2019年高考數(shù)學(xué)高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編專題08數(shù)列理(含解析)

1、專題 08數(shù)列1【 2019 年高考全國(guó) I 卷理數(shù)】記 Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和已知 S40， a55 ，則A an2n5B an3n 10C Sn2n28nD Sn1 n22n2【答案】 AS4d4 3 0a134a12n5 ， Sn24n , 故選 A【解析】由題知，2，解得， ad2nna5a1 4d5【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)和公式，滲透方程思想與數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n 項(xiàng)公式即可列出關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程，解出首項(xiàng)與公差，再適當(dāng)計(jì)算即可做了判斷2【 2019 年高考全國(guó)III卷理數(shù)】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an 的前 4 項(xiàng)和

2、為 15，且 a53a34a1 ，則 a3A16B 8C4D 2【答案】 C【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列 an 的公比為 qa1a1q a1q2a1 q315，則43a1 q2，a1q4a1a11,4 ，故選 C解得， a3 a1 q2q2【名師點(diǎn)睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.3【 2019 年高考浙江卷】設(shè)2N ，則a， bR，數(shù)列 an 滿足 a1=a， an +1=an +b， nA當(dāng) b1 ,a10B當(dāng)b1 ,a10210410C當(dāng) b2, a1010D當(dāng) b4, a1010【答案】 A【解析】當(dāng)b=0 時(shí)，取 a=0，則 an0, nN .1當(dāng) b0 時(shí)

3、，令 xx2b ，即 x2xb0 .則該方程14b0，即必存在x0 ，使得 x02x0 b0 ，則一定存在a1 =a=x0 ，使得 an1an2ban 對(duì)任意 nN 成立，a114b解方程 a2ab20 ，得，114b10a114b22，使得 a1a2a1010 ，當(dāng)時(shí)，即 b90 時(shí)，總存在故 C、 D 兩項(xiàng)均不正確 .當(dāng) b 0 時(shí)， a2a12b b ，則 a3a22bb2b ，a32b b22a4bb.22b1a4111171,a5112222162 ，（）當(dāng)時(shí)，12111a612224則，a7221922 ，2183a8910224，a9a82110則2，a10a921102 ，故

4、A 項(xiàng)正確 .111211b=a=0 ，則a2, a342 ，（）當(dāng)4 時(shí)，令 a144a32 12a4111所以4242 ，以此類推，2a212a1111094242 ，所以故 B 項(xiàng)不正確 .故本題正確答案為A.【名師點(diǎn)睛】遇到此類問(wèn)題，不少考生會(huì)一籌莫展. 利用函數(shù)方程思想，通過(guò)研究函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)一步討論 a 的可能取值，利用“排除法”求解 .4【 2019 年高考全國(guó) I 卷理數(shù)】記 Sn 為等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和若a1125=_， a4 a6 ，則S【答案】 121331 , a4a6 ，所以 ( 1 q3 )21 q5 , 又 q【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q ，由已知 a

5、120 ，333所以 q3, 所以a1 (151(135 )121 S5q )31q133【名師點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問(wèn)題的基本要求本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式的計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤5【 2019 年高考全國(guó) III卷理數(shù)】記 Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， a10， a23a1 ，則S10_.S5【答案】 4【解析】設(shè)等差數(shù)列nd, a 的公差為因 a23a1 ，所以 a1d3a1 ，即 2a1d ，S1010a1109 d100a124 所以5425a1S55a12d【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)使用轉(zhuǎn)化思想得出答案6【 2

6、019 年高考北京卷理數(shù)】設(shè)等差數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S，若 a =- 3， S=- 10，則 a =_，S 的nn255n最小值為 _ 【答案】 0 ，10.【 解 析 】 等 差 數(shù) 列 a中 ,S55a310 , 得 a32, 又 a23 , 所 以 公 差 d a3a2 1 ,na5 a3 2d0 ,3由等差數(shù)列an 的性質(zhì)得 n5 時(shí) ,an0, n6 時(shí) , an 大于 0, 所以 Sn 的最小值為 S4或 S5 , 即為10 .【名師點(diǎn)睛】 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?求和公式 ?等差數(shù)列的性質(zhì) , 難度不大 , 注重重要知識(shí) ?基礎(chǔ)知識(shí)?基本運(yùn)算能力的考查 .7【 201

