利用軸對(duì)稱求最短距離問(wèn)題

1、For personal use only in study and research; not for commercialuse利用軸對(duì)稱求最短距離問(wèn)題基本題引入：如圖（1）,要在公路道a上修建一個(gè)加油站，有A,B兩人要去加油站加 油。加油站修在公路道的什么地方，可使兩人到加油站的總路程最短？使AM與 BM的和最小。設(shè) A是A的對(duì)稱點(diǎn)，本問(wèn)題也就是要使A M與BM的和最小。在連接A B的線中，線段 A B最短。因此，線段 A B與直線a的交點(diǎn)C的位置即為所求。如圖3,為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，我們不妨在直線 a上另外任取一點(diǎn) N,連接ANBN A No因?yàn)橹本€a是 A A的對(duì)稱軸，點(diǎn) M

2、,N在a上，所以 AM= A M,AN= A N。 AM+BM= A M+BM= A B在厶A BN中，/ A B A N+BN AM+B AN+BN即 AM+BMt小。點(diǎn)評(píng)：經(jīng)過(guò)復(fù)習(xí)學(xué)生恍然大悟、 面露微笑，不一會(huì)不少學(xué)生就利用軸對(duì)稱知識(shí)將上一道中考題解決了。思路如下： BC= 9 （定值）， PBC的周長(zhǎng)最小，就是 PB+ PC最小.由 題意可知，點(diǎn) C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) A,顯然當(dāng)P、A B三點(diǎn)共線時(shí)PB+ PA最小此 時(shí) DP= DE PB+ PA= AB.由/ ADM/ FAE / DFA=Z ACB= 90,得厶 DAFA ABC. EF/ BC,1 159得 AE= BE=

3、AB=,EF=./ AF：BC= AD：AB,即卩 6 : 9 = AD：15. / AD= 10. Rt ADF2 229 2525中，AD= 10, AF= 6,. DF= 8. / DE= DF+ FE= 8+ =一 . 當(dāng) x = 時(shí)， PBC的周長(zhǎng)222最小，y值略。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)告訴我們： 教師要充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程， 遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律， 合理 組織教學(xué)內(nèi)容，建立科學(xué)的訓(xùn)練系統(tǒng)。使學(xué)生不僅獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，更要獲得數(shù)學(xué)思想和觀念，形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。 同時(shí)每年的中考題也千變?nèi)f化， 為了提高學(xué)生 的應(yīng)對(duì)能力，除了進(jìn)行專題訓(xùn)練外，還要多歸納多總結(jié)，將一類問(wèn)題集中呈現(xiàn)給學(xué)

4、生。一、兩條直線間的對(duì)稱題目1如圖，在曠野上，一個(gè)人騎馬從A出發(fā)，他欲將馬引到河 a1飲水后再到a2飲水，然后返回 A地，問(wèn)他應(yīng)該怎樣走才能使總路程最短。點(diǎn)評(píng)：這道題學(xué)生拿到時(shí)往往無(wú)從下手。 但只要把握軸對(duì)稱的性質(zhì)就能迎刃而解了。作法：過(guò)點(diǎn)A作a1的對(duì)稱點(diǎn)A,作a2的對(duì)稱點(diǎn)A,連接A A交a1、a2于B、C,連接BC. 所經(jīng)過(guò)路線如圖5: A-B-C-A,所走的總路程為 A A。A 第1題圖第2題圖二、三角形中的對(duì)稱題目2 如圖,在厶ABC中,AC=BC=2, / ACB=90 ,D是BC邊上的中點(diǎn)，E是AB邊上的一 動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED勺最小值是點(diǎn)評(píng)：本題只要把點(diǎn) C、D看成基本題中的A、E兩

5、鎮(zhèn)，把線段AB看成燃?xì)夤艿繿,問(wèn)題就可以迎刃而解了，本題只是改變了題目背景，所考察的知識(shí)點(diǎn)并沒(méi)有改變。三、四邊形中的對(duì)稱題目3 如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為8, M在DC上，且DM=2,N是AC上的動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN勺最小值為多少?點(diǎn)評(píng)：此題也是運(yùn)用到正方形是軸對(duì)稱圖形這一特殊性質(zhì)，點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)正好是點(diǎn)B,最小值為 MB= 10。第3題圖DMCB四、圓中的對(duì)稱題目4已知：如圖，已知點(diǎn) A是O O上的一個(gè)六等分點(diǎn)，點(diǎn) B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是 半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)，若O O的半徑長(zhǎng)為1，求AP+BP的最小值。點(diǎn)評(píng)：這道題也運(yùn)用了圓的對(duì)稱性這一特殊性質(zhì)。點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B在圓上，AB交ON于

