大學(xué)概率習(xí)題大全與答案

1、第一章 隨機(jī)事件及其概率第三節(jié) 事件的關(guān)系及運(yùn)算選擇1. 事件 AB 表示 （ C ）（A）事件 A與事件 B 同時(shí)發(fā)生（B）事件 A 與事件 B都不發(fā)生（C）事件 A與事件 B 不同時(shí)發(fā)生（D）以上都不對(duì)2. 事件 A,B，有 A B ，則 A B （B ）（A）A（B） B（ C）AB（D） AU B二、填空1. 設(shè) A,B,C 表示三個(gè)隨機(jī)事件，用 A,B,C 的關(guān)系和運(yùn)算表示僅 A 發(fā)生為 ABC A,B,C 中正好有一件發(fā)生為 ABC ABC ABC A,B,C 中至少有一件發(fā)生為ABC第四節(jié)概率的古典定義一、選擇1將數(shù)字 1、2、 3、 4、 5 寫在5 張卡片上，任意取出 3 張

2、排列成三位數(shù)，這個(gè)數(shù)的概率是（ B）（ A） 1（B）331（ C）（D）2510 10二、填空1. 從裝有 3 只紅球， 2 只白球的盒子中任意取出兩只球，則其中有并且只有一只紅球的概率為 CC31C5221 352. 把 10 本書任意放在書架上，求其中指定的3 本書放在一起的概率為3!8!10!3. 為了減少比賽場次，把20 個(gè)球隊(duì)任意分成兩組，每組 10 隊(duì)進(jìn)行比賽，則最強(qiáng)的兩個(gè)隊(duì)被分在不同組內(nèi)的概率為C21C198 10 。C2100 19三、簡答題1將 3 個(gè)球隨機(jī)地投入4 個(gè)盒子中，求下列事件的概率1） A- 任意 3 個(gè)盒子中各有一球； （2）B- 任意一個(gè)盒子中有 3個(gè)球；3

3、） C- 任意 1個(gè)盒子中有 2個(gè)球，其他任意 1 個(gè)盒子中有 1 個(gè)球。解：（1） P（A）3C433! 32) P(B)C41143 163) P(C)12C14C32 3C16第五節(jié) 概率加法定理一、選擇1. 設(shè)隨機(jī)事件 A和 B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 C必發(fā)生，則下列式子正確的是（ C ）(A) P(C)P(AB)(B)P(C) P(A)P(B)(C) P(C)P(A) P(B)1(D) P(C) P(A)P(B) 12. 已知 P(A)P(B) P(C)1，4P(AB) 0 ， P(AC)1P(BC) 。則事件 A16B、 C全不發(fā)生的概率為（ B）2356(A) 2(B) 3(C)(D)

4、88883. 已知事件 A、 B 滿足條件 P（AB）P(AB)，且 P(A) p，則 P(B) ( A )(A) 1p (B) p(C) p (D)1p22、填空3 只球，則其中至少有一只紅球的概率為CC3733343345 (0.97 )P(A1 A2 A3) P(A1) P(A2) P(A3 )C92C111C72C1C42C116320=0.6712)設(shè)事件 A 表示取出的3 件產(chǎn)品中至少有 2 件等級(jí)相同，那么事件 A 表示取出的3 件產(chǎn)品中等級(jí)各不相同，則 P(A) 1 P(A) 1 C9CC2370C40.779、選擇第六節(jié)條件概率、概率乘法定理1. 事件 A, B為兩個(gè)互不相容

5、事件，且 P(A)0, P(B) 0，則必有 ( B(A) P(A) 1 P(B)(B)P(A|B)(C ) P(A|B) 1(D)P(A|B)2. 將一枚篩子先后擲兩次，設(shè)事件A表示兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是10，事件 B 表示第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于第二次，則P(B A) ( A )1(A)33.設(shè) A、 B是兩個(gè)事件，若(B)4B 發(fā)生必然導(dǎo)致(C ) 2(D)A 發(fā)生，則下列式子中正確的是(A) P(A B) P(A)(B)P(AB) P(A)(C) P(BA) P(B)(D)P(B A) P(B) P(A)、填空1.已知事件 A的概率 P(A)=0.5 ，事件 B的概率P(B)=0.6 及條件

