對數(shù)的換底公式及其推論

1、對數(shù)的換底公式及其推論復(fù)習(xí)引入：對數(shù)的運(yùn)算法則如果a 0,a 1 , M 0 ,N 0 有l(wèi)oga(MN)logaM logaN(1).MlogaNlogaM logaN(2)logaMnnlogaM(n R)(3)、新授內(nèi)容：1.對數(shù)換底公式loga Ng( a 0 ,a1, m 0 ,m1,N0)log max證明：設(shè) log a N = x ,貝U a = n 兩邊取以m為底的對數(shù):logmaxlog m Nx log m a從而得：x logmN log a Nlogm N*logm alog ma2.兩個(gè)常用的推論： log a b log b a 1 ,logab logbc lo

2、gca 1 ” logam bnloga b(a, b 0且均不為1) *m證：lOgablOgba駕器1logm N log am bn-loga b mlgbnn Igbmlga mlga三、講解范例:例 1 已知 log 2 3 = a ， log 3 7 = b,用a, b 表示log 42561解：因?yàn)?log 2 3 = a，則 log32 a又log 37 = b,-log 42 56log 356 log 3 7 3 log32 ab 3log 3 42 log 37 log32 1 ab b 1例2計(jì)算：51 log 0.2 3解：原式55嘰3log4 3 log9 2 lo

3、g1 4 32.25又：4y6Z(盒 lg66 )igk|g k Ig 皆1gkH601lOg5-53原式=*log123 2log 325c 1：log2 2 -4453 .42例 3 設(shè) x, y,z (0,)且 3x4y6z11 求證-11- ；2比較3x,4y,6z的大小+x2yz證明1 ：設(shè)3x4y6z kx, y, z (0,) k 1取對數(shù)得:xlgk,ylgkz lgklg3lg4lg611lg 3lg42lg3 lg42lg3 2lg2lg6 1x 2y lg k2lgk2lgk2lgklgk z,642 3x 4y34lg 64 lg 81lg klg -81()lgklg

4、 klg3lg4lg3lg4lg3lg 40二 3x4y 4y6z 3x4y 6z 例 4 已知 log a x= log a c+b，求 x，分析：由于x作為真數(shù)，故可直接利用對數(shù)定義求解；另外,由于等式右端為兩實(shí)數(shù)和的形式，b的存在使變形產(chǎn)生困難，故可考慮將log a c移到等式左端,或者將b變?yōu)閷?shù)形式. 解法一：由對數(shù)定義可知:loga c ba galoga ca解法二:由已知移項(xiàng)可得logax log a c亦, x 即 loga -cb*由對數(shù)定義知:解法三:b loga alOga Xlog a c logablogac ab四、課堂練習(xí):已知log 18 9 = a ,b18

5、 = 5 ,a, b 表示 log 36 45解：logi8 9 = a-log181|1 logi8 2a 二 log182 = 1 alog 36 45log 18 5 = blog 18 45log18 9log 18 361 loglog 3 5 = q,求 lg 5.log 233 = plog3 5解：t log 8 3 = plog 18 518 2T 18b = 5若 log 8 3 = p ,log 2 3log 310三、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:四、課后作業(yè)：log a x1 證明：旦 1 loga blog ab x3plog 3 23plog 3 5log3 2 l

6、og 3 5換底公式及其推論3pq1 3pq則：x ap x (ab)q ap (ab)q aq(1 r)p q 01 rq證法 1： 設(shè) log a X p , log ab X q , log a b raqbqb ar從而 p q(1 r)即：loga x 1 log a b (獲證) log ab X證法2:由換底公式 左邊=log a x log xab log a ab 1 loga b =右邊 log ab x log x a2已知 log 色 b1log a2 b?log a. bn求證:log a1a2 an(b1b2bn)證明：由換底公式lg b1 lg a1lg b2lg a2lg bnlg an