7、9 年高考江蘇卷】已知數(shù)列 an ( nN * ) 是等差數(shù)列，Sn 是其前 n 項(xiàng)和 . 若 a2a5a8 0, S927 ，則 S8 的值是 _.【答案】 16a2a5a8a1d a14da17d 0【解析】由題意可得：9 8 d，S99a1272a1587 d4028 216.解得：，則 S8 8a1d22【名師點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問(wèn)題，是高考必考內(nèi)容，解題過(guò)程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建a1, d 的方程組 .8【 2019 年高考全國(guó) II卷理數(shù)】已知數(shù)列 an 和 bn 滿足 a1=1， b1=0，

8、4an 1 3an bn4 ，4bn 1 3bn an 4 .（ I ）證明： an+bn 是等比數(shù)列， an bn 是等差數(shù)列；（ II ）求 an 和 bn 的通項(xiàng)公式 .【答案】（ I ）見解析；（2） an11112nn， bn2nn.22【解析】（ 1）由題設(shè)得 4(anbn1)2( anbn ) ，即 an 1bn 111(an bn ) 2又因?yàn)?a1+b1=l ，所以anbn是首項(xiàng)為 1，公比為1 的等比數(shù)列2由題設(shè)得 4( an 1 bn 1 ) 4(anbn )8，即 an 1bn 1anbn2 又因?yàn)?a1 b1=l ，所以anbn是首項(xiàng)為 1，公差為 2的等差數(shù)列（2）

9、由（ 1）知， anbn1， anbn2n12n14所以 an1( anbn ) (an bn )1122nn，2bn11n1( anbn ) ( an bn )22n29【 2019 年高考北京卷理數(shù)】已知數(shù)列 an ，從中選取第i 1 項(xiàng)、第 i 2 項(xiàng)、第 i m項(xiàng)（ i 1i2i m），若ai1ai2aim，則稱新數(shù)列 ai1， ai2 ， ， ai m 為 an 的長(zhǎng)度為 m的遞增子列規(guī)定：數(shù)列 an 的任意一項(xiàng)都是 an 的長(zhǎng)度為1 的遞增子列（）寫出數(shù)列1，8， 3， 7， 5， 6， 9 的一個(gè)長(zhǎng)度為4 的遞增子列；（）已知數(shù)列 an的長(zhǎng)度為p 的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為am0

10、，長(zhǎng)度為 q 的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為an0p qm0an0若 ，求證： a ；（）設(shè)無(wú)窮數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正整數(shù)， 且任意兩項(xiàng)均不相等若 an 的長(zhǎng)度為 s 的遞增子列末項(xiàng)的最小值為 2s1，且長(zhǎng)度為 s 末項(xiàng)為 2s 1 的遞增子列恰有 2s-1n個(gè)（ s=1，2，），求數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式【答案】 ( ) 1,3,5,6（答案不唯一） ；( ) 見解析； ( ) 見解析 .【解析】（）1， 3， 5， 6. （答案不唯一）（）設(shè)長(zhǎng)度為 q末項(xiàng)為 an的一個(gè)遞增子列為ar , ar,L , ar, an .012q 10由p0.kkk+1，所以qk 1k qk因?yàn)?c b c，其中

11、k=1， 2， 3， m.當(dāng) k=1時(shí)，有 q1；ln kln qln k當(dāng) k=2，3， m時(shí)，有k 1k設(shè) f （ x）= ln x ( x1) ，則 f (x)1 ln xxx2令 f ( x)0 ，得 x=e. 列表如下：x(1,e)e(e ，+)f ( x)+0f （ x）極大值8因?yàn)?ln 2ln8ln 9ln 3，所以 f (k)max f (3)ln 326633取 q3 3 ，當(dāng) k=1， 2， 3，4， 5時(shí)， ln k , ln q ，即 kq k ，k經(jīng)檢驗(yàn)知 qk 1k 也成立因此所求 m的最大值不小于5若 m6，分別取 k=3， 6，得 3 q3，且 q56，從而

