《直線與圓的位置關系》教學設計說明

1、直線與圓的位置關系教學設計市第五十一中學 琳一、教學容解析本節(jié)課是普通高中課程標準實驗教科書（人民教育課程教材研究所，中學數(shù)學課 程教材研究開發(fā)中心編著）必修2中第四章圓與方程第二節(jié)直線、圓的位置關系”的 第一課時，它是在學生已經(jīng)掌握“直線的方程”和“圓的方程”的基礎上，進一步研究直線 與圓的位置關系.17世紀初期，笛卡爾發(fā)明了坐標系，人們開始在坐標系的基礎上，用代數(shù)方法研究幾 何問題.上一章，我們學習了直線與方程.知道在直角坐標系中，直線可以用方程表示，通 過方程，可以研究直線間的位垃關系，直線與直線的交點等問題.本章在上一章的基礎上， 將繼續(xù)用坐標法探究圓的幾何特征，建立它的方程，通過方程

2、研究它的簡單性質(zhì)，并用坐標 法解決一些與圓有關的簡單幾何問題和實際問題，如直線與圓、圓與圓的位置關系等問題， 進一步讓學生感受數(shù)形結(jié)合的基本思想方法，形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.解析幾何是數(shù)學的一個重要分支，它溝通了數(shù)學數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間 的聯(lián)系.本節(jié)課將研究直線與圓的位置關系，它的核心容是如何借助直線的方程和圓的方程 來判斷直線與圓的位置關系，通過學習讓學生掌握兩種判斷方法.一種方法，根據(jù)學生初中 學習直線與圓相交、相切、相離的定義的基礎上，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立方程組，通 過討論方程組的解的不同情況來判斷.本方法主要突出坐標法的思想且具有一般性，可類比 地推廣到對

3、橢圓、雙曲線、拋物線同類問題的研究中.另一種方法，根據(jù)學生初中學習的直 線與圓三種位巻關系的判定，即利用圓心到直線的距離與半徑比較.該方法，涉及到把點與 坐標、直線與方程聯(lián)系起來，實現(xiàn)空間形式與數(shù)量關系的結(jié)合.需要特別指岀的是：該方法 屬圓的個性疇，不能推廣.通過分析不難看岀，“直線與圓的位巻關系”起到了承上啟下的 重要作用.直線與圓的位置關系這一容，蘊含著豐富的數(shù)學思想.首先，直線與圓的位置這一幾何 特征，是通過點的坐標和直線、圓的方程來研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.這在學習直 線的方程、圓的方程時，學生已經(jīng)接觸過，結(jié)合本節(jié)課容，可以進一步加強對數(shù)形結(jié)合思想 方法的理解，發(fā)揮從“數(shù)”和形”

4、兩個方而共同分析解決問題的優(yōu)勢.其次，從本節(jié)課知 識的研究過程來看，由“幾何問題（位置關系）”到代數(shù)問題（坐標、方程、點到直線的 距離公式、聯(lián)立方程組等），再到“幾何問題（分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義）”，充分體現(xiàn)了 由“形”到“數(shù)”，再由數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化過程，是轉(zhuǎn)化思想的具體應用.再有，通過 具體例子判斷直線與圓的位置關系，來歸納總結(jié)判斷直線與圓位置關系的方法，充分體現(xiàn)了 由特殊到一般的思想方法.因此，本肖課的教學重點：直線與圓的位宜關系及判斷方法：坐標法的基本思想.二、教學目標設置（一）教學目標1. 掌握直線與圓的三種位置關系：熟練掌握判斷位置關系的兩種方法：能夠解決一些 簡單的與直線與圓位置

5、關系相關的問題.2. （1）通過本肖課的學習，讓學生經(jīng)歷操作、觀察、探索、總結(jié)直線與圓位置關系的 判斷方法的過程，從而培養(yǎng)學生觀察、比較、槪括的邏輯思維能力：（2）通過本節(jié)課的學 習，要讓學生經(jīng)歷如下過程：將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及苴關系，進 而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，處理代數(shù)問題，分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問 題，要幫助學生不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”、“轉(zhuǎn)化”和“由特殊到一般”的數(shù)學思想方法.3. 激發(fā)學生的求知欲和學習興趣，培養(yǎng)學生積極探索、發(fā)現(xiàn)新知識、總結(jié)規(guī)律的能力, 解題時養(yǎng)成歸納總結(jié)的良好習慣.（二）目標解析1. 學生在初中已經(jīng)學習了直線與圓相交、相切、相離

