基本不等式應(yīng)用,利用基本不等式求最值的技巧,題型分析

1、.基本不等式基本不等式應(yīng)用1. (1)若 a,b R，則 a2 b2 2ab (2)若a,bR，則 ab2 .2a b2（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“二”）2- (1)若 a, b R ,則 a bab (2)若 a,b2R*，則 a b2 .、ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”）2(3)若a,bR*，則ab a b (當(dāng)且僅當(dāng)a2b時(shí)取“=”）13.若 x 0，則 x -2 （當(dāng)且僅當(dāng)x 1時(shí)取“=”）；若x 0,則x -2（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“=”)xx若x0,則x1x2即x12或xx1-2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”）x3.若 ab0,則ab2 (當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”）ba若ab0,則ab2即a -2或

2、 ab-2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”）bab aba4.若 a,bR,則2、b)2 22 a b（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”）2 2注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的 積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用. 應(yīng)用一：求最值例1 :求下列函數(shù)的值域1 1(1)y= 3x 2+ 2P(2) y= x+ X解：(1) y = 3x 2 + 22 2;3x2 272 = 6 值域?yàn)? , +a)(2)當(dāng) x

3、 0 時(shí)，y= x+ x 2x 1 = 2;11當(dāng) XV0 時(shí)，y= x+ - = （ X-）- 入入值域?yàn)椋ㄒ籥, 2 U 2 , +8）解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)1x = -2例1 ：已知x|，求函數(shù)y4x 2 1的最大值。4x 5解：因4x0 ,所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又（4x2） 不是常數(shù)，所以對(duì)4x 2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng),4x 54x 0， y4x 215 4x 54x 匕 3 2311，即x 1時(shí)， 5 4x評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)4x上式等號(hào)成立,故當(dāng)X 1 時(shí)，ymax1。例1當(dāng)I 1二時(shí)，求y X(82x)的最大值。解析：由知

4、，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8為定值，故只需將y x(8 2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。(8-2初誌(生爭(zhēng)藥-8當(dāng)，即x= 2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x= 2時(shí)，y x(8 2x)的最大值為8。評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解,但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用基本不等式求最大值。223變式：設(shè)0 x ,求函數(shù)y 4x(32x)的最大值。2解： 03 3 2x20 y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)22x 3 2x 92 2當(dāng)且僅當(dāng)2x32x,即 x3330,2時(shí)等號(hào)成立。技巧三：分離X2例3求y 7x 10 ,(

5、xx 1解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(1)的值域。x+ 1)的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng)，1 ,即 一 1 I 時(shí)，y 2(x 1)9 (當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時(shí)取“=”號(hào))。技巧四：換元解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令4 5 t22(t 1)7(t 1)+10 _t 5t 4 xtt=x+ 1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。5 9t 4評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最當(dāng)11 ,即 t=，- 1 時(shí)，y 2(當(dāng)t=2即x= 1時(shí)取“=”號(hào))。A值。即化為y mg(x)B(A 0, B 0) , g(x)恒正或恒

6、負(fù)的形式,g(x)然后運(yùn)用基本不等式來(lái)求最值。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)x -的單調(diào)性。x例:求函數(shù)yx2解:t(t2)，則 yx2 5 x24x241x2=42)因?yàn)?0,t -t1y t -在區(qū)間t1不在區(qū)間2,，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故5所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,(1) y3x】,(x0)(2)y 2xC，x3 (3) y2sinx 丄,x (0,)sin x2.已知0 x 1,求函數(shù)y . x(1 x)的最大值.；3 0x -，求函數(shù)y3x(2 3x)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿

7、足a b 2，則3a3b的最小值是分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過(guò)程，而且3a 3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a 和3b都是正數(shù)，3a 3b 2 3a 3b 2,3a b 6當(dāng)3a 3b時(shí)等號(hào)成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即當(dāng)a b 1時(shí)，3a 3b的最小值是6.變式：若 log 4 x log 4 y12，求一x1的最小值并求x,y的值y技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2：已知x 0, y190 ,且1,求x yy的最小值。錯(cuò)解：Q x 0, yy 1 9 x y 2 9 2.刃 12 故x y xyx y

