選修21空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我第三章空間向量與立體幾何L空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注:（1）向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的 向量。（2）空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示。2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）。運(yùn)算律：加法交換律：a+b=b+a（2）加法結(jié)合律：（a+b） + d=a + （b+c）數(shù)乘分配律：兄 +初=加+疝3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量 也叫做共線向量或平行向量，N平行于5,記作a/bo 當(dāng)我們說(shuō)向

2、量云、方共線（或萬(wàn)5 ababbOabnb 向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，戸與向量方丿；共面的條件 是存在實(shí)數(shù)x, y使=燈+ yb o5.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a.b.c不共面，那么對(duì)空間任一向量戸， 存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y,z，使= xci + yb + zc。若三向量減d不共面，我們把d,b,c叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向 量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)O, A,B.C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三 個(gè)有序

3、實(shí)數(shù)x,y,z，使OP = xOA + yOB + zOCo_6.空間兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量：、石，在空間任取一點(diǎn)0,作OB = b, 西=石（兩個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同），則叫做向量：與石的夾角，記作 mA.3 = 11 =正確bb規(guī)定e 0,tfs20。& 90a = 9090180e=180 b 平移前37. 空間向量的直角坐標(biāo)系：(1) 空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O-DZ中，對(duì)空間任一點(diǎn)A ,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 (x,y,z),使頁(yè)=喬+靈+汞，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系 O-Ayz中的坐標(biāo)，記作x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，Z叫豎坐標(biāo)。(2)

4、右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90。角度轉(zhuǎn) 向正向y軸時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向；(3) 若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1,這個(gè)基底叫單位正 交基底，用KJJ表示。(4) 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律： 若 a = (ava2,a3) , b = (bl9b2,b3) f 則a+b = aA +%勺 +仇，5 +3)，A b2 b.。丄b oajb +a2b2 +他伏=0。 若 A(,ypz,) , B(x2,y2,z2),貝ij AB = (x2-xpy2 - ypz2-)。 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)縈審亦坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的看向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐

5、標(biāo)。(5)模長(zhǎng)公式：若。=(4，。2，“3)，5 =(勺,”2仇)，(7)兩點(diǎn)間的距離公式：若A(X，x，Z), B(x2,y2,z2)貝ijI AB 1= y)AB =5/(x2-xI)2+(y2-yI)2+(z2-z1)2 ,或心出=丁(吃 一+(y2 X)+(Z2 -石)2(8 )空間線段A3，X，Zi),妝花,為，乙2)的中點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)：Xl+X2 兒 + )，2 Z + )2 2 2 丿(9)球面方程：x2 + y2+z2 =R28. 空間向量的數(shù)量積。(1) 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a.b,在空間任取一點(diǎn)0, 作OA = a,OB = b ,則ZAOB叫做

6、向量N與5的夾角，記作 :且規(guī)定 0= ;若=巴,則稱&與5互相垂直， 記作：&丄方。(2) 向量的模：設(shè)OA = af則有向線段芮的長(zhǎng)度叫做向量刀的長(zhǎng)度或模, 記作：INI。(3) 向量的數(shù)量積:已知向量d,b ,則Il-l5l-cos叫做，方的數(shù)量 積，記作a-b , BJ= a-b-cosa(4) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：cie=acoso a 丄方=0。IN F=R萬(wàn)二(：尸，a =77(5) 空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：(Aa) b = A(a b) = a-(Ab)。百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地捉升口我a-b=b a （交換律）。d-（b+c） = a-b+d-c （分配律）。9二空間向量在空幾

7、何證明中的應(yīng)用：AB = （c/, aJ、CD = （/?,仇,by）（1）證明ABH CD ,即證明盤而，也就是證明5=從衛(wèi)2=血2心=血3或（2）證明43丄CD,即證明AB CD = 0,也就是證明ab + a2b2 + a3b3 = 0（3）證明AB/a（平面）（或在面內(nèi)），即證明屁垂直于平面的法向量或證明亦與平面內(nèi)的基底共面；_（4）證明A3丄a,即證明而平行于平面的法向量或證明而垂直于平面內(nèi)的 兩條相交的直線所對(duì)應(yīng)的向量；（5）證明兩平面alip （或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個(gè)面的 法向量垂直于另一個(gè)平面；（6）證明兩平面a丄0,即證明兩平面的法向量垂直或一個(gè)面的法向

