第56講：特殊的平行四邊形-人教版八年級下冊數(shù)學(xué)學(xué)案(教師版)(教育機(jī)構(gòu)專用)

1、特殊的平行四邊形教學(xué)目標(biāo)1、 能用綜合法來證明特殊的平行四邊形的相關(guān)結(jié)論；2、 運(yùn)用特殊的平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理解決計算問題；3、 通過學(xué)生進(jìn)行推理過程的活動，培養(yǎng)學(xué)生抽象概況、合理推理以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎?、學(xué)習(xí)習(xí)慣知識梳理1平行四邊形的性質(zhì)（1） 平行四邊形的概念：有兩組對邊分別_的四邊形叫做平行四邊形（2） 平行四邊形的性質(zhì)：1 邊：平行四邊形的對邊相等2 角：平行四邊形的對角相等3 對角線：平行四邊形的對角線互相平分（3） 平行線間的距離處處相等（4） 平行四邊形的面積：1 平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積2 同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等2平行四邊形的判定（

2、1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形符號語言：abdc，adbc四邊行 abcd 是平 行四邊形1（2） 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形符號語言：ab=dc，ad=bc四邊行 abcd 是平行 四邊形（3） 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形符號語言：abdc，ab=dc四邊行 abcd 是平行四邊形（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形符號語言：abc=adc，dab=dcb四邊行 abcd 是平行四邊形（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形符號語言：oa=oc，ob=od四邊行 abcd 是平行四邊形3矩形的判定（1）矩形的判定：1 矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊

3、形是矩形；2 有三個角是直角的四邊形是矩形；3 對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相_且_的四邊形是矩形”）（2）證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角 線相等題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形4矩形的性質(zhì)（1）矩形的性質(zhì)1 平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；2 角：矩形的四個角都是_；23 邊：鄰邊垂直；4 對角線：矩形的對角線_；5 矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形它有 2 條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連線所在的 直線；對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn)（2）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角線的一個重要性質(zhì)，直角三

4、角形斜邊上的中線等于斜邊的_5菱形的性質(zhì)（1） 菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）（2） 菱形的性質(zhì)1 菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；2 菱形的四條邊都相等；3 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；4 菱形是軸對稱圖形，它有_條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線（3）菱形的面積計算1 利用平行四邊形的面積公式2 菱形面積= ab（a、b 是兩條對角線的長度）6菱形的判定（1）四條邊都_的四邊形是菱形幾何語言：ab=bc=cd=da四邊形 abcd 是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

5、”）幾何語言：acbd，四邊形 abcd 是平行四邊形平行四邊形 abcd 是菱形37正方形的性質(zhì)（1） 正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形（2） 正方形的性質(zhì)1 正方形的四條邊都相等，四個角都是_；2 正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；3 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)4 兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四 條對稱軸8正方形的判定正方形的判定方法：1 先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；2 先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角3 還可以

6、先判定四邊形是平行四邊形，再用 1 或 2 進(jìn)行判定9等腰梯形的性質(zhì)（1）性質(zhì)：1 等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過上下底的_的直線；2 等腰梯形同一底上的兩個角相等；3 等腰梯形的兩條對角線相等4（2）由等腰梯形的性質(zhì)可知，如果過上底的兩個頂點(diǎn)分別作下底的兩條高，可把等腰梯形分成矩形和兩個全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是軸對稱圖形，而一般的梯形不具備這個性質(zhì)10等腰梯形的判定（1） 利用定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2） 定理：同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形（3） 對角線：對角線相等的梯形是等腰梯形判定一個梯形是否為等腰梯形，主要判斷梯形的同一底上的兩個角是否相等，可以通

7、過添加輔 助線把梯形底上的兩個角平移到同一個三角形中，利用三角形來證明角的關(guān)系注意：對角線相等的梯形是等腰梯形這個判定方法不可以直接應(yīng)用參考答案：1.（1）平行3. （1）平分 相等4. （1）直角；相等（2）一半5. （1）26. （1）相等7. （2）直角9.（1）中點(diǎn)典例講練1. 菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)5【例 1】菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ）a兩組對邊分別平行 b兩組對角分別相等c對角線互相平分 d對角線互相垂直【解析】根據(jù)菱形的特殊性質(zhì)可知對角線互相垂直解：a、不正確，兩組對邊分別平行；b、 不正確，兩組對角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確，；c、 不正確，對角線互相平分