6、概率 P(B A) =0.8 ，則和事件 A B 的概率 P(A B) 0.72. A, B 是 兩 事 件 ， P(A) 0.3, P(B)0.4, P(B |A) 0.6, 則 P(A|AUB)15260.577三、簡答題1. 獵人在距離 100 米處射擊一動(dòng)物，擊中的概率為0.6 ；如果第一次未擊中，則進(jìn)行第二次射擊，但由于動(dòng)物逃跑而使距離便成為 150 米；如果第二次又未擊中，則進(jìn)行第三次射解：設(shè)第 i 次擊中的概率為擊，這時(shí)距離變?yōu)?200 米。假定最多進(jìn)行三次射擊，設(shè)擊中的概率與距離成反比，求獵人 擊中動(dòng)物的概率。pi ，（ i =1，2，3）因?yàn)榈?i 次擊中的概率 pi 與距離

7、 di 成反比，k所以設(shè) pi k ，（i =1，2， 3）；di由題設(shè)，知 d1 100 ， p1 0.6，代入上式，得到 k 60再將 k 60 代入上式，易計(jì)算出p2601500.4 ， p3602000.3設(shè)事件 A表示獵人擊中動(dòng)物，事件 Bi 表示獵人第 i 次擊中動(dòng)物（ i =1，2， 3），則所求概率為 : P(A) P(B1)P(B1B2 ) P(B1B2 B3)P(B1) P(B1)P(B2 B1) P(B1)P(B2 B1)P(B3B1 B2) 0.6 (1 0.6) 0.4 (1 0.6) (1 0.4) 0.30.832第七節(jié) 全概率公式一、選擇1袋中有 5 個(gè)球， 3

8、 個(gè)新球， 2 個(gè)舊球，現(xiàn)每次取一個(gè)，無放回的取兩次，則第二次取到 新球的概率為 （ A ）(A)(B)(C ) 1 2 * * * 6 (D )43102.若隨機(jī)事件 A和 B都不發(fā)生的概率為p, 則以下結(jié)論中正確的是（A） A和 B都發(fā)生的概率等于 1 p （B）A和 B 只有一個(gè)發(fā)生的概率等于 1 p（C） A和 B 至少有一個(gè)發(fā)生的概率等于2. 老師提出一個(gè)問題，甲先回答，答對(duì)的概率是 0.4; 如果甲答錯(cuò)了，就由乙答，乙答 對(duì)的概率是 0.5; 如果甲答對(duì)了，就不必乙回答，則這個(gè)問題由乙答對(duì)的概率為 0.33. 試卷中有一道選擇題，共有 4 個(gè)答案可供選擇，其中只有一個(gè)答案是正確的。

9、任一考生 如果會(huì)解這道題，則一定能選出正確答案；如果他不會(huì)解這道題，則不妨任選一個(gè)答案。 若考生會(huì)解這道題的概率是 0.8, 則考生選出正確答案的概率為 0.85三、簡答題1.玻璃杯成箱出售， 每箱 20只.假設(shè)各箱含 0,1,2 只殘次品的概率分別為 0.8, 0.1 和 0.1. 一顧客欲購一箱玻璃杯 , 在購買時(shí) , 售貨員任取一箱 , 而顧客隨機(jī)的察看 4 只, 若無殘次品 則買下該箱玻璃杯 ,否則退還 . 試求顧客買下該箱的概率。解:設(shè)Ai “每箱有 i只次品” (i 0,1,2,) , B “買下該箱” .P(B) P(A0)P(B |A0) P(A1)P(B|A1) P(A2)P

10、(B|A2)C 4C 40.8 1 0.1 C149 0.1 C148 0.94C240C2402. 一工廠有兩個(gè)車間， 某天一車間生產(chǎn)產(chǎn)品 100 件，其中 15 件次品； 二車間生產(chǎn)產(chǎn)品 50 件，其中有 10 件次品，把產(chǎn)品堆放一起(兩車間產(chǎn)品沒有區(qū)分標(biāo)志)，求：( 1)從該天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)取一件檢查，它是次品的概率； (2)若已查出該產(chǎn)品是次品，則它是二車 間生產(chǎn)的概率。解：( 1)設(shè)事件“取的產(chǎn)品來自 1車間”為 A1,事件“取的產(chǎn)品來自 2 車間”為 A2，從中任取一個(gè)是次品”為 B ，PB P B| A1P A1P B| A2 P A22110.15 0.23362)P A2

11、|BP A2 BP B|A2 P A22PBPB53發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率 0.6 及概率 0.4 發(fā)出信號(hào)“ ?”及“- ”。由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng) 發(fā)出信號(hào)“ ?”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率 0.8 及 0.2 收到信號(hào)“ ?”及“ - ”；又當(dāng)發(fā)出信號(hào)“ 時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)以概率 0.9 及 0.1 收到信號(hào)“ -”及“ ?”。求：( 1)當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“ ?”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)“?”的概率；( 2)當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“ -”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)“ - ”的概率。解：設(shè)事件 A表示發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“ ? ”，則事件 A表示發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“ - ”；設(shè)事件 B表示收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“ ? ”，則事件 B表示收?qǐng)?bào)

