第4章線性方程組

1、專 兩會珅乏芒說 數(shù)學系教師備課用紙第四章線性方程組一、本章教學目的及基本要求：教學目的：1、熟練掌握線性方程組的高斯消元法。2、掌握線性方程組有解的判定定理。3、熟悉線性方程組解的結(jié)構(gòu)。教學要求：1識記：消元法、一般解。2理解：線性方程組解的判定和解的結(jié)構(gòu)。二、本章教學內(nèi)容及學時分配：1消元法、2線性方程組解的判定定理（2學時），3線性方程組解的結(jié)構(gòu)（2學時）習題課（2學時）。三、本章教學內(nèi)容的重點和難點：重點：線性方程組的消元法，線性方程組解的判定。難點：線性方程組解的結(jié)構(gòu)。四、本章主要參考書目：1、普通高等教育“九五”國家教委重點教材編，第三版，高等教育出版社，1999年6月。2、 高等

2、數(shù)學第二版第三冊物理專業(yè)用 版社，1990年5月。3、高等代數(shù)丘維聲編，高等教育出版社，工程數(shù)學線性代數(shù)，同濟大學數(shù)學教研室 四川大學數(shù)學系高等數(shù)學教研室編高等教育出96年12月。1孫 柯卅坤花芒九數(shù)學系教師備課用紙*1消元法般線性方程組1. 一般線性方程組是指形式為aiiXi +B2X2 +ill +ainXn(1)a2ixi + a22x2 卄 11 +a2nXn =dI IIIIIIIHIIIIIIIIIIIinillHIIHIasiXias2X2III asnXn 二 bs的方程組，其中xzHIXn代表n個未知量，s是方程個數(shù)；aj (1,2j|,s, j -1,2J|,n)稱為方程組

3、的系數(shù)；b (i=1,2川|,s)稱為常數(shù)項.2. 方程組的解：設(shè)k1,k2 JH, kn是n個數(shù)，如果X1,X2|,Xn分別用k1,k2|,kn代入后，(1)中每一個式子都變成恒等式，則稱有序數(shù)組(k1,k2,|)l,kn)是(1 )的一個解.(1 )的解的全體所成集合稱 為它的解集合.解集合是空集時就稱方程組(1)無解.3. 同解方程組如果兩個線性方程組有相同的解集合，則稱它們是同解的.4. 方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣3矩陣而矩陣勺11a12IIIa1n “a21a22川a2n川IIIIHIII稱為1as2IIIasn勺11a12IIIa1rb1a21a22HIa2n b2川HIHIHI川

4、las1as2IIIasrbs稱為方程組(1)的增廣矩陣.(1)的系數(shù)矩陣；、消元法1引例2 X1 - X? 3 X3 = 1解線性方程組1 1 1 .2X1 -2X2 X3 =13x1 2x2 - 5x3 = 0解：第二個方程乘以 2,再與第一個方程對換次序，得X1 _X2 _X3 =22 x1 - x2 _ 3x3 -13x1 2x2 -5x3 = 0專 兩會珅藝 皿 數(shù)學系教師備課用紙第二個方程減去第一個方程的2倍，第三個方程減去第一個方程的3倍，得X| - x2 - x3X2x3 = -37第三個方程減去第二個方程的5倍，得X1 - x2 - x3=23x3 - 91第三個方程乘以1，

5、得3Xi - X2 - X3 = 2X2X3 = 3第一個方程加上第三個方程，第二個方程加上第三個方程，得XX2這樣便求得原方程組的解為xi = 5 x2 =0”3 或（5,0,3）.2. 線性方程組的初等變換定義：線性方程組的初等變換是指下列三種變換 用交換兩個方程的位置. 用一個非零的數(shù)乘某一個方程； 將一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上；性質(zhì)：線性方程組經(jīng)初等變換后，得到的線性方程組與原線性方程組同解.*2線性方程組有解判定定理、利用初等變換解一般線性方程組(化階梯方程組)(1)anX1 +a12X2 +H| + a1nXn =4嚴2必 +a22X2 + 川 +a2nXn =b2IIIIII

6、IHIIIIIIIIIIimillHIIHIas1X1 as2X2 |l| asnXn = bs首先檢查 中咅的系數(shù)，若a11,a21|,as1全為零，則咅沒有任何限制，即石可取任意值,從而方程組（1）可以看作是X2,|）l,Xn的方程組來解如果 為的系數(shù)不全為零，不妨設(shè)an =0 ,分別把第一個方程的-曙倍加到第i個方程（i = 2，HI,s） 于是 就變成(2)811X1+812X11 +a1nXn =bi a；2X2 +川 +a；nXniiiiHiiiiiHiiiimiinas2X2 + 11 +asnXn =bs其中ai1aij - aij_ a1再考慮方程組丄822X2 J|l a2

7、n Xn =匕2(3)l iiiiiiiniiiiiiiiiHin*as2X2III asnXn 二 bs顯然方程組（2）有解當且僅當方程組（3）有解，而（1）與（2）是同解的，因之，方程組 （1）有解當 且僅當方程組（3）有解.階梯形方程組為了討對方程組（3）重復上面的討論，并且一步步作下去，最后就得到一個論的方便，不妨設(shè)所得的階梯形方程組為61X1 +G2X2 +11|+01人 +H|+O1nXn =d1C22X2 +H|+C2rXr +H|+C2nXn =d2IIIIIHIIIIIIIIIIIIIIinillHIIIIIIHII缶人+川+鉆0 = df 0 = 0 huh 0=0其中G