8、，兩者均具有此性質(zhì)；d、 菱形的對角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì)故選 d練 1. 如圖，菱形 abcd 中，ac、bd 相交于點(diǎn) o，若bco=55，則ado= 【解析】根據(jù)菱形性質(zhì)得出 acbd，adbc，求出cbo，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出ado 即可解：四邊形 abcd 是菱形，acbd，boc=90，bco=55，cbo=9055=35，四邊形 abcd 是菱形，adbc，6ado=cbo=35，故答案為：35練 2. 如圖，在abcd 中，對角線 ac 與 bd 相交于點(diǎn) o，過點(diǎn) o 作 efac 交 bc 于點(diǎn) e，交 ad 于點(diǎn) f， 連接 ae、cf則四邊形 aecf 是（

9、）a梯形 b矩形 c菱形 d正方形【解析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出 ao=co，afo=ceo，進(jìn)而得出afoceo，再利用平 行四邊形和菱形的判定得出即可解：四邊形 aecf 是菱形，理由：在abcd 中，對角線 ac 與 bd 相交于點(diǎn) o，ao=co，afo=ceo，在afo 和ceo 中，afoceo（aas），fo=eo，四邊形 aecf 平行四邊形，efac，平行四邊形 aecf 是菱形故選：c72. 菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【例 2】如圖，在菱形 abcd 中，點(diǎn) a 在 x 軸上，點(diǎn) b 的坐標(biāo)為（8，2），點(diǎn) d 的坐標(biāo)為（0，2），則 點(diǎn) c 的坐標(biāo)為 【解析】連接

10、ac、bd 交于點(diǎn) e，由菱形的性質(zhì)得出 acbd，ae=ce= ac，be=de= bd，由點(diǎn) b 的坐 標(biāo)和點(diǎn) d 的坐標(biāo)得出 od=2，求出 de=4，ac=4，即可得出點(diǎn) c 的坐標(biāo)解：連接 ac、bd 交于點(diǎn) e，如圖所示：四邊形 abcd 是菱形，acbd，ae=ce= ac，be=de= bd，點(diǎn) b 的坐標(biāo)為（8，2），點(diǎn) d 的坐標(biāo)為（0，2），od=2，bd=8，ae=od=2，de=4，ac=4，點(diǎn) c 的坐標(biāo)為：（4，4）；故答案為：（4，4）8練 3. 菱形 abcd 在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn) b（2，0），dob=60，點(diǎn) p 是對角線 oc 上一個動

11、點(diǎn)，e（0，1），當(dāng) ep+bp 最短時，點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 【解析】點(diǎn) b 的對稱點(diǎn)是點(diǎn) d，連接 ed，交 oc 于點(diǎn) p，再得出 ed 即為 ep+bp 最短，解答即可解：連接 ed，如圖，點(diǎn) b 的對稱點(diǎn)是點(diǎn) d，dp=bp，ed 即為 ep+bp 最短，四邊形 abcd 是菱形，頂點(diǎn) b（2，0），dob=60，點(diǎn) d 的坐標(biāo)為（1， ），點(diǎn) c 的坐標(biāo)為（3， ），可得直線 oc 的解析式為：y= x，點(diǎn) e 的坐標(biāo)為（0，1），可得直線 ed 的解析式為：y=（1+ ）x1，點(diǎn) p 是直線 oc 和直線 ed 的交點(diǎn)，9點(diǎn) p 的坐標(biāo)為方程組的解，解方程組得： ，所以點(diǎn) p 的坐標(biāo)

12、為（），故答案為：（ ）3. 矩形的性質(zhì)；菱形的判定【例 3】如圖，在矩形 abcd 中，e，f 分別是 ad，bc 中點(diǎn)，連接 af，be，ce，df 分別交于點(diǎn) m，n， 四邊形 emfn 是（ ）a正方形 b菱形 c矩形 d無法確定【解析】求出四邊形 abfe 為平行四邊形，四邊形 bfde 為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出befd，即 mefn，同理可證 enmf，得出四邊形 emfn 為平行四邊形，求出 me=mf，根據(jù) 菱形的判定得出即可解：四邊形 abcd 為矩形，adbc，ad=bc，又e，f 分別為 ad，bc 中點(diǎn)，aebf，ae=bf，edcf，de=cf，四邊形