12、臺(tái)收到信號(hào)“ - ”；根據(jù)題設(shè)條件可知： P(A)0.6,P(A) 0.4 ；P(BA) 0.8,P(BA) 0.1； P(BA) 0.2, P(B A)0.9；應(yīng)用貝葉斯公式得所求概率為：1) P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(B A)P(A)P(B A) P(A)P(B A)0.6 0.80.6 0.8 0.4 0.1=0.9232) P(AB)P(AB)P(B)P(A)P(B A)P(A)P(BA) P(A)P(B A)0.4 0.90.20.4 0.9 0.6=0.75第八節(jié)隨機(jī)事件的獨(dú)立性B) =0.6 ， P( A) =0.4 ，則 P(B)=132. 加工某一零件共需經(jīng)過三

13、道工序。 5%。假定各道工序是互不影響的，則加工出來的零件的次品率是 三、簡答題1. 一個(gè)工人看管三臺(tái)車床，在一小時(shí)內(nèi)車床不需要工人看管的概率：第一臺(tái)等于 0.9 ， 二臺(tái)等于 0.8 ，第三臺(tái)等于 0.7 。求在一小時(shí)內(nèi)三臺(tái)車床中最多有一臺(tái)需要工人看管的概 率。設(shè)第一、第二、第三道工序的次品率分別是0.096932%、3%、選擇(A)事件 A與 B 互不相容(B) AB(C)事件 A與 B 互相獨(dú)立(D) P(AB)P(A)P(B)2. 設(shè) A、B 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)事件 , P（A）P（B）0，則P(A B)(A)P（ A） P（B）(B) 1P（A）P（B）(C)1 P（A） P（B）

14、(D) 1P（AB）二、填空1.設(shè)P( A) =0.8 ， P(B)=0.7 ，1.設(shè) A與 B為兩相互獨(dú)立的事件，P(AP（ A B） =0.8 ，則下列結(jié)論正確的是（ C ）解：設(shè)事件 Ai 表示第 i 臺(tái)車床不需要照管， 事件 Ai 表示第 i 臺(tái)車床需要照管，（ i =1，2，3），根據(jù)題設(shè)條件可知：P(A1) 0.9,P(A1) 0.1P(A2) 0.8,P(A2) 0.2P(A3) 0.7, P( A3 ) 0.3設(shè)所求事件為 B，則 P(B) P( A1A2 A3 A1 A2A3 A1A2 A3 A1A2 A3) 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互不相容事件的關(guān)系，得到：P(B) P(A1)P

15、(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3)P(A1)P(A2 )P(A3) P(A1)P(A2)P(A3)0.9 0.8 0.7=0.9020.1 0.8 0.7 0.9 0.20.7 0.9 0.8 0.3p( 0p1)，并且各個(gè)元件能否2. 如下圖所示，設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)電子元件的可靠性都是 正常工作是相互獨(dú)立的，求系統(tǒng)( 1)和( 2)的可靠性。( 1)(2)解：(1) p3(2 p3)；(2) (2p p為 0.5 設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中 , 事件 A出現(xiàn)的概率相等 . 若已知事件 A至少出現(xiàn)一次的概率等于19 , 則事件 A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為1 327三、簡答題1.射擊運(yùn)動(dòng)

16、中， 一次射擊最多能得 10環(huán)。設(shè)某運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中得 10 環(huán)的概率為 0.4， 得 9 環(huán)的概率為 0.3 ，得 8 環(huán)的概率為 0.2 ，求該運(yùn)動(dòng)員在五次獨(dú)立的射擊中得到不少于 48 環(huán)的概率。解：設(shè)事件 A表示 5次射擊不少于 48 環(huán)，事件 A1表示 5次射擊每次均中 10環(huán)，事件 A2)3第九節(jié) 獨(dú)立試驗(yàn)序列一、選擇1. 每次試驗(yàn)成功率為 p(0 p 1) ，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，直到第 10 次試驗(yàn)才取得 4 次成功的 概率為 ( B )(A) C140 p 4 (1p)6(B)C93p4(1p)6(C)C94 p4(1p)5 (D)C93p3(1p)6二、填空1. 某射手在三次射擊中