6、的泄義和判左，但只停留在結(jié)論 層而.本節(jié)課將在這個基礎上，結(jié)合學生掌握的直線、圓的方程來探究直線與圓位置關系的 兩種判斷方法.一種方法是利用圓心到直線的距離與半徑比較（會涉及到點到直線距離公 式），思路簡潔，學生易接受，但這種方法具有一泄的局限性，不能求岀公共點的坐標.另 一種方法是直線的方程與圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)方程組的解的不同情況來判斷，充分體 現(xiàn)“數(shù)學結(jié)合”思想方法的應用，同時為選修2中研究直線與圓錐曲線的位宜關系奠定堅實 基礎.掌握判斷位豊關系的方法，進一步利用坐標法解決一些簡單的與位置關系相關的問題.2. 數(shù)學思想的教學一般要經(jīng)過滲透孕育期、領悟形成期、應用發(fā)展期、鞏固深化期四

7、個階段，而非能復制與灌輸.在探究利用坐標法研究直線與圓的位置關系時，讓學生領悟到 數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的存在，并能運用這些數(shù)學思想觀察、分析直線與圓的位置關系.3. 通過利用坐標法探究宜線與圓的位置關系，使學生經(jīng)歷觀察、分析、探究、歸納、 概括的認知過程，培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)，提高學生思維能力.三、學情分析（一）學生程度我所而臨的學生是髙一新生，所授課的班級中考數(shù)學平均分較低，學生層次不同，存在 一泄差異.雖經(jīng)歷了必修一集合、函數(shù)相關知識的學習，但解析幾何的學習剛剛開始，對坐 標法還處于了解的層次。（二）知識層而1. 學生初中已經(jīng)接觸過直線與圓相交、相切、相離的定義和判泄：2. 掌握了點的

8、坐標、直線的方程、圓的方程以及點到直線的距離公式；3. 必修二的第三章初步學習了坐標法.（三）能力層而1. 掌握利用方程組的方法來求宜線的交點：2. 具有用坐標法研究點與圓的位置關系的基礎：3. 具有一泄的數(shù)形結(jié)合解題思想的基礎.根據(jù)以上三個方面的分析，在學生已有的認知基礎的條件下，學生可以自主完成利用圓 心到直線的距離與半徑比較來判斷直線與圓的位置關系的方法：部分學生可以在研究直線的 交點的基礎上來完成聯(lián)立直線與圓的方程，通過方程組的解的不同情況來研究，但學生僅僅 停留在模仿、類比的知識表而，知識的來龍去脈并不知曉，這時需要教師的引導和幫助.教學難點：用坐標法判斷直線與圓的位置關系.根據(jù)本節(jié)

9、課的特點，在教學中借助幾 何畫板可以幫助學生進行數(shù)學探究.四、教學策略分析1. 根據(jù)本節(jié)課教材容的特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，借助信息技 術工具，以幾何畫板為平臺，通過圖形的動態(tài)演示，變抽象為直觀，為學生的數(shù)學探究與數(shù) 學思維提供支持.2. 由于我校學生基礎薄弱，所以在整節(jié)課的教學中采用小組合作學習的方式，這樣可 以為不同認知基礎的學生提供學習機會，同時有利于發(fā)揮各層次學生的作用.3. 本節(jié)課的教學設計遵循了“以學生為主”的教學模式，教師始終堅持啟發(fā)式教學原 則，設計一系列問題串，以引導學生的數(shù)學思維活動.教師在整個教學過程中，注意到了少 講，給學生充分活動的時間和空間，讓學生

