2017-2018期末隨機過程試題及答案

1、1.設(shè)A,B,C為三個隨機事件，證明條件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 隨機過程期末考試卷 1 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為 的泊松分布，則X的特征函數(shù)為。 2. 設(shè)隨機過程X(t)二Acos(t+ )，- t 其中為正常數(shù)，A和是相互獨 立的隨機變量，且A和 服從在區(qū)間0,1上的均勻分布，則X(t)的數(shù)學(xué)期望 為。 3. 強度為入的泊松過程的點間間距是相互獨立的隨機變量，且服從均值為_ 的同一指數(shù)分布。 4. 設(shè) Wn,n 1是與泊松過程X(t),t 0對應(yīng)的一個等待時間序列，則 Wn服 從分布。 2.設(shè)X(t), t 0是獨立增量過程,且X(0)=0,證明X(t)

2、, t 0是一個馬爾科夫 過程。 5. 袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回， 對每一個確定的t對應(yīng)隨機變量X(t) 3,如果t時取得紅球，則這個隨機過 et,如果t時取得白球 程的狀態(tài)空間。 6 .設(shè)馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(pj)，n步轉(zhuǎn)移矩陣P(n) (p(n)，二者之間 的關(guān)系為。 7.設(shè)Xn，n 0為馬氏鏈，狀態(tài)空間I，初始概率Pi P(Xo=i)，絕對概率 Pj(n) P Xn j，n步轉(zhuǎn)移概率pjn)，三者之間的關(guān)系為 。 8 .設(shè)X(t),t0是泊松過程，且對于任意t2 t10則 PX(5)6|X(3) 4 9.更新方程K t H t 10 .記

3、EXn,對一切a t K t s dF s解的一般形式為 0 0,當(dāng) t 時，M t+a M t 3.設(shè)Xn,n 0為馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為I，則對任意整數(shù)n 0,1 l n和 i, j I，n步轉(zhuǎn)移概率p(n)p(k)pkF)，稱此式為切普曼一科爾莫哥洛夫方程, k I 證明并說明其意義。 得分 評卷人 、證明題(本大題共4道小題，每題8分，共32 分) 2.設(shè)顧客以每分鐘2人的速率到達，顧客流為泊松流，求在 客不超過3人的概率。 2分鐘內(nèi)到達的顧 4.設(shè)N(t),t 0是強度為的泊松過程，Yk,k=1,2丄是一列獨立同分布隨機變 N(t) 量，且與N(t),t 0獨立，令X(t)=Yk,t

4、 0,證明：若E(Y；v )，貝U k=1 E X(t) tE Yi。 得分 評卷人 三、計算題(本大題共4道小題，每題8分，共32分) 1.設(shè)齊次馬氏鏈的 1/3 2/30 一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 P 1/302/3，求其平穩(wěn)分布 01/3 2/3 3. 設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。又設(shè)今天下雨 而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為 狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè) 0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的 概率。 得分 評卷人 四、簡答題(本題6分) 簡述指數(shù)分布的無記憶性與馬爾科夫鏈的無后效性的關(guān)系 12 12 14 12 12 14 4.

5、 設(shè)有四個狀態(tài) 匸0,1,2,3的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 0 0 0 0 1414 0 1 (1) 畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖； (2) 對狀態(tài)進行分類； (3) 對狀態(tài)空間I進行分解 P(n)P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j, ux(l)=k X(0)=i = k I 填空題 1. 2. _1(sin( t+1)-sin t)。3. _- 4. 】t,2t丄;e,e2L。 33 6 . P(n) Pn .Pj(n)Pi pjn) i I 8. 6 18e s dM s 10. P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i k I = P X(l)=k X(0)=i gP X(n)=

6、j X(l)=k,X(0)=i =PkPky，其意義為 n 步轉(zhuǎn) k I 移概率可以用較低步數(shù)的轉(zhuǎn)移概率來表示。 4. 證明：由條件期望的性質(zhì)E X(t) E E X(t) N(t)，而 N(t) E X(t) N(t)n EYi N(t) n i=1 .證明題 nn 1. =EYi N(t) n =EYi =nE(YJ，所以 E X(t) tE 卑 i=1i=1 證明：左邊=鴛 P(ABC) P(AB)pAB)P(B A )=右邊 P(AB) P(A) 三.計算題（每題10分，共50分） 1.解： 證明：當(dāng)0 x t2 L tn t 時, 2. P(X(t) X X(tJ=X1,X(t 2)

7、=X2,L X(tn)=Xn) = P(X(t)-X(t n) X-Xn X(tJ-X(O)=X 1,X(t 2)-X(0)=X 2,L X(t n)-X(0)=X n)= P(X(t)-X(t n) X-Xn)，又因為 1 1 1；1；2 33 2 1 2 13 解方程組p和i 1，即33 3 ；2；3 3 3 1231 P(X(t) X X(t n)=X n)= P(X(t)-X(t n) X-Xn X(t n )=Xn )= 解得1 124 7 ,2 y ,37，故平穩(wěn)分布為 12 4 777 P(X(t)-X(t n) X-Xn)，故 P(X(t) xX(tJ=X1，X(t2)=X2,

8、L X(tn)=Xn)=P(X(t) xXg) 3. 證明： 0是顧客到達數(shù)的泊松過程, 2，故 P N(2)=k k! ，則 P N(2)3 P N(2)=0 +P N(2)=1 +P N(2)=2 +P N(2)=3e-4 4e-4 8e-4 里 e-4 3 71 -4 e Poo Poi 0.7 0.3 3解: 由題設(shè)條件， 乙曰.ih. 彳寸 少 轉(zhuǎn)移概率矩陣為P= J疋 P10 P11 0.4 0.6 p 0.61 0.39 P PP 0.5749 0.4251 PP= ,四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為 ,從 0.52 0.48 0.5668 0.4332 而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為常）0.5749。 4. 解：（1）圖略； （2） p33 1,而P30, P31, P32均為零，所以狀態(tài)3構(gòu)成一個閉集，它是吸收態(tài), 記3 ; 0, 1兩個狀態(tài)互通，且它們不能到達