6、點(diǎn) p,由/ AON= 60 , / B ON= 30,/ AOB = 90,半徑長(zhǎng)為 1 可得 AB=返。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)p時(shí)，此時(shí)AP+BP有最小值為 2B 第5題圖1EJH* f fB/CAFG第5題圖2五、立體圖形中的對(duì)稱題目5如圖1是一個(gè)沒(méi)有上蓋的圓柱形食品盒，一只螞蟻在盒外表面的A處，它想吃到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)中點(diǎn) B處的食物，已知盒高h(yuǎn)= 10cm,底面圓的周長(zhǎng)為 32cm, A距離下底面 3cm.請(qǐng)你幫小螞蟻算一算，為了吃到食物，它爬行的最短路程為_(kāi)cm 點(diǎn)評(píng)：如圖2,此題是一道立體圖形問(wèn)題需要轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題來(lái)解決，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)得矩形EFGH作出點(diǎn)B關(guān)于EH的對(duì)稱點(diǎn)B,作AC丄GH

7、于點(diǎn)C,連接A B。在Rt A BC中，AC= 16, B C= 12,求得A B = 20,則螞蟻爬行的最短路程為20cm。通過(guò)變式訓(xùn)練既解決了一類問(wèn)題， 又歸納出了最本質(zhì)的東西， 以后學(xué)生再碰到類似問(wèn)題 時(shí)學(xué)生就不會(huì)不知所措。同時(shí)變式訓(xùn)練培養(yǎng)了學(xué)生思維的積極性和深刻性，發(fā)展了學(xué)生的應(yīng)變能力。綜上所述，引導(dǎo)學(xué)生在熟練掌握書(shū)本例題、習(xí)題的基礎(chǔ)上，進(jìn)行科學(xué)的變式訓(xùn)練，對(duì)鞏固基礎(chǔ)、提高能力有著至關(guān)重要的作用。更重要的是，變式訓(xùn)練能培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維、逆向思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生全方位、多角度思考問(wèn)題的能力，有助于提高學(xué)生 分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。題目6長(zhǎng)方體問(wèn)題 如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)

8、方體的頂點(diǎn) A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬 到對(duì)角頂點(diǎn)Ci處（三條棱長(zhǎng)如圖所示），問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？析：展開(kāi)圖如圖所示，、25 ： . 29 ：37路線1即為所求。2ACS3 =v25；Bi長(zhǎng)、寬、高中，較短的兩條邊的和作為一條直角邊，最 長(zhǎng)的邊作為另一條直角邊， 斜邊長(zhǎng)即為最短路線長(zhǎng)。由學(xué)生引申總結(jié)以下1 4:1、已知：如圖，A B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，點(diǎn) A與A關(guān)于直線丨對(duì)稱，連結(jié) A B交丨于P 點(diǎn)，若AB=a,（ 1 ）求AP+PB（2）若點(diǎn)M是直線丨上異于P點(diǎn)的任意一點(diǎn)，求證：AM MB AP PB .2、已知：（1）A B兩點(diǎn)在直線在丨上求作一點(diǎn)丨的同側(cè)，試分別畫(huà)出符合條

9、件的點(diǎn)使得AM - BM最小；A ” B(2)在丨上求作一點(diǎn)使得AM - BM最大；A .i,B(3)在丨上求作一點(diǎn)使得AM+BMR 小。3、如圖，AD為/ BAC的平分線，DEL AB于E, DF丄AC于F,那么點(diǎn)E、F是否關(guān)于 AD對(duì)稱?若對(duì)稱，請(qǐng)說(shuō)明理由。D4、已知：如圖，點(diǎn) p1, p2分別是P點(diǎn)關(guān)于/ ABC的兩邊BA BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接 pp2，分別交BA BC邊于E、D點(diǎn)，若p1 p2 =m(1) 求厶PDE的周長(zhǎng)；Pl(2) 若M是BA邊上異于 E的一點(diǎn)，N是BC邊上異于 D的一點(diǎn)，求證： PMN的周長(zhǎng) PDE的周長(zhǎng)。軸對(duì)稱在本題中的主要作用是將線段在保證長(zhǎng)度不變的情況下改變

10、位置，要注意體會(huì)軸對(duì)稱在這方面的應(yīng)用。以此作為模型我們可以解決下列求最小值的問(wèn)題。5. 如圖，菱形ABCD中, AB=2 / BAD=60 , E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線 AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PE+PB的最小值是。分析：首先分解此圖形，構(gòu)建如圖5模型，因?yàn)镋、B在直線AC的同側(cè)，要在 AC上找一點(diǎn)P,使PE+PB最小，關(guān)鍵是找出點(diǎn) B或E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)。如圖6,由菱形的對(duì)稱性 可知點(diǎn)B和D關(guān)于AC對(duì)稱，連結(jié) DE此時(shí)DE即為PE+PB勺最小值，由/ BAD=60 , AB=AD AE=BE知,DE 3 22故PE+PB的最小值為. 3。僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For pers

11、onal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschzugcommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to員bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 員 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 員 ex.以下無(wú)正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zvcfeen verwendet werden.Pour l e tu