17、至少命中一次的概率為 0.875 ，則這射手在一次射擊中命中的概率表示 5 次射擊一次中 9 環(huán)，4 次中 10 環(huán)，事件 A3 表示 5 次射擊 2 次中 9 環(huán)，3次中 10 環(huán)， 事件 A4表示 5 次射擊一次中 8 環(huán)，4 次中 10環(huán)，并且 A1 ,A2 ,A3 , A4兩兩互不相容， 由于 每次射擊是相互獨(dú)立的，44則所求概率 P(A) P( Ai )P(Ai )i 1 i 1(0.4)5 C51(0.3)1(0.4)4 C52 (0.3)2(0.4)3 C51(0.2)1(0.4)40.1318第二章 隨機(jī)變量及其分布第二節(jié) 離散隨機(jī)變量一、選擇1 設(shè)離散隨機(jī)變量 X 的分布律為

18、 : PX k bk,(k 1,2,3, ),且b0，則為()(A)0的任意實(shí)數(shù)(B)b1(C)1(D)11bb1解因?yàn)镻Xkbkn1Snb kb(1 n )1k1k1k1即lim Snlim b (1n)1于是可知,當(dāng)1時(shí),b 1nn11所以11b1,(因b0)所以應(yīng)選 (C).二、填空1 如果隨機(jī)變量 X 的分布律如下所示 , 則 C .X01 23P1111C2C3C4C325解 根據(jù)P(xi ) 1 得： C 25.x1 012412 進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn) , 設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為 4 , 失敗的概率為 1, 將試驗(yàn)55 進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止 , 以 X表示所需試驗(yàn)次數(shù) , 則 X的分

19、布律是 _ .( 此時(shí)稱 X 服從參數(shù)為 p 的幾何分布 ).解: X 的可能取值為 1，2，3 ， X K 第1 K 1次失敗 ,第K次成功 所以 X 的分布律為 P X K (1)K 1 4 , K 1,2,55三、簡答1 一個(gè)袋子中有 5個(gè)球,編號(hào)為 1,2,3,4,5, 在其中同時(shí)取 3只, 以 X 表示取出 的 3 個(gè)球中的最大號(hào)碼 , 試求 X 的概率分布 .1,2,3, 只有一種取法，所以解 X 的可能取值為 3, 4,5.事件 X 3, 只能是取出的 3只球號(hào)碼分布為1PX 3 3C5 事件 X 4, 意味著1103只球中最大號(hào)碼是4，另外 2 個(gè)號(hào)碼可在1，2，3中任取2 只

20、，共有 C32 種取法，故PX 4C32 3C53 10事件 X 5, 意味著 3 只球中最大號(hào)碼是5，另外 2 個(gè)號(hào)碼可在1，2，3,4中 任取2 只，共有 C22 6 種取法，故PX 5C42C53從而，X 的概率分布是X34 5P133101055為紅和綠與其他信號(hào)為紅或綠相互獨(dú)立 , 且紅綠兩種信號(hào)顯示時(shí)間相等 , 以X 表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個(gè)數(shù) , 求 X 的概率分布 .解 由題設(shè)知 X的可能值為 0,1,2,3,設(shè) Ai(i 1,2,3)表示汽車在第 i個(gè)路口首次1遇到紅燈， A1 , A2 , A3相互獨(dú)立，且 P(Ai) P(Ai) 1,于是PX01P(A1)

21、121PX 1 P(A1A2) P(A1)P(A2) 22PX2P( A1 A2 A3 )1P(A1)P(A2)P(A3) 1323PX3P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3) 23故分布律為X 0 1 2 3P11 1 1222 23 23第三節(jié)超幾何分布 二項(xiàng)分布泊松分布、選擇1 甲在三次射擊中至少命中一次的概率為 0.936, 則甲在一次射擊中命中的概率 p =.(A) 0.3 (B) 0.4 (C) 0.5 (D) 0.6 解: D設(shè) X ”三次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)” , 則 X B(3, p),已知 P(X1)1 P(X 0) 1 (1p)30.936 ，解之得 (1p)

22、30.064 1 p 0.4p0.62 設(shè)隨機(jī)變量Xb(2,p),Y b(3,p),若PX155,則 P Y 19317197(A)(B)(C)(D)429279解: D設(shè) X ”三次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)” , 則 X B(3, p),已知 P(X1)1 P(X 0) 1(1p) 某地區(qū)一個(gè)月內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù) X 服從參數(shù)為 的泊松分布 , 即 X P( ) ,據(jù)統(tǒng)計(jì)資料知 ,一個(gè)月內(nèi)發(fā)生 8 次交通事故的概率是發(fā)生 10次交通0.936 ，解之得 (1p)30.064 1 p0.4 p0.6二、填空1 設(shè)離散隨機(jī)變量 X 服從泊松分布, 并且已知 P X 1 P X 2,則 P X 4