8、min 12。錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式，在y 2 xy等號(hào)成立條件是x y，在丄x0等號(hào)成立xy19條件是即y 9x，取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出x y等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：Qx190, y 0,1, x yx yx1 y - x9yyx9xy10 6 10 16y9x19,當(dāng)且僅當(dāng)J時(shí)，上式等號(hào)成立，又-1,可得x4,y12 時(shí)，x y i 16。xyxy變式：(1)若 x, y R 且 2x y1，求1 .1的最小值xy已知a,b,x, y R且ab1，求xy的最小值xy技巧七、已知x, y為正

9、實(shí)數(shù)，且x 2 + ； = 1,求x . 1 + y 2的最大值.a 2 + b 2 分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式abw 一。同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn),1 + y 2中y2前面的系數(shù)為1 , x.1 + y 2 = x,2 丄；* = 2 x??； +專F面將x，“ ：； + 分別看成兩個(gè)因式:即 x.1 + y2 = 2 +專w（2 + 為）2 x 2 + = +1 3技巧八：已知a, b為正實(shí)數(shù)，2b+ ab+ a= 30,求函數(shù)分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑， 性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的； 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值,

10、 的途徑進(jìn)行。1y= 1的最小值ab一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題二是直接用基本 不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)， 考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等式，再用單調(diào)因已知條30 2bab=l+T -b=存30 2b法一：a =b+1由 a 0得，0v bv 152t 2+ 34t 311 vtv 16, ab =令 t= b+1,2 b2+ 30bb+ 1=82 （t+ 半）+ 34v t + 學(xué)/ abw 18當(dāng)且僅當(dāng)t= 4，即b = 3, a= 6時(shí)，等號(hào)成立。法二:由已知得：令 u= Jab ab w 3 2 ,30 ab = a + 2b - u2 + 2 2 u 30w 0,1 abw 18

11、,. y 18a + 2b 2 2 ab 30 ab 2 2 ab5,2 w uw 3 2_2=2= 4a b點(diǎn)評(píng):本題考查不等式ab ( a,b R )的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等2式ab a 2b 30(a,b R )出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等 式. ab (a,b R ),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含 ab的不等式，進(jìn)而解得 ab的范圍2變式：1.已知a0, b0, ab (a + b) = 1,求a+ b的最小值。2若直角三角形周長(zhǎng)為 1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x, y為正實(shí)數(shù)，3x+ 2y= 10,求函數(shù) W=

12、, 3x + , 2y的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，號(hào) w，本題很簡(jiǎn)單,3x + 2y w 2( . 3x) 2 +( ；2y ) 2 = 2 . 3x+ 2y = 2 .5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0, W2= 3x+ 2y+ 2暢 佰 =10 + 2侮 何 w 10+ (侮)2 (阿)2 = 10+ (3x+ 2y)= 20 Ww 20 = 2 5變式：求函數(shù)y2x 1 - 52x( x 5)的最大值。2 2解析：注意到2x 1與 5 2x的和為定值。y2 (2x 1 、5 2x

13、)2 4 2,(2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8又y 0,所以0 y 2邁當(dāng)且僅當(dāng)2x 1=5 2x，即x |時(shí)取等號(hào)。故ymax 2 2。評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積 極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式QQQ1已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a b c ab bc ca1)正數(shù) a, b, c 滿足 a+ b+ c= 1 求證：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc111例 6 :已知 a、b、c R，且 a b c 1。求證：1118abc分析：不等式右邊數(shù)字J竺，可由此變形入手。a a8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)“2”連乘，又解:Q a、b、2 . bc。a同理-1b2 acb一 2曲I 。c上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1111112 丘-2 云-2面a b c8。當(dāng)且僅當(dāng)一時(shí)取等號(hào)。3應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問(wèn)題19例：已知x 0, y 0且一x y1，求使不等式m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：令x1y k, x 0, y 0,-x91x yy