有關(guān)角平分線輔助線做法-含例題與分析

1、由角平分線想到的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)： a、對(duì)稱(chēng)性； b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。 對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)， 一般考慮作垂線； 其它情況下 考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。DC與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等如圖 1-1 ， AOC=BOC，如取 OE=O，F(xiàn) 并連 接 DE、DF，則有 OED OFD，從而為我們證 明線段、角相等創(chuàng)造了條件。例1 如圖 1-2 ，AB/CD， BE平分 ABC，

2、CE平分 BCD，點(diǎn) E在 AD上，求證：BC=AB+C。D 分析：此題中就涉及到角平分線，可以利 用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分 線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)圖形， 同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題， 在證明線段的和 差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明， 延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線 段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等， 延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等， 截取要證明截取后剩下的線段與某條 線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。簡(jiǎn)證 ：在此題中可在長(zhǎng)線段 BC上截取 BF=AB，再證明 CF=CD，從而達(dá)到證明 的目的。 這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角

3、形。 另外一個(gè)全等自已證明。 此 題的證明也可以延長(zhǎng) BE與 CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。例2 已知：如圖 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=D，B 求證 DCAC分析 ：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。 構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問(wèn)題自已證明例3 已知：如圖 1-4 ，在 ABC中， C=2B,AD平分 BAC，求證： AB- AC=CD分析 ：此題的條件中還有角的平分線， 在證明 中還要用到構(gòu)造全等三角形， 此題還是證明線段的 和差倍分問(wèn)題。 用到的是截取法來(lái)證明的， 在長(zhǎng)的 線段上截取短的線段， 來(lái)證明。 試試看可否把短的 延長(zhǎng)來(lái)證明呢？練習(xí)1 已知在

4、ABC中，AD平分 BAC，B=2C，求證： AB+BD=AC2 已知：在 ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交 BC于E，AB=2AC， 求證： AE=2CE3已知：在 ABC中，ABAC,AD為 BAC的平分線， M為 AD上任一點(diǎn)求證： BM-CMAB-AC4 已知： D是 ABC的 BAC的外角的平分線 AD上的任一點(diǎn)，連接 DB、 DC。求證： BD+CDAB+。AC二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線， 利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明圖 2-1問(wèn)題。例1 如圖 2-1，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=B。C求證： ADC+B=

5、180分析 ：可由 C向BAD的兩邊作垂線。近而證 ADC與 B之和為平角例2 如圖 2-2，在 ABC中， A=90 ，AB=AC， ABD= CBD。求證： BC=AB+AD分析 ：過(guò) D 作 DEBC于 E，則 AD=DE=C，E則構(gòu)造出 全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題， 從中利用了相當(dāng)于截取的方法。例3 已知如圖 2-3， ABC的角平分線 BM、CN相交于點(diǎn) P。求證： BACMFC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn) P。分析：連接 AP，證 AP平分 BAC即可，也就是證 P到 AB、 AC的距離相等。練習(xí)：A1如圖 2-4 AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDO A，如果

6、PC=4，則 PD=（ ）A 4 B 3 C 2 D 12已知在 ABC中， C=90 ，AD平分 CAB，CD=1.5,DB=2.5.求 AC。3已知：如圖 2-5, BAC=CAD,ABA，DCEAB，1AE=2 （ AB+AD）. 求證： D+ B=180 。4.已知：如圖 2-6, 在正方形 ABCD中，E為 CD 的中點(diǎn)， F 為 BC上的點(diǎn)， FAE=DAE。求證： AF=AD+C。F5 已知：如圖 2-7，在 RtABC中， ACB=90 ,CDAB，垂足為 D，A E平分 CAB交CD于F，過(guò) F作 FH/AB交 BC于 H。求證 CF=BH。三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角