23、.解: D設(shè) X ”三次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)” , 則 X B(3, p),已知 P(X1)1 P(X 0) 1(1p)30.936 ，解之得 (1p)事故的概率的 2.5 倍 . (1) 求 1個(gè)月內(nèi)發(fā)生 8 次、 10次交通事故的概率；0.064 1 p0.4 p0.6三、簡答1. 某地區(qū)的月降水量 X(單位： mm)服從正態(tài)分布 N(40, 42 ), 試求該地區(qū)連續(xù)10 個(gè)月降水量都不超過 50mm的概率 .解：設(shè) A “某月降水量不超過 50mm”x 40 50 40P(A) P(x 50) P() (2.5) 0.993844 觀察10個(gè)月該地區(qū)降水量是否 超過 50mm，相當(dāng)做

24、10天貝努利試驗(yàn) 設(shè)Y “該地區(qū)降水量不超 過50mm的月數(shù)”，則 Y B(10，0.9938) P( Y 10) 0.993810 0.9396（2）求 1個(gè)月內(nèi)至少發(fā)生 1 次交通事故的概率；（3）求 1個(gè)月內(nèi)至少發(fā)生 2 次交通事故的概率； k0,1,2,解 這是泊松分布的應(yīng)用問 題X P（ ）,PX k e ,k k! 這里 是未知的 ,關(guān)鍵是求出 .據(jù)題意有P X82.5P X10810即e2.5e8!10!解出 2 36,668e661 設(shè)離散隨機(jī)變量 X 1 136e(1) P X 80.1033PX108!10!(2) P X 0e10 e0.002480.0413P X11

25、PX 0 1 0.00248 0.9975(3) P X16e 6 0.0148762e 6P X20.044622!P X 2 PX 0 PX 1 P X 20.00248 0.01487 0.04462 0.0620第五節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)填空題11 , 則 X 的分布函數(shù)為2解 當(dāng) x 1時(shí)， F(x) PX x 0;1 當(dāng) 1 x 0時(shí)， F(x) PX x31 1 1當(dāng) 0 x 1時(shí)， F(x) PX x ;3 6 2 1 1 1 當(dāng) x 1時(shí)， F(x) PX x 1 1 1 1362 整理，得0, 當(dāng) x 11, 當(dāng) 1 x 0F(x) 311,當(dāng) 0 x 121, 當(dāng) x 1

26、選擇量 X1 與 X2 的分 布函 數(shù), 為使F(x)aF1(x)bF2 ( x )是某一變量的分布函數(shù), 在下列給定的數(shù)值中應(yīng)取32221 3 1(A)a,b(B)a,b(C) a ,b (D) a55332 2 2分析根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)： lim F(x) x1,因此有l(wèi)im F(x) a lim F1(x) blim F2 (x) 即1abF1(x) 與F2 (x) 分 別 為隨機(jī)變1 設(shè)x,bxx 故應(yīng)選 (A).2. 設(shè)函數(shù) F(x)0,x2,1,1. 則 F(x)(A) 是隨機(jī)變量的分布函數(shù) .(C) 是離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 解: A(B) . (D)不是隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連

27、續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)顯然 F (x)滿足隨機(jī)變量分布函數(shù)的三個(gè)條件(3)lim F(x) 0.xlim F(x)x1.lim F(x)xlim (AxB arctan x)B ( 2)A B.2lim F(x)xlim (AxB arctan x)BA2B.22BF(x0) F(x)0,x(*)3.設(shè) F(x)2x4,(*)x2當(dāng)(*) 取下列何值時(shí) , F(x) 是隨機(jī)變量的分布1,x2函數(shù)(A) 0(B) 0.5(C) 1.0(D)1.5(1) F(x) 是 不減 函數(shù) ， (2) 0 F(x) 1,且F( ) 0,F( ) 1解: A 只有 A使 F ( x)滿足作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的

28、三個(gè)條件三簡答 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F(x) A B arctan x,求 A,B的值.解: 由隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)1得 A 1 ,B2第六節(jié) 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度、選擇1.設(shè) f ( x) 、 F ( x)分別表示隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)和分布函數(shù)，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是A)0 f (x) 1B)0 F(x) 1C)f (x)dx 1D)f(x) F (x)2. 下列函數(shù)中，可為隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)的是A) f (x)sinx,0,0x其它B)f (x)sinx,0,0x2其它C) f (x)sinx,0，0x32其它D)f(x)sin x,二、填空1. 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X 的