10、互相評價，總結(jié)解題經(jīng)驗.教師的重點放在了對 解法的歸納以及坐標法的思想是否得到落實上.五、教學過程（一）引入新知問題1：（1）根據(jù)圖（一）直角坐標系中圓的圖形，寫出圓u的標準方程圓c的一般方程（2）在圖（一）中根據(jù)直線A：工*-3 = 0的方程畫岀直線,并判斷直線*與圓C的位置關系（3）在圖（二）中根據(jù)直線Vx+2/-2 = 0的方程畫出直線.并判斷直線心與圓C的位過關系（4）在圖（三）中根據(jù)直線?3:6x+8/-15 = 0的方程畫出直線,并判斷直線h與圓C的位置關系師生活動：學生動手畫圖、思考，教師巡視指導，學生代表到前而演示，一邊講解做題 過程一邊與同學們核對.【設計意圖】通過問題的設置

11、，可以鍛煉學生動手畫圖的能力，同時達到復習鞏固的目 的，還體現(xiàn)曲線與方程的對應關系：啟發(fā)學生由圖形獲取直線與圓的位置關系以及判斷方法 的直觀認知，為新課的學習奠定堅實的基礎.思考1:在核對的過程中，圖（三）的結(jié)果岀現(xiàn)了分歧，有的同學的答案是宜線與圓的 位置關系是相離，有的同學認為是相切，思考到底哪種情況是正確的呢？師生活動：教師制造矛盾，讓學生發(fā)現(xiàn)通過圖形判斷直線與圓的位置關系會存在一定的 誤差，但又沒有更好地理由否定對方的結(jié)果.【設計意圖】通過問題的設計，可以激發(fā)學生學習新知識的強烈欲望，體現(xiàn)新知學習的 必要性.思考2：怎樣判斷直線與圓的位置關系？直線與圓相交、相切、相離的泄義：（1）直線和

12、圓有兩個公共點，直線與圓相交；（2）直線和圓有唯一公共點，直線與圓相切：（3）直線和圓沒有公共點，直線與圓相離.直線與圓相交、相切、相離的判龍：設圓的半徑為尸，圓心到直線的距離為（1）當& “時，直線與圓相交：（2）當d = r時，直線與圓相切：（3）當N時，直線與圓相離.兩種方法：根據(jù)過義（根據(jù)公共點的個數(shù)來泄義位置關系）；圓心到直線的距離與圓的半徑嚴的大小關系.師生活動：教師提問，學生思考、回答，教師根據(jù)學生回答情況及時進行補充.【設計意圖】以問題為載體，幫助學生復習、整理已有的知識結(jié)構，培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好 的學習習慣.（二）構建新知問題2：既然畫圖形存在誤差，思考不畫圖，不通過圖形如何判斷

13、直線與圓的位置關系？ 借助問題1中（2）和（3）為背景進行思考討論.（2）已知直線?l的方程是尤”-3 = ,圓C的方程是*+尸+2工-3 = 0,判斷直線百 與圓C的位置關系.（3）已知直線4的方程是r+-2 = D,圓C的方程是r2+/+2r-3 = 0,判斷直 線?2-與圓C的位置關系.師生活動：以小組為單位進行討論研究，教師巡視指導，討論有結(jié)果的小組可以派代表 寫在黑板上.【設計意圖】由較簡單的問題導岀這節(jié)課的容，讓學生利用已有的知識，探究用坐標法 判斷直線與圓的位置關系的方法，給學生留有充分的活動時間.思考3：如何利用坐標法的三步曲總結(jié)利用圓心到直線的距離與半徑比較的方法？師生活動：

14、學生講解，教師板書總結(jié)的過程，英他學生補充，教師適時點評.【設計意圖】利用幾何特征解決這個問題，符合學生的認知基礎，思路簡單，容易獲得結(jié) 論.思考4：讓學生思考為什么可以通過讓直線的方程與圓的方程聯(lián)立，來研究直線與圓的 位置關系問題？這種方法要讓學生先理解幾何元素及關系如何用代數(shù)表示，充分理解曲線與方程的對應 關系.假設直線2 與圓c有公共點，設為M依丄)，教師要讓學生理解下列對應關系.幾何元素及關系代數(shù)表示點M直線？j4x+B；+ C = 0圓。r2 +尸 + Dx+刖+點M在直線！上Bb + C = 0點M在圓C上a2 +護+加+勵+ F = 0直線！與圓C的公共點是M點M的坐標是方程組J