7、形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線， 使之與角的兩邊相交， 則截得一個(gè)等腰三角形， 垂足為底邊上的中點(diǎn)， 該角平分線又成為底邊上的中線和高， 以利用中位線的性質(zhì)與等腰三 角形的三線合一的性質(zhì)。 （如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一 邊相交）。例1 已知：如圖 3-1， BAD=DAC，ABAC,CDAD于 D，H是 BC中點(diǎn)。1求證： DH= （AB-AC）2分析：延長(zhǎng) CD交AB于點(diǎn) E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證例2 已知：如圖 3-2 ， AB=AC， BAC=90 ，AD為 ABC的平分線， CEBE.求證： BD=2C。E分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作

8、角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角例 3已知：如圖 3-3 在ABC中，AD、AE分別 BAC的內(nèi)、外角平分線，N圖3-3過(guò)頂點(diǎn) B作BN垂直 AD,交AD的延長(zhǎng)線于 F，連結(jié) FC并 延長(zhǎng)交 AE于 M。求證： AM=M。E分析：由 AD、AE是 BAC內(nèi)外角平分線，可得 EA AF，從而有 BF/AE，所以想到利用比例線段證相等。例4已知：如圖 3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交 AD1 延長(zhǎng)線于 M。求證： AM= （AB+AC）2分析 ：題設(shè)中給出了角平分線 AD，自然想到以 AD為軸作對(duì)稱(chēng)變換，作 AB1ECnDBM圖3-4D關(guān)于

9、AD的對(duì)稱(chēng) AED，然后只需證 DM=2 EC，另外1由求證的結(jié)果 AM= （AB+AC），即 2AM=AB+A，C也可 嘗試作 ACM關(guān)于 CM的對(duì)稱(chēng) FCM，然后只需證 DF=C F即可。練習(xí)：1 已知：在 ABC中，AB=5，AC=3，D是 BC中點(diǎn)， AE是BAC的平分 線，且 CEAE于 E，連接 DE，求 DE。2 已知 BE、BF分別是 ABC的 ABC的內(nèi)角與外角的平分線， AFBF 1于 F，AE BE于 E，連接 EF分別交 AB、AC于 M、 N，求證 MN= BC2四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)， 常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線， 從而構(gòu)造

10、等腰 三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交， 從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖 4-1 和圖 4-2 所示。圖4-2例4如圖， ABAC, 1=2，求證：ABACBDCD。CD例 5 如圖， BCBA，BD平分 ABC，且 AD=C，D 求證： A+ C=180。例 6 如圖， ABCD， AE、DE分別平分 BAD各 ADE，求證： AD=AB+C。D練習(xí)：1. 已知，如圖， C=2A，AC=2BC。求證： ABC是直角三角形2已知：如圖， AB=2AC，1=2，DA=D，B 求證： DCACCBD3已知 CE、AD是 ABC的角平分線， B=60，求證： AC=A

11、E+CD4已知：如圖在 ABC中，A=90，AB=AC，BD是 ABC的平分線，求證： BC=AB+AD五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例 6如圖 7，ABC是等腰直角三角形， BAC=90 ， BD平分 ABC交 AC 于點(diǎn) D，CE垂直于 BD，交 BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E。求證： BD=2C。E證明：延長(zhǎng) BA，CE交于點(diǎn) F，在 BEF和 BEC中， 1=2，BE=BE， BEF=BEC=90 ， BEFBEC， EF=EC，從而 CF=2CE。又 1+F=3+F=90，故 1=3。在 ABD和 ACF中， 1=3，AB=AC， BAD=CAF=90， ABDACF， BD=C，F(xiàn) BD=2C。E 注：此例中 BE是等腰 BCF的底邊 CF的中線。六）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分線 AD,CE 相交于點(diǎn) O，求證： OE =OD2：（06 鄭州市中考題）如圖， ABC中，A D平分 BAC，DGBC且平分 BC，DEAB于 E，DF AC于 F. （1）說(shuō)明 BE=CF的長(zhǎng).F的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE中考應(yīng)用（06 北京中考）如圖， OP是 MON的平分線， 請(qǐng)你利用該圖形