06 統(tǒng)計(jì)學(xué) 假設(shè)檢驗(yàn)

1、第六章 假設(shè)檢驗(yàn) v第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)概述 v第二節(jié) 總體參數(shù)檢驗(yàn) v第三節(jié) 非參數(shù)檢驗(yàn) 第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)概述 v 一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念 v 1、假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)的差別主要在于：區(qū)間估計(jì)是用 給定的大概率推斷出總體參數(shù)的范圍，而假設(shè)檢驗(yàn)是以小 概率為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)總體的狀況所做出的假設(shè)進(jìn)行判斷。假設(shè) 檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成完整的統(tǒng)計(jì)推斷內(nèi)容。假 設(shè)檢驗(yàn)分為兩類(lèi)：一類(lèi)是參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，另一類(lèi)是非參數(shù) 假設(shè)檢驗(yàn)。 2、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想 v 假設(shè)檢驗(yàn)可以用小概率原理解釋。 v 小概率原理：即指概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)幾乎不 可能發(fā)生。 v 如果對(duì)總體的某種假設(shè)是真實(shí)的，那么不利于或不支持這 一

2、假設(shè)的小概率事件A在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的； 要是在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生了，就有理由懷疑這一假設(shè) 的真實(shí)性。 v 例1：消費(fèi)者協(xié)會(huì)接到消費(fèi)者投訴，指控品牌紙包裝飲料 存在容量不足，有欺騙消費(fèi)者之嫌。包裝上標(biāo)明的容量為 250毫升。消費(fèi)者協(xié)會(huì)從市場(chǎng)上隨機(jī)抽取50盒該品牌紙包 裝飲品，測(cè)試發(fā)現(xiàn)平均含量為248毫升，小于250毫升。 這是生產(chǎn)中正常的波動(dòng)，還是廠商的有意行為？消費(fèi)者協(xié) 會(huì)能否根據(jù)該樣本數(shù)據(jù)，判定飲料廠商欺騙了消費(fèi)者呢？ v消費(fèi)者協(xié)會(huì)實(shí)際要進(jìn)行的是一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)工 作。檢驗(yàn)總體平均 =250是否成立。這就 是一個(gè)原假設(shè)(null hypothesis)，通常用 表示，即： ： =2

3、50 0 H 0 H v 與原假設(shè)對(duì)立的是備選假設(shè)(alternative hypothesis) ， 備選假設(shè)是在原假設(shè)被否定時(shí)另一種可能成立的結(jié)論。備 選假設(shè)比原假設(shè)還重要，這要由實(shí)際問(wèn)題來(lái)確定，一般把 期望出現(xiàn)的結(jié)論作為備選假設(shè)。 1 H v構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來(lái)決定是“接受原假設(shè)，拒絕備 選假設(shè)”，還是“拒絕原假設(shè)，接受備選假設(shè)”。 對(duì)不同的問(wèn)題，要選擇不同的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。檢驗(yàn) 統(tǒng)計(jì)量確定后，就要利用該統(tǒng)計(jì)的分布以及由實(shí) 際問(wèn)題中所確定的顯著性水平，來(lái)進(jìn)一步確定檢 驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量拒絕原假設(shè)的取值范圍，即拒絕域。在 給定的顯著性水平下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的可能取值范 圍被分成兩部分：小概率區(qū)域與大概率區(qū)域。小

4、 概率區(qū)域就是概率不超過(guò)顯著性水平的區(qū)域，是 原假設(shè)的拒絕區(qū)域；大概率區(qū)域是概率為1-的區(qū) 域，是原假設(shè)的接受區(qū)域。 二、兩種類(lèi)型的錯(cuò)誤 0 H 0 H 0 H 0 H v奈曼(Ney man)和皮爾生(Pearson)提出一個(gè)原 則，即在控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率的條件下， 盡量使犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率減小。 v這一原則的含義是，原假設(shè)要受到維護(hù)，使它不 致輕易被否定；若檢驗(yàn)結(jié)果否定原假設(shè)，則說(shuō)明 否定的理由是充分的，同時(shí)，做出否定判斷的可 靠程度（即概率）1-也得到保證 三、檢驗(yàn)功效 v 在犯第一類(lèi)錯(cuò)誤概率得到控制的條件下，犯取偽錯(cuò)誤的概 率也要盡可能地小，或者說(shuō)，不取偽的概率1-應(yīng)盡可能 增大。

5、1-越大，意味著當(dāng)原假設(shè)不真實(shí)時(shí)，檢驗(yàn)判斷出 原假設(shè)不真實(shí)的概率越大，檢驗(yàn)的判別能力就越好；1- 越小，意味著當(dāng)原假設(shè)不真實(shí)時(shí)，檢驗(yàn)結(jié)論判斷出原假設(shè) 不真實(shí)的概率越小，檢驗(yàn)的判別能力就越差。可見(jiàn)1-是 反映統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)判別能力大小的重要標(biāo)志，我們稱(chēng)之為檢驗(yàn) 功效或檢驗(yàn)力。 第二節(jié) 總體參數(shù)檢驗(yàn) v 一、單側(cè)檢驗(yàn)與雙側(cè)檢驗(yàn) /2 1/2 -Z/2 Z/2 Z 0 0 Z 雙側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn) v用單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，使用左側(cè) 檢驗(yàn)還是右側(cè)檢驗(yàn)，決定于備選假設(shè) 中的不等式形式與方向。與“不相等” 對(duì)應(yīng)的是雙側(cè)檢驗(yàn)，與“小于”相對(duì) 應(yīng)的是左側(cè)檢驗(yàn)，與“大于”相對(duì)應(yīng) 的是右側(cè)檢驗(yàn)。 二、參數(shù)檢驗(yàn) v