13、abfe 為平行四邊形，四邊形 bfde 為平行四邊形，befd，即 mefn，10同理可證 enmf，四邊形 emfn 為平行四邊形，四邊形 abfe 為平行四邊形，abc 為直角，abfe 為矩形，af，be 互相平分于 m 點(diǎn)，me=mf，四邊形 emfn 為菱形故選 b練 4. 下列說法中，正確的是（ ）a 同位角相等b 對角線相等的四邊形是平行四邊形c 四條邊相等的四邊形是菱形d 矩形的對角線一定互相垂直【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷 a 即可；根據(jù)平行四邊形的判定判斷 b 即可；根據(jù)菱形的判定判斷 c 即可；根據(jù)矩形的性質(zhì)判斷 d 即可解：a、如果兩直線平行，同位角才相等，故 a 選

14、項錯誤；b、 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故 b 選項錯誤；c、 四邊相等的四邊形是菱形，故 c 選項正確；d、 矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故 d 選項錯誤；故選 c11練 5. 如圖，在矩形 abcd 中，e，f 分別為 ad，bc 的中點(diǎn)，連結(jié) af，df，be，ce，af 與 be 交于 g， df 與 ce 交于 h求證：四邊形 egfh 為菱形【解析】根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形式平行四邊形，可證明四邊形 aecf、bedf 是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得 gf 與 eh、eg 與 fh 的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得 egfh的形狀，根據(jù)三角形

15、全等，可得 eg 與 fg 的關(guān)系，根據(jù)菱形的定義，可得證明結(jié)論證明：在矩形 abcd 中 ad=bc，且 e、f 分別是 ad、bc 的中點(diǎn)，ae=de=bf=cf又adbc，四邊形 aecf、bedf 是平行四邊形gfeh、egfh四邊形 egfh 是平行四邊形在aeg 和fbg 中，aeg fbg（aas）eg=gb，ag=gf，在abe 和baf 中 ，12abebaf（sas），af=be，eg=gb= be，ag=gf= af，eg=gf，四邊形 egfh 是菱形4正方形的判定；矩形的性質(zhì)【例 4】如圖所示，一張矩形紙片，要折疊出一個最大的正方形，小明把矩形上的一個角沿折痕 ae翻

16、折上去，使 ab 與 ad 邊上的 af 重合，則四邊形 abef 就是一個大的正方形，他判定的方法 是 【解析】根據(jù)翻折變換及正方形的判定方法進(jìn)行分析即可解：根據(jù)題意可得，其判定方法是：有一組鄰邊相等的矩形是正方形總結(jié)：本題考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，有兩種方法：1 先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；2 先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角練 6. 下列說法中，錯誤的是（ ）a菱形的四條邊都相等13b 對角線互相垂直的平行四邊形是正方形c 四個角都相等的四邊形是矩形d 等腰梯形的對角線相等【解析】根據(jù)各四邊形的判定對各個選項進(jìn)行分析從而得到最后答案

17、解：a 正確，符合菱形的性質(zhì)；b 不正確，得到的應(yīng)該是菱形；c 正確，符合矩形的判定；d 正確，符合等腰梯形的性質(zhì)；故選 b5直角梯形；平行四邊形的性質(zhì)；等腰梯形的性質(zhì)【例 5】如圖所示，在直角梯形 abcd 中，adbc，ad=24cm，ab=8cm，bc=26cm，動點(diǎn) p 從 a 點(diǎn)開始沿 ad 邊向 d 以 1cm/s 的速度運(yùn)動，動點(diǎn) q 從 c 點(diǎn)開始沿 cb 邊向 b 以 3cm/s 的速度運(yùn)動p，q 分別從 a，c 同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為 t （s），t 分別為何值時，四邊形 pqcd 是平行四邊形？等腰梯形？【解析】（1）當(dāng)四邊形 p