29、分布函數(shù)為F(X)1arctan x,(1) P( 1 X 1) 0.5(2)概率密度 f (x)1,(x2 1),三、簡答題1. 設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度f(x)Ax2e0,求：( 1)常數(shù) A ；2)概率 P(X1)。1) 122. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度答案2)0.9197x,x0f(x)x,0,x1求：( 1)常數(shù) c；(2)概率 P( X 0.5)；(3)分布函數(shù) F(x) 。答案1）1；（2）0.75；（3） F（x）0,12 (1 x)2,1 12(1 x)21,1x00x1x13. 向某一目標(biāo)發(fā)射炮彈，設(shè)彈著點(diǎn)到目的地的距離X （ m） 的概率密度x2f(x)x0x01 x

30、e 2500 12500,如果彈著點(diǎn)距離目標(biāo)不超過 50m 時(shí)，即可摧毀目標(biāo)。求： 求：（ 1）發(fā)射一枚炮彈，摧毀目標(biāo)的概率；0.95？（ 2）至少應(yīng)發(fā)射多少枚炮彈，才能使摧毀目標(biāo)的概率大于 答案（1） 0.6321（2） n 3。4. 已知隨機(jī)變量 X 的概率密度f（x） 1e x, x ，2求：分布函數(shù) F （ x） 。答案F(X)1xe21xe,2x0x05. 已知隨機(jī)變量 X 的概率密度0x1f(x)90,3x6其它若 k 使得 P( X k)1 k 3答案2 ，則 k 的取值范圍是3第七節(jié) 均勻分布、指數(shù)分布三、選擇1.在區(qū)間1,2 上服從均勻分布的隨機(jī)變量X 的密度函數(shù)是( B )

31、3,1x21,1x2（A）f (x)（B）f (x)3,0,其它0,其它（C）f (x) 3,x（D）f(x)1,3,x2.服從參數(shù)為 0.5的指數(shù)分布的隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是 （ C ）2e 2x,x02x（A）f (x)（B）f(x)2e 2x,x0,x01 12x1（C）e2 f (x) 2e,x0（D）f(x)1 1x2 e2,x0,x02二、填空1.設(shè)隨機(jī)變量 X 在在區(qū)間1,2 上服從均勻分布，則(1) P(6 x 1) 0, (2)P( 4x1)2 ,3 P(2 x 3) 1(4)P(1x 6)1 ,3三、簡答題1. 長度為 l 的線段上隨機(jī)取一點(diǎn)， 這點(diǎn)把該線段分成兩段， 求較

32、短的一段與較長的一段之1 比小于 1 的概率。4 答案 0.42. 已知修理某種機(jī)器所需的時(shí)間 T （小時(shí)）服從指數(shù)分布 e（1），求：（1）在 2 小時(shí)之內(nèi)修好的概率；（2）如果已修理了 t0小時(shí)，在以后的 2 小時(shí)之內(nèi)修好的概率。答案（1） 0.8647 （2） 0.86473. 設(shè)隨機(jī)變量 X 在區(qū)間 2,5 上服從均勻分布，對(duì)進(jìn)行三次獨(dú)立觀測，試求至少有兩次觀 測值大于 3 的概率。答案0.741。4. 某儀器有三只獨(dú)立工作的同型號(hào)電子元件，其壽命（單位：h ）都服從同一指數(shù)分布，概率密度為f(x)e6001x6000,x0x0試求：在儀器使用的最初的 200h 內(nèi)至少有一只電子元件損

33、害的概率。 答案 1 e 1 0.6321第八節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布四、選擇1. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為f (x)2e2x0,x0x02e y ,y02e2y(A) fY(y)（B）fY (y)Y 0,y00,e 2y,y0e y,(C) fY(y)（D）fY(y)0,y00,2. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為2e 2x,x0fX(x)0,x0則隨機(jī)變量 y 2X 的概率密度為（ D ）y0y0y0y0A）fY(y)ey,y00,y0C）0,y0fY(y)y0ey,y則隨機(jī)變量 y 2X 的概率密度為（ C ）B）fY(y)e y,y00,y0（D）0,y0fY (y)y0e y ,y二

34、、簡答題1. 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 B（3,0.4） ，求下列隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布：（1） Y 2X 1答案22)Y X 2 X (3)X(X 1)22x,0x1其它f(x)0,求下列隨機(jī)變量的概率密度(1) Y 1 2X（2）Y 1 2X(3)Y X 2答案y 1,1y31y(1) fy(y)2 ,（2）fy(y)20, 其它 0,1y1其它3) fY (y)1,0,0y1其它3. 設(shè)隨機(jī)變量 X 在區(qū)間0,2 上服從均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù)3Y X 3 的概率密度。答案fY(y)6y0,0y8其它(1)Y-1135p0.2160.4320.2880.064(2)Y026p0.64