6、參數(shù)檢驗(yàn)都是先對(duì)樣本所屬總體的性 質(zhì)作出若干的假定，或?qū)傮w的分布 形狀加以限定，然后對(duì)總體的有關(guān)參 數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)。因此，參 數(shù)檢驗(yàn)又稱(chēng)為限定分布檢驗(yàn)。如在總 體服從正態(tài)分布條件下，對(duì)其均值進(jìn) 行檢驗(yàn)。下面通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明參 數(shù)檢驗(yàn)方法。 （一）總體均值的檢驗(yàn) v考慮下面三種類(lèi)型： （1) H0 :=0 ， H1：0 (2) H0 :0 ， H1 ：0 (3) H0 :0 ， H1 ：0 1、正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)-方差已知 v構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)原假設(shè)H0 :=0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量服從 N(0.1)，給定顯著水平，查標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分布表得臨界值，按檢驗(yàn)規(guī)則判斷。 n x Z 0 檢驗(yàn)規(guī)則： v

7、(1) H0 :=0 ， H1：0 v (2) H0 :=0 ， H1:0 v(3) H0 :=0 ， H1 ：0 /2 1 /2 -Z/2 Z/2 Z 0 0 Z 檢驗(yàn)規(guī)則： v(1) H0 :=0 ， H1：0 Z Z/2 ，拒絕H0； Z Z/2 ，接受H0 v (2) H0 :=0 ， H1 :0 Z Z ，拒絕H0 ； Z Z ，接受H0 v(3) H0 :=0 ， H1 ：0 Z Z ，拒絕H0 ； Z Z ，接受H0 v在例1中，按歷史資料，總體的標(biāo)準(zhǔn)差 是4毫升。我們通過(guò)檢驗(yàn)總體均值是否 等于250毫升，來(lái)判斷飲料廠商是否 欺騙了消費(fèi)者。程序如下： v第一步：確定原假設(shè)與備選假

8、設(shè)。 ： =250； ： 250 v以上的備選假設(shè)是總體均值小于 250毫升，因?yàn)橄M(fèi)者協(xié)會(huì)希望通過(guò) 樣本數(shù)據(jù)推斷出廠商的欺騙行為(大 于250毫升一般不會(huì)發(fā)生)。因此使 用左側(cè)檢驗(yàn)。 0 H 1 H v 第二步：構(gòu)造出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。 v 我們知道，如果總體的標(biāo)準(zhǔn)差已知，則正態(tài)總體(正常情 況下，生產(chǎn)飲料的容量服從正態(tài)分布)的抽樣平均數(shù)，也 服從正態(tài)分布，對(duì)它進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換，可得到： v v 可用z作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。 1 ,0 0 N n X z v第三步：確定顯著性水平。 v通常顯著水平由實(shí)際問(wèn)題確定，我們這 里取=0.05，左側(cè)檢驗(yàn)，拒絕域安排 在左邊，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值： v- =-1

9、.645， v拒絕域是z 30%。 v 以上的備選假設(shè)是企業(yè)自我聲明的結(jié)論，我們希望該企業(yè) 說(shuō)的是實(shí)話(huà)。因此使用右側(cè)檢驗(yàn)。 0 H 1 H v 第二步：構(gòu)造z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。 v 第三步：確定拒絕域。 v 顯著水平=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值： =1.645，拒絕域是z1.645。 z v第四步：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值。 v樣本成數(shù)p=220/600=0.37，總體 假設(shè)的成數(shù) =0.3,代入z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 得： 0.370.3 3.5 10.3 1 0.3 /600 p z n v第五步：判斷。 v檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本取值z(mì)=3.51.645， 落入拒絕域。拒絕原假設(shè)，接受備選 假設(shè)，認(rèn)為樣本數(shù)

10、據(jù)證明該企業(yè)聲明 屬實(shí)。 三、p-值檢驗(yàn) v p-值檢驗(yàn)就是通過(guò)計(jì)算p-值，再將它與顯著性水平作比 較，決定拒絕還是接受原假設(shè)。所謂p-值就是拒絕原假設(shè) 所需的最低顯著性水平。p-值判斷的原則是：如果p-值小 于給定的顯著性水平，則拒絕原假設(shè)；否則，接受原假 設(shè)?；蛘?，更直觀來(lái)說(shuō)就是：如果p-值很小，拒絕原假設(shè)， p-值很大，接受原假設(shè)。請(qǐng)大家注意的是這里的p-值是指 概率，不要與成數(shù)指標(biāo)相混淆。 v z檢驗(yàn)的p-值： v 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為z統(tǒng)計(jì)量的p-值計(jì)算公式， 表示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 的抽樣數(shù)據(jù)，則p-值的計(jì)算方法如下： v 如果 ： ， p-值=2 v 如果 ： ， p-值= v 如果 ： ， p-值= 1 H 1 H 1 H 0 0 0 0 zzp 0 zzp 0 zzp v 例：利用p-值檢驗(yàn)重新檢驗(yàn)例1。 v 解： v 第一、第二步與例1完全相同，故省略之。 v 第三步：計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)的數(shù)值。 v 樣本平均數(shù) ，n=50，代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量得： 248X 54.