18、qcd 是平行四邊形時，必須有 pq=cd，而 pq、cd 均可用含有 t 的式子表示 出來，所以列方程解答即可（2）當(dāng) pq=cd，pdqc 時，四邊形 pqcd 為等腰梯形過 p，d 分別作 pebc，dfbc 后， 可求出 cf=2，所以當(dāng)?shù)妊菪纬闪r，cq=pd+4，然后列方程解答即可14解：（1）adbc，當(dāng) qc=pd 時，四邊形 pqcd 是平行四邊形此時有 3t=24t，解得 t=6當(dāng) t=6s 時，四邊形 pqcd 是平行四邊形（2）adbc，當(dāng) pq=cd，pdqc 時，四邊形 pqcd 為等腰梯形過 p，d 分別作 pebc，dfbc，垂足分別為 e，f四邊形 abfd

19、 是矩形，四邊形 pefd 是矩形ef=pd，bf=adad=24cm，bf=24cmbc=26cmfc=bcbf=2624=2（cm）由等腰梯形的性質(zhì)知，qe=fc=2cmqc=ef+qe+fc=pd+4=adap+4，即 3t=（24t）+4，解得 t=7當(dāng) t=7 時，四邊形 pqcd 是等腰梯形15練 7已知：如圖，等腰梯形 abcd 中，adbc，ab=dc，點(diǎn) p 是腰 dc 上的一個動點(diǎn)（p 與 d、c 不重 合），點(diǎn) e、f、g 分別是線段 bc、pc、bp 的中點(diǎn)（1） 試探索四邊形 efpg 的形狀，并說明理由；（2） 若a=120，ad=2，dc=4，當(dāng) pc 為何值時，

20、四邊形 efpg 是矩形并加以證明【解析】根據(jù)中點(diǎn)的條件，可以利用三角形的中位線定理證明四邊形 efpg 的兩組對邊分別平行，得出這個四邊形是平行四邊形；在平行四邊形的基礎(chǔ)上要說明四邊形是矩形，只要再說明 一個角是直角就可以解：（1）四邊形 efpg 是平行四邊形理由：點(diǎn) e、f 分別是 bc、pc 的中點(diǎn)，efbp（2 分）同理可證 egpc（3 分）四邊形 efpg 是平行四邊形（2）方法一：當(dāng) pc=3 時，四邊形 efpg 是矩形證明：延長 ba、cd 交于點(diǎn) madbc，ab=cd，bad=120，abc=c=60m=60，bcm 是等邊三角形mad=180120=60，16ad=d

21、m=2cm=dm+cd=2+4=6pc=3，mp=3，mp=pc，bpcm 即bpc=90 度由（1）可知，四邊形 efpg 是平行四邊形，四邊形 efpg 是矩形方法二：當(dāng) pc=3 時，四邊形 efpg 是矩形證明：延長 ba、cd 交于點(diǎn) m由（1）可知，四邊形 efpg 是平行四邊形當(dāng)四邊形 efpg 是矩形時，bpc=90 度adbc，bad=120，abc=60 度ab=cd，c=abc=60 度pbc=30且bcm 是等邊三角形abp=pbc=30，pc=pm= cm同方法一，可得 cm=dm+cd=2+4=6，pc=6 =3即當(dāng) pc=3 時，四邊形 efpg 是矩形17當(dāng)堂檢

22、測1菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ）a兩組對邊分別平行 b兩組對角分別相等c對角線互相平分 d對角線互相垂直2如圖，在菱形 abcd 中，ac 與 bd 相交于點(diǎn) o，ac=8，bd=6，則菱形的邊長 ab 等于（ ）a10 b c6 d53如圖，矩形 abcd 中，ab=8，bc=4點(diǎn) e 在邊 ab 上，點(diǎn) f 在邊 cd 上，點(diǎn) g、h 在對角線 ac 上若 四邊形 egfh 是菱形，則 ae 的長是（ ）a2 b3 c5 d64 菱形 abcd 的對角線 ac=6cm，bd=4cm，以 ac 為邊作正方形 acef，則 bf 長為 5 如圖，菱形 abcd 的對角線 ac，bd