12、q15243，且 q15 216，所以 q不存在 . 因此所求 m的最大值小于 6.綜上，所求 m的最大值為 5【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題的能力12【 2019 年高考浙江卷】設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ， a34 ， a4S3 ，數(shù)列 bn 滿足：對(duì)每個(gè)n N , Sn bn , Sn 1 bn , Sn 2bn 成等比數(shù)列（ I ）求數(shù)列 an , bn 的通項(xiàng)公式；（ II ）記 can , nN , 證明：c1c2+Lcn2 n, nN.n2bn【答案】（ I ） an

13、2n1 ， bn n n1；（II ）證明見解析 .【解析】（ I ）設(shè)數(shù)列 an 的公差為 d，由題意得a1 2d4, a13d3a1 3d ，解得 a10, d2 從而 an2n2, nN * 所以 Snn2n， nN * ，由 Snbn , Sn 1bn , Sn 2bn 成等比數(shù)列得Sn 12SnbnSn 2 bn bn解得 bn1 Sn2 1 Sn Sn 2 d9所以 bn n2n, nN * （ II ） cnan2n 2n 1 , n N*2bn2n( n 1)n(n 1)我們用數(shù)學(xué)歸納法證明（ i ）當(dāng) n=1時(shí)， c1 =02，不等式成立；（ ii）假設(shè) nkkN * 時(shí)不等

14、式成立，即c1 c2L ck2 k 那么，當(dāng) nk 1時(shí)，c1c2 L ckck 1k212 kk1( k 1)(k2)k2 k22 k 2( k 1k ) 2k 1 1kk即當(dāng) nk1 時(shí)不等式也成立根據(jù)（ i ）和（ ii ），不等式c1c2Lcn2 n 對(duì)任意 nN * 成立【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力和綜合應(yīng)用能力.13 【四川省峨眉山市2019 屆高三高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題】在等差數(shù)列 an 中， a3， a9是方程x224 x120 的兩根，則數(shù)列 an 的前 11 項(xiàng)和等于A 66B 132C66D32【答案】

15、D【解析】因?yàn)?a3 ， a9 是方程 x224x120 的兩根，所以 a3a924，又 a3a9242a6 ，所以 a612，S1111(a1a11) 11 2a6132 ，故選 D.22【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項(xiàng)，數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.14【四川省百校 2019 年高三模擬沖刺卷數(shù)學(xué)試題】定義在 , +)( )?2時(shí)，0上的函數(shù) ? ? 滿足：當(dāng) 0?( ?) =2? -2()()()?；當(dāng) ? 2時(shí)， ? ? =3? ? -2 . 記函數(shù) ? 的極大值點(diǎn)從小到大依次記為10?1 2?并記相應(yīng)的極大值為12?,?,則1?1+ ?2?220?20的值為, ? ,

16、 ?, ? ,?,?, ? ,? , ?+ ? + ?A 19 320 + 1B19 319 + 1C 20 319 + 1D20 320 + 1【答案】 A【解析】由題意當(dāng) 0 ? 2時(shí)， f (x)2xx2( x1)21,極大值點(diǎn)為1，極大值為 1，當(dāng) ? 2時(shí)， f ( x)3 f x2 . 則極大值點(diǎn)形成首項(xiàng)為1 公差為 2的等差數(shù)列，極大值形成首項(xiàng)為1公比為 3 的等比數(shù)列，故 ? = 2? - 1. , ? = 3?- 1, 故 ? = ( 2? - 1) 3?- 1，設(shè) S=?1?1 + ?2?2 + ? + ?20?20 = 1 ?1 + 3 ?31 + 5 ?32 + ? +