15、金十妙+ C = jy十h十灰十陌十歹=o的解師生活動：學生思考、討論，教師巡視指導，讓學生完成用聯(lián)立方程組的方法確泄直線 與圓的位置關系，并完成利用坐標法的三步曲總結(jié)這種方法【設計意圖】用坐標法解決幾何問題時，先用坐標和方程表示相應的幾何元素：點.直線. 圓：然后對坐標和方程進行代數(shù)運算，最后再把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成相應的幾何結(jié)論. 讓學生體驗坐標法的思想.借助幾何畫板平臺，讓學生真正理解數(shù)”與形”的對應關系.思考5：總結(jié)利用方程判斷直線與圓的位宜關系的兩種方法.方法一：設直線？以功2 = 0,圓+= 0”血十 + C = 0,4可由方程組+= 0 (*)的解的不同情況來判斷:當方程組有兩

16、組實數(shù)解時，直線？與圓C相交:當方程組有一組實數(shù)解時，直線？與圓C相切;當方程組沒有實數(shù)解時，宜線與圓C相離.方法二設直線廠禺+勿2 = 5圓C-妙亠。-巧、八刀_ |加十勵十可由圓心C9Q到直線？的距離匚歹 與半徑F的大小關系來判斷:(1) 當力時，直線？與圓c相交:(2) 當=廠時，直線？與圓相切:(3) 當廠時，直線？與圓C相離.教師幫助學生梳理、歸納:位宜關系相交相切相離幾何特征d rd = y代數(shù)特征(*)式有兩組實數(shù) 解(*)式有一組實數(shù) 解(*)式?jīng)]有實數(shù)解公共點個 數(shù)兩個一個沒有【設計意圖】讓學生通過獨立的思考，概括出利用直線與圓的方程來判斷它們位置關系 的兩種方法，自己可以把

17、課堂上所學的知識點連成知識線，從而加深了學習的印象.(三) 小結(jié)新知問題2：利用所學知識解決有“爭議”的問題(4) 已知直線?3的方程是歆+與-15 = 0,圓(7的方程是r2+/+2r-3 = 0t判斷直 線?3與圓C的位置關系.師生活動：學生任意選擇方法，進行判斷，教師巡視、統(tǒng)計選擇兩種方法的人數(shù).對比 兩種方法.【設計意圖】通過問題的設計，可以讓學生感受到利用所學的知識可以解決一些問題， 充分體現(xiàn)所學知識的必要性.通過兩種方法的對比，可以對解法進行歸納，并體現(xiàn)坐標法的 思想.一種方法屬圓的個性疇，不能解決公共點的坐標，也不能推廣：另一種方法具有一般 性，可以解決公共點的坐標，也可類比地推

18、廣到對橢圓、雙曲線、拋物線同類問題的研究中.(四) 鞏固新知問題3：已知圓C的方程為? + /=8,直線？過定點尺），斜率為匕 當直線？與圓。相交：相切：相離時，分別求左的取值.師生活動：學生練習鞏固，教師巡視指導，利用投影展示學生的解題過程，并提岀解題 的規(guī)要求.利用幾何畫板的動態(tài)演示，讓學生充分認識到“數(shù)”與“形”的對應關系.【設計意圖】通過問題的設計，不但可以鞏固所學知識，還可以讓學生真正體會由幾 何問題（位置關系）”到“代數(shù)問題（坐標、方程、點到直線的距離公式、聯(lián)立方程組等）， 再到“幾何問題（分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義）”，充分體現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”，再由“數(shù)” 到“形”的轉(zhuǎn)化過程，是轉(zhuǎn)化思想的具體應用.（五）歸納小結(jié)問題4：（1）通過本節(jié)課的學習，你學到了哪些知識？（2）通過本節(jié)課的學習，你掌握了哪些方法？（3）本節(jié)課