23、 相交于點(diǎn) o，點(diǎn) e，f 分別是邊 ab，ad 的中點(diǎn)18（1） 請判斷oef 的形狀，并證明你的結(jié)論；（2） 若 ab=13，ac=10，請求出線段 ef 的長當(dāng)堂總結(jié)_家庭作業(yè)1 已知abcd，對角線 ac，bd 相交于點(diǎn) o，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使abcd 成為一個菱形，你 添加的條件是 2 在abcd 中，點(diǎn) e、f 分別在 ab、cd 上，且 ae=cf（1） 求證：adecbf；（2） 若 df=bf，求證：四邊形 debf 為菱形3如圖，已知四邊形abcd 是平行四邊形，deab，dfbc，垂足分別是e、f，并且 de=df求證：（1） ade cdf；（2） 四邊形 ab

24、cd 是菱形194如圖，在平行四邊形 abcd 中，adab（1） 作出abc 的平分線（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2） 若（1）中所作的角平分線交 ad 于點(diǎn) e，afbe，垂足為點(diǎn) o，交 bc 于點(diǎn) f，連接 ef 求證： 四邊形 abfe 為菱形5如圖，在直角梯形 abcd 中，adbc，b=90，agcd 交 bc 于點(diǎn) g，點(diǎn) e、f 分別為 ag、cd 的 中點(diǎn)，連接 de、fg（1） 求證：四邊形 degf 是平行四邊形；（2） 當(dāng)點(diǎn) g 是 bc 的中點(diǎn)時，求證：四邊形 degf 是菱形6如圖，在四邊形 abfc 中，acb=90，bc 的垂直平分線 ef 交 b

25、c 于點(diǎn) d，交 ab 于點(diǎn) e，且 cf=ae，（1） 求證：四邊形 becf 是菱形；（2） 若四邊形 becf 為正方形，求a 的度數(shù)207如圖，在矩形 abcd 中，e，f 分別為 ad，bc 的中點(diǎn)，連結(jié) af，df，be，ce，af 與 be 交于 g，df 與 ce 交于 h求證：四邊形 egfh 為菱形8如圖，ab 是半圓 o 的直徑，點(diǎn) p 是半圓上不與點(diǎn) a、b 重合的一個動點(diǎn)，延長 bp 到點(diǎn) c，使 pc=pb， d 是 ac 的中點(diǎn)，連接 pd、po（1） 求證：cdppob；（2） 填空：若 ab=4，則四邊形 aopd 的最大面積為 ；連接 od，當(dāng)pba 的度數(shù)

26、為時，四邊形 bpdo 是菱形21參考答案：當(dāng)堂檢測1.【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)【分析】根據(jù)菱形的特殊性質(zhì)可知對角線互相垂直【解答】解：a、不正確，兩組對邊分別平行；b、 不正確，兩組對角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確，；c、 不正確，對角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)；d、 菱形的對角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì)故選 d【點(diǎn)評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形對角線垂直及平行四邊形對角線平分的性質(zhì) 的理解2【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出 oa、ob，再利用勾股定理列式進(jìn)行計算即可得解【解答】解：四邊形 abcd 是菱形，oa= ac，ob= b

27、d，acbd，ac=8，bd=6，oa=4，ob=3，ab= =5，22即菱形 abcd 的邊長是 5故選：d【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)是解題的 關(guān)鍵3【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)【分析】連接 ef 交 ac 于 o，由四邊形 egfh 是菱形，得到 efac，oe=of，由于四邊形 abcd 是矩形，得到b=d=90，abcd，通過cfoaoe，得到 ao=co，求出 ao= ac=2 aoeabc 即可得到結(jié)果【解答】解；連接 ef 交 ac 于 o，四邊形 egfh 是菱形，efac，oe=of，四邊形 abcd 是矩形，b=d=90

28、，abcd，acd=cab，在cfo 與aoe 中， ，cfo aoe，ao=co，ac= =4 ，ao= ac=2 ，根據(jù)23cab=cab，aoe=b=90，aoe abc， ， ，ae=5故選 c4【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)【分析】作出圖形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出 ao、bo，然后分正方形在 ac 的兩邊兩種情況補(bǔ)成以 bf 為斜邊的 bgf，然后求出 bg、fg，再利用勾股定理列式計算即可得解【解答】解：ac=6cm，bd=4cm，ao= ac= 6=3cm，bo= bd= 4=2m，如圖 1，正方形 acef 在 ac 的上方時，過點(diǎn) b 作 bgaf 交 fa 的延