8、量在另一 個(gè)面內(nèi)。10. 運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題的步驟：（1）建坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)（2）求相關(guān)向量的坐標(biāo)（3）運(yùn)用向量運(yùn)算解題11. 用向量方法來(lái)解決立體幾何中的空間角的問(wèn)題：（1）兩條直線的夾角：設(shè)直線/,加的方向向量分別為，兩直線兒加所成的角為& （owe wf）, cos& = =二co如別（2）直線與平面的夾角：設(shè)直線/的方向向量分別為萬(wàn)，平面a的法向量分別為幾（3）二面角：0方向向量法：法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角； 同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角12. 利用“方向向量”與“法向量”來(lái)解決距離問(wèn)題.8(1)點(diǎn)與直線的距離：cl = AP sin 0 (先求

9、cos )(2)點(diǎn)到平面的距離：由堂也.I/H如圖Aea,空間一點(diǎn)尸到平面理的距離為4已知平面Q的一個(gè)法向量為7,且 AP與刃不共線，分析:些作PA-a于0,連結(jié)0A.則去 | 応 =PA cos ZAPO.V PO 丄 a, 丄 a, /. PO / n. coszAP0= | cos (PAn) .舁A3(3) 異面直線間的距離：已知a, b是異面直線,CD為a, b的公垂線，人是直線CD的方向向量,A, B分別在直 線 a, b d = CD =(4) 其它距離問(wèn)題: 平行線的距離（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離） 直線與平面的距離（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離） 平面與平面的距離（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離）

10、13. 補(bǔ)充：（1）三余弦定理設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，且BC丄AC,垂足為C, 乂設(shè)A0與AB所成的角 為AB與AC所成的角為2, A0與AC所成的角為&.則coscoscos生（2）三射線定理若夾在平面角為0的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是 ,&2 ，與二面角的棱所成的角是0,則有sin2 sin，& = sin 8、+sin2 -2sinq sinQ cos。.I &i -2 IS 0 5 180 - +%）（當(dāng)且僅當(dāng)& = 90時(shí)等號(hào)成立）.（3）點(diǎn)。到直線/距離h = - J（l a II b 1尸 - （a /?）1川（點(diǎn)P在直線/上，直線/的方向向量圧卩人，向量5）

11、.（4）異面直線上兩點(diǎn)距離公式d = J/廠 + nf +rf + 2nm cos 0d = J/r + nr + n linncqsIEA ,AF、d = yli2 +m2 +n2 -2nmcos（p ,（p = E - AA _ F）（兩條異面直線d、b所成的角為0,其公垂線段必 的長(zhǎng)度為h.在直線4、 b 上分別取兩點(diǎn) E、F, AE = m, AF = n, EF）.（5）三個(gè)向量和的平方公式一 一 分 一 222一一（a+b + cY =a +b +c +2ab + 2b-c + 2c - a= a+b+c+2a-b cos 打）+ 21 厶 I I c I cos 0, e） +

12、21 c I I d I cos （c,a）（6）長(zhǎng)度為/的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為4、厶，夾角分別為&2、&3,則有廠=/； +I2 +乃 ocos q +COS2 02 +COS2 &3 = 1 o sin 0x +sin2 02 +sin2 0,=2（立體兒何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例）.（7）面積射影定理S亠COS0（平面多邊形及其射影的面積分別是S、S ,它們所在平面所成銳二面角的 為&）（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)是/,側(cè)面積和體積分別是梭柱側(cè)和嶺俶住，它的直截面 的周長(zhǎng)和面積分別是5和，則 s斜樓柱何=CJ . ”斜梭柱=SJ.（9）歐拉定理（歐拉公式）V + F-E = 2（簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F）. E二各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地，若每個(gè)面的邊數(shù)為斤的多邊形，則 面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：E