F42 ,2 2 ,2 2a b uv a b u,G -44,L0,abM= 2,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是EG F2(a2 b2 u2 )dv2 (a2 b2 v2)du2,積分得

22、：ln(u - a2b2 u2) ln(va2b2 v2) c .14.給出曲面上一曲率線L,設(shè)L上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成 定角,求證L是一平面曲線.證法一：因L是曲率線,所以沿L有dnndr ,又沿L有？n=常數(shù),求微商得 n 一 n 0,而n/dn /dr與 正交，所以 n 0,即- n =0,則有 =0,或 n =0 .若=0,則L是平面曲線；若 n=0 , L又是曲面的漸近線，則沿L , n=0 , 這時dn=0 , n為常向量，而當L是漸近線時， =n，所以 為常向量，L是一 平面曲線證法二：若n，則因n d? II r，所以n II ，所以dn II &由伏雷r r

23、r內(nèi)公式知dn I ( r )而L是曲率線，所以沿L有dn I r ,所以有=0,從而 曲線為平面曲線；若 不垂直于n，則有？n=常數(shù)，求微商得- & 0,因為L是曲率線，所 以沿L有dn II dr ，所以r & 0，所以 n 0，即- n =0，若=0，則問題得證；否則 n =0，則因n r 0，有n I ， dn II dr |( -) I r ，矛盾。15.如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。證曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量 成定角，由上題結(jié)論知正確。16 .求正螺面的主曲率。解 設(shè)正螺面的向量表示為r=ucosv,usinv

24、,bv.解 ru cos v,sin v,0, rv u sin v, u cos v, b， ruu=0,0,0，rw =-ucosv,-us inv,02ruv =-s inv ,cosv,0,Eg 1 ， Fru rv0 ，G rv2 U2 b2，L= 0, M =占，N =。，代入主曲率公式(EG-F2)(LG-2FM+ENn + LN- M 2 = 0 得N2(u所以主曲率為17. 確定拋物面z=a(x2 y2)在(0, 0)點的主曲率.解 曲面方程即 ryy 0,0, 2a，r x, y,a(x2 y2)，rx 1,0, 2ax ry 0,1,2ay， rxx 0,0, 2a，L

25、0,0,0, k 0,0, 2a。在(0, 0)點,E=1 ,F=0,G=1 丄=2a ,M=0 ,N=2a .所以N -4a n +4a2=0，兩主曲率分別為1 = 2 a ,2 = 2 a .18. 證明在曲面上的給定點處，沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù)證 曲面上的給定點處兩主曲率分別為1 、2，任給一方向及與其正交的方向+ 2，則這兩方向的法曲率分別為n()21 cos22 sinn (2)1 cos2(2)2 sin2(2).21 sin22 cos，即n( ) n(2)12 為常數(shù)。19. 證明若曲面兩族漸近線交于定角，則主曲率之比為常數(shù)證 由n 1 cos22 sin2得tg2

26、,即漸進方向為21 arctgj ,2=-arctgj .又-2+ 1=2 1為常數(shù)，所以為1為常數(shù)，即丄為常數(shù).220. 求證正螺面的平均曲率為零.證由第3題或第16題可知.21. 求雙曲面z=axy在點x=y=0的平均曲率和高斯曲率證 在點 x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=O,H= 竺 2FM 2 NE 0,2(EG F2)LNEGF22=-a2du:dv ,knIILdu2 2Mdudv Ndv22 2IEdu2Fdudv Gdv0 ,所以有L=M=N=0對應(yīng)的點為平點22. 證明極小曲面上的點都是雙曲點或平點證法一：由H=2 =0有1= 2 =0或1

27、=- 20 .2若1= 2=0,則沿任意方向n( )1 cos22 sin 2 =0 ,即對于任意的若1=- 20,則K= 1 20 ,即LN-M2 0 ,G 0 , 所以 LN 0。若 LN M 2=0,則 L = M = N =0，曲面上的點是平點，若LN M 2 a 0 , b+acos 0,所以 LN - M 2 的符號與cos的符號一致，當0W 2和 0 ,曲面上的點72 2為橢圓點，即圓環(huán)面外側(cè)的點為橢圓點；當-2 +，曲面上的點為雙曲點，即 圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點為雙曲點；當 =2或 +時，LN - M 2=0，為拋物點，即圓環(huán)面 上、下兩緯圓上的點為拋物點。25. 若曲面的第一基本形式表示為I 2(u,v)(du2 dv2)的形式，則稱這個曲面的坐標曲線為等溫網(wǎng)。試證：旋轉(zhuǎn)曲面 網(wǎng)。r g(t)