35、80.2880.064(3)Y0136p0.2160.4320.2880.0642. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度4. 設(shè)隨機(jī)變量 X 在服從指數(shù)分布 e（ ） ，其中 0 ，求隨機(jī)變量函數(shù) Y eX 的概率密 度。答案fY(y)( 1) y ( 1)0,y1y15. 設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為fX(x)(11,x2),求：隨機(jī)變量 Y1 3 X的概率密度fY(y) 。答案fY(y)3(1 y)2(1 y)66. 設(shè)隨機(jī)變量 X 在區(qū)間1,2 上服從均勻分布，求隨機(jī)變量函數(shù) Y2Xe的概率密度。答案fY(y)1,2y,0,4ye其它五、選擇題第九節(jié)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( X

36、, Y )的聯(lián)合概率密度為f (x,y)e (x y)0,y 0;其他 .則 P(X Y)A)0.5B) 0.55(C) 0.45D)0.6 二維隨機(jī)變量( X , Y)的聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y) 以下哪個(gè)隨機(jī)事件的的概率？ ( B )( A) X x Y y(B) X x Yy( C) X x y( D) X x y、填空下表列出了二維隨機(jī)變量(X,Y) 聯(lián)合分布律及關(guān)于X 和關(guān)于 Y 的邊緣分布律中的部1.分?jǐn)?shù)值，試將其余值填入表中的空白處XYy1y2y3P X xi pix11111248124x213138844PY yi pj11116232. 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y) 的聯(lián)合

37、分布函數(shù)為f (x, y)6。2(x2 4)(y2 9)則系數(shù) A =2 已知二維隨機(jī)變量 (X,Y) 的聯(lián)合概率密度為F(x,y) A(B arctanx)(C arctan y)B= ，C = ， ( X, Y)的聯(lián)合概率密度為 22f ( x, y) ，R為一平面區(qū)域， 則(X,Y) 的xyX,Y Rf (x, y)dxdy ， R曲面，F(xiàn)(x,) 0，F(xiàn)(,y)X 2 0111P22z f (x,y) 叫做 分布曲面，F(xiàn)( , )10 ， F(,)0 。三、計(jì)算題。1. 已知隨機(jī)變量X1和 X2的概率分布X1101P111424而且 PX1X2 0 1.求 X1和 X2的聯(lián)合分布。聯(lián)合

38、分布函數(shù) F(x,y)= f (x,y)dydx ，P解：X1X2 設(shè)二維隨機(jī)變量X，Y）的聯(lián)合概率密度為 f （x,y）ey0, 0 x 其他1)求 PX1 ；2）求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y) 。解（1） PX1f ( x, y)dxdyx y 112dx01xexydy1e2) F(x,y)xe -e 設(shè)二維隨機(jī)變量試求（ 1）常數(shù)解：（ 1）由于2) P(0六、選擇題yf ( x, y)dydx0,（X,Y） 的聯(lián)合概率密度為f (x,y) 0,0 x其他Ae(x 2y)x 0,y 0; 其他 .； (2) 概率 P(0X 1,0 Y 2) .f(x, y) 1 ，Ae ( x 2y)dx

39、dy1,0 Y 2)A21 dx 01 ，所以 A 221 2e (x 2y)dy (1 e1)(1第十節(jié) 二維隨機(jī)變量的邊緣分布 設(shè)二維離散隨機(jī)變量 （X,Y） 的聯(lián)合概率函數(shù)為 P（xi,yj），則PX(xi)為A)P(xi,yj)(B)P(xi,yj)(C)P(xi, yj)j i i,j4）的邊緣概率函數(shù)（ A ）D）以上都不對(duì) (X,Y) 為二維連續(xù)隨機(jī)變量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x ，函數(shù) P(X x,Y ) 為 ( B )A)隨機(jī)變量 Y 的邊緣分布函數(shù)B)隨機(jī)變量 X 的邊緣分布函數(shù)C)(X,Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)D)以上都不對(duì)、填空 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)為xyF(x

40、,y) A(B arctan )(C arctan )231 1 x則 X 的邊 緣分 布函 數(shù) 為 FX(x) 12 1 arctan2x ， Y 的邊緣概 率密 度為fY(y)y32 9 。 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 F ( x, y) ，則隨機(jī)變量 X 的邊緣分布函數(shù)為FX(x) F(x, ) ，隨機(jī)變量 Y的邊緣分布函數(shù)為 FY(y) F( , y) 。 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f ( x, y) ，則隨機(jī)變量 X 的邊緣概率密度為fX (x)f ( x, y)dy ，隨機(jī)變量 Y的邊緣概率密度為 fY(y)f (x, y)dx 。三、計(jì)算題 設(shè)二