17、 39 ?319， 3S=1 ?31 + 3 ?32 + ? + 39 ?320，兩式相減得 -2S=1+2( 31+ 3+ ? + 319)- 320= 1 + 2 3( 1- 319- 39 ?320= - 2 - 38 ?3202)1- 3 S=320+ 1，19故選： A.【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合, 錯(cuò)位相減求和, 確定 ?及?的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵, 考查計(jì)算能力 , 是中檔題 .15【福建省 2019 屆高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測(cè)試數(shù)學(xué)試題】數(shù)列?1= 2，且中， ?anan 1n2)，則數(shù)列 (1) 2前 20192( n-項(xiàng)和為anan 1?14036201940374039AB

18、CD2019101020192020【答案】 B?【解析】： ? + ?- 1 = ?- ?- 1 + 2（ ? 2）， an2an 122 anan1n ，整理得： ( ? - 1) 2 -(?- 1 - 1) 2 = ?， ( ? - 1) 2 -(?1 - 1)2 = ? + (? -1) + ? ? + 2，又 ?1 = 2， ( ? - 1) 2 = ?(?+ 1) ， 21=2= 2 (1-1可得：(?- 1)2?(?+ 1)?)?+ 112 前 2019項(xiàng)和為： 2 ( 1 -1+1-1+ ? +1-1) = 2 ( 1 -1) =2019則數(shù)列( ?- 1)2232019202

19、02020101011故選： B【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累加求和”方法、裂項(xiàng)求和，考查了推理能力、轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于中檔題16【內(nèi)蒙古2019 屆高三高考一模試卷數(shù)學(xué)試題】九章算術(shù) 第三章“衰分”介紹比例分配問(wèn)題：“衰分”是按比例遞減分配的意思, 通常稱遞減的比例( 百分比 ) 為“衰分比” 如：甲、乙、丙、丁“哀” 得 100 ,60 , 36 , 21.6 個(gè)單位 , 遞減的比例為 40% , 今共有糧 m(m 0) 石 , 按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”,已知丙衰分得 80石 , 乙、丁衰分所得的和為 164 石 , 則“衰分比”與 m 的值分別為AC20%3

20、69B 80%36940%360D 60%365【答案】 A【解析】設(shè)“衰分比”為a , 甲衰分得 b 石 ,b(1a) 280由題意得b(1a)b(1a) 3164 ,b80164m解得 b125,a20% ,m369故選 A【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用 , 是基礎(chǔ)題 , 解題時(shí)要認(rèn)真審題 , 注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用17【山東省德州市2019 屆高三第二次練習(xí)數(shù)學(xué)試題】設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，已知 a11，a22 ，且 an 22SnSn 13，記 bnlog 2 a2 n 1log 2a2n ，則數(shù)列n2 的前 10 項(xiàng)和為 _1 bn【答案】 20

21、0【解析】 a11， a22，且 an 22SnSn 13 ， a32 33 2 ， an 22SnSn 13， n 2 時(shí)， an 12Sn 1Sn3 ，兩式相減可得，an2 an 1 2 SnSn 1Sn 1Sn，（ n2 ）即 n2 時(shí)， an 2an 12anan 1 即 an 22an ，12 a32a1 ，數(shù)列 an 的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比均為2， a2n22n 12n ， a2 n 112n 12n 1 ， bnlog 2a2 n1log 2 a2 nn1n2n1 ，n2n2n2則數(shù)列1bn12n1，則1bn的前 10 項(xiàng)和為S 32127252L192 1722412202836200 .故答案為200.【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)公式求解中的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和方法的應(yīng)用，屬于中檔題.18【廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2019 屆高三適應(yīng)性考試（6 月 ) 數(shù)學(xué)試題】在數(shù)列an 中，a11an1,( nN *) ，則 a2019 的值為 _, an 12019n( n 1)【答案】 1【解析】因?yàn)?an1,( nN )1ann(n1)所以 an1 an111n(n1) n，n 1a2a111,2a3a2112,.,