29、長線于 g，bg=ao=3cm，fg=af+ag=6+2=8cm，在 rtbfg 中，bf= = = cm，24如圖 2，正方形 acef 在 ac 的下方時，過點(diǎn) b 作 bgaf 于 g，bg=ao=3cm，fg=afag=62=4cm，在 rtbfg 中，bf= = =5cm，綜上所述，bf 長為 5cm 或 cm故答案為：5cm 或 cm5【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，進(jìn)而求出即可；（2）利用勾股定理得出 bo 的長再利用三角形中位線定理得出 ef 的長【解答】解：（1）oef 是等腰三角形，理由：四

30、邊形 abcd 是菱形，ab=ad，acbd，點(diǎn) e，f 分別是邊 ab，ad 的中點(diǎn)，eo= ab，of= ad，25eo=fo，oef 是等腰三角形；（2）四邊形 abcd 是菱形，ac=10，ao=5，aob=90，bo= = =12，bd=24，點(diǎn) e，f 分別是邊 ab，ad 的中點(diǎn)，ef bd，ef=12家庭作業(yè)1【考點(diǎn)】菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)【分析】根據(jù)菱形的定義得出答案即可【解答】解：鄰邊相等的平行四邊形是菱形，平行四邊形 abcd 的對角線 ac、bd 相交于點(diǎn) o，試添加一個條件：可以為： ad=dc；故答案為：ad=dc2【考點(diǎn)】菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；

31、平行四邊形的性質(zhì)【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 ad=bc，a=c，再加上條件 ae=cf 可利用 sas 證明 ade cbf；26（2）首先證明 df=be，再加上條件 abcd 可得四邊形 debf 是平行四邊形，又 df=fb，可根 據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形證出結(jié)論【解答】證明：（1）四邊形 abcd 是平行四邊形，ad=bc，a=c，在ade 和cbf 中，ade cbf（sas）；（2）四邊形 abcd 是平行四邊形，abcd，ab=cd，ae=cf，df=eb，四邊形 debf 是平行四邊形，又df=fb，四邊形 debf 為菱形【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的

32、判定，以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理， 以及菱形的判定定理，平行四邊形的性質(zhì)3【考點(diǎn)】菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)【分析】（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出a=c，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出即可；（2）根據(jù)菱形的判定得出即可【解答】解：（1）deab，dfbc27aed=cfd=90，四邊形 abcd 是平行四邊形a=c，在aed 和cfd 中aed cfd（aas）；（2）aedcfd，ad=cd，四邊形 abcd 是平行四邊形，平行四邊形 abcd 是菱形【點(diǎn)評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出a=c 是解題關(guān) 鍵4【

33、考點(diǎn)】菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；作圖基本作圖【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法作出abc 的平分線即可；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出abe=aeb，進(jìn)而得 abo fbo， 進(jìn)而利用 afbe，bo=eo，ao=fo，得出即可【解答】解：（1）如圖所示：28（2）證明：be 平分abc，abe=fbe，ebf=aeb，abe=aeb，ab=ae，aobe，bo=eo，在abo 和fbo 中，abo fbo（asa），ao=fo，afbe，bo=eo，ao=fo，四邊形 abfe 為菱形【點(diǎn)評】此題主要考查了角平分線的作法以及菱形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱

34、形的判定是解題關(guān)鍵5【考點(diǎn)】菱形的判定；平行四邊形的判定；直角梯形29【分析】（1）求出平行四邊形 agcd，推出 cd=ag，推出 eg=df，egdf，根據(jù)平行四邊形的判定推 出即可；（2）連接 dg，求出dgc=90，求出 df=gf，根據(jù)菱形的判定推出即可【解答】證明：（1）agdc，adbc，四邊形 agcd 是平行四邊形，ag=dc，e、f 分別為 ag、dc 的中點(diǎn)，ge= ag，df= dc，即 ge=df，gedf，四邊形 degf 是平行四邊形；（2）連結(jié) dg，四邊形 agcd 是平行四邊形，ad=cg，g 為 bc 中點(diǎn)，bg=cg=ad，adbg，四邊形 abgd 是平行四邊形，abdg，b=90，dgc=b=90，f 為 cd 中點(diǎn)，30gf=df=cf，即 gf=df，四邊形 degf 是平行四邊形，四邊形 degf 是菱形【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)等知識點(diǎn) 的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力6【考點(diǎn)