41、維隨機(jī)變量X，Y)的聯(lián)合概率密度為 f (x,y)ey0,0 x 其他y ，求 X 的邊緣概率密度 fx(x) 。解 x 0時(shí), fX (x)e ydy e x,x 0時(shí)， fX (x) 0故 fX (x)，x2. 已知二維隨機(jī)變量X，Y)的聯(lián)合概率密度為f (x,y)2e(x 2y)0,0,x 其他.0,y求隨機(jī)變量 X 和Y 的邊緣概率密度。x 2y 解 fX(x) e0, ，xx 00， fY(y) 2e0,，yy第十一節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性七、選擇題 設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X 和 Y 的概率密度分別為 fX (x)2x,0 x 10, 其他fY (y)ey,y 0 ，則其他的二次方程 2

42、2X1.0,( A) e、填空B)eC) e 3設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)為Y 0 具有實(shí)根的概率是D) exyF(x,y) A(B arctan )(C arctan )23則隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立 (填獨(dú)立或不獨(dú)立) 。2. 獨(dú)立連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于它們的 邊緣分布 函數(shù)的乘積， 獨(dú)立連續(xù)隨 機(jī)變量的聯(lián)合概率密度等于它們的 邊緣概率密度 的乘積，獨(dú)立離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概 率函數(shù)等于它們的 邊緣概率函數(shù) 的乘積。三、計(jì)算題1. 已知隨機(jī)變量 X1和 X 2的概率分布X2X1 1P14而且 PX1X2 0 1.問 X1和 X2是否獨(dú)立？為什么？解：因?yàn)?P X1

43、0, X2 00,PX1 0P X200,所以 X1和 X2 不獨(dú)立。2. 已知二維隨機(jī)變量 ( X，Y)的聯(lián)合概率密度為f (x,y)2e(x 2y)0,x 0,y 0 其他.隨機(jī)變量 X 和 Y 是否獨(dú)立？x e 解 由于 fX (x)X 0,，xfY (y)2e0,， y 0y0故 f (x,y) fX (x) fY (y)所以隨機(jī)變量 X 和 Y 獨(dú)立。第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望八、選擇1. 擲 6 顆骰子，令 X 為 6 顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和，則 E（X） （ D ）（A）42（B） 21/ 2（C）7/2（D） 212. 對(duì)離散型隨機(jī)變量 X ，若有 P（X xk） p

44、k （k 1,2,3, L ） ，則當(dāng)（ B ）時(shí)，xk pk 稱為 X 的數(shù)學(xué)期望。 k1A)xkpk 收斂 (B)k 1 k 1xk pk收斂C）xk為有界函數(shù)D) lkim xk pk 0、填空1. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f （x）0,x, 1x, 0其它，0,1, 則 E X2. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的概率密度為f (x)kx ,0 x0, 其它 ,1, 其中 k,0 ，又已知E X 0.75 ，則 k三、簡答題1. 把 4 個(gè)球隨機(jī)地放入4 個(gè)盒子中去，設(shè)解： P X 0 A446 ， P X 144 64C41C42A33364464X 表示空盒子的個(gè)數(shù)，P X 2 所以

45、E X2 4 3C42(24 2) 21 P X 3 C43 14 ， P X 3 444 64 44 64636211012364646464816412y2,0 y x 1,2.設(shè)( X ,Y )的聯(lián)合概率密度為 f(x,y) ，求 E X ,E Y 。0, 其它，解： E X1 x 2 4xf ( x, y)dxdyxdx 12y2dy，同理 E Y0 y x 1 5第二節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望、填空1. 設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布，則數(shù)學(xué)期望E X e 2X4 /3 。2. 設(shè)隨機(jī)變量X 服從二項(xiàng)分布 B(3,0.4) ，則 EX22.16二、簡答題1. 設(shè)隨機(jī)變量 X

46、 和Y 相互獨(dú)立，概率密度分別為fX(x)e x,x 0,0, x 0,fY(y)e y, y0, y0,0,求隨機(jī)變量函數(shù) Z X Y 的數(shù)學(xué)期望。解：因?yàn)?X 和Y相互獨(dú)立，所以 f (x,y)fX (x) fY (y)ex y,x 0,y 0,0, 其它 ,XY0 (xy)e xydxdyxe xdxydy 0e xdx ye ydy2。2. 按季節(jié)出售某種應(yīng)時(shí)商品， 每售出 1 kg 獲利潤 6 元, 如到季末尚有剩余商品， 則每 kg 凈 虧損 2元，設(shè)某商店在季節(jié)內(nèi)這種商品的銷售量 X(以 kg計(jì))是一隨機(jī)變量， X 在區(qū)間t使8,16 內(nèi)服從均勻分布，為使商店所獲得利潤最大，問商