8、=0, i =2,IH,r.方程組（4 ）中的“0 = 0”這樣一些恒等式可能不出現(xiàn)也可能出現(xiàn)，這時去掉它們不影響（4 ）的解.而且與（4 ）是同解的.考察方程組的解的情況：1 dr 1 =0時，方程組（4 ）無解，從而（1 ）無解.2 dr 1 =0時，方程組（4 ）有解，從而（1 ）有解，此時去掉 0 = 0 的方程.分兩種情況:i）若r =n .這時階梯形方程組為CiiXi +O12X2 +j|+Cinxn =diC22X2丨|1C2nXn =d2CnnXn = dn其中Cii =0, i =2,川,n.此時方程組有唯一解.CiiXiii）若r : n ,這時階梯形方程組可化為G2X2G

9、rXr =di Ciii 一川CXnC22X2C2rXr =dC2,r i兀 i 一川CXnCrr Xr - d r _ C ,r iXr d H _ Crn Xn其中5 =0, i =2,川，r.此時方程組有無窮多個解.事實上，任意給Xr i jH,Xn 一組值，由（6）就唯一地定出XiJH,Xr的一組值.一般地，由我們可以把 xj|,xr通過Xri，川，Xn表示出來這樣一組表達式稱為方程組（1）的一般解，而Xr dJH,Xn稱為一組自由未知量.二、線性方程組應(yīng)用消元法求解的矩陣表示（觀察到上述過程中，僅僅對方程組的系數(shù)和常數(shù)項進行運算，未知量并未參與運算，從 而方程組的初等變換可用方程組的

10、增廣矩陣的初等行變換來刻劃.）不妨設(shè)線性方程組（i）aiia2iIII的增廣矩陣IIIIIIHIIIIai2a22HIas2ain bla2n b2HI IIIasn bs經(jīng)過一系列初等行變換化成階梯陣柯卅珅花電九數(shù)學系教師備課用紙9HiC12111ClrCI,r 1HIC1ndi0111p2r2,r 1IHC2nd2HIin111IIIHiIHIIIHI00111CrrCr,r 1IHCrndr0011100IH0dr 100000III00HIin111IIIHiIHIIIHI0011100IH00其中G =, i =2,川，r.1 dr1 =0時，方程組（1 ）無解.2 dr 0時，方程

11、組（1 ）有解：若r = n,方程組（1）有唯一解；若r : n,方程組（1）有無窮多解.定理 線性方程組（1）有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即R(A)二 R(A).例解下列方程組f 2Xr _ x2 3x3 二 1(1) 4x, _2x2 +5x3 =42x, -x2 +4x3 = -1j 2Xr _ x2 3x3 = 1(2) 4x, _2x2 +5x3 =42% _x2 +4x3 =0、齊次線性方程組的解 定理1在齊次線性方程組 62X2 III ainXn =0 822X2 III a2nXn =0illlHHIIIIIIIIHIHHIIHIIHIHasiX!as

12、2X2 III asnXn =0ai Xia?i x中，如果s ： n，則它必有非零解.axi X2 X3 = 4討論線性方程組xi bx2 x 3何時有解？何時無解？在有解的時候求出它的x-i 2bx2 x3 = 4般解.專 兩會珅藝 皿 數(shù)學系教師備課用紙15X2 X3 = 1例2 討論線性方程組是否有解?ax1 bx2 cx3 = d2 222?a,b,c, d 各不相同.a x-i b x2 c x3 = d3 333a x- b X2 c X3 二 d總結(jié)： 線性方程組有解二 系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩； 當方程組有解時，如果未知數(shù)n個，系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩全為r，則rn時，有無

13、窮多個解；r=n時，只有唯一一個解； 對于齊次方程組，那么一定有解，且rn時有非零解；r=n時只有零解； 對于方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)的方程組，則D = 0時有唯一解；D = 0時分兩種情況（r二L有無窮多解，r = r 時無解）。 對于方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)，且為齊次方程的方程組，則則D = 0時只有零解（唯一解）；D = 0時有非零解（無窮多解）。3線性方程組解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3X1+812X2+ +ainXn =0a2必+a22X2+ +a2nXn =0 (1)asiX,+as2X2+asnXn =0它的系數(shù)矩陣的列向量用2， ，- n表示，則方程變?yōu)?22亠亠Xnn = 0

14、，這個方程組的解可以看作 n維向量空間中的一個向量。從而可得到下列結(jié)論：1解的性質(zhì)性質(zhì)1（1）的兩個解的和還是（1）的解；性質(zhì)2（ 1）的一個解的倍數(shù)還是（1）的解；性質(zhì)3（1）的解的任一線性組合還是（1）的解.2.解空間定義 設(shè)W為齊次線性方程組（1）的全體向量，則 W關(guān)于解的線性運算封閉，所以W是一個向量空間稱之為齊次線性方程組（1）的解空間.3 .基礎(chǔ)解系定義 齊次線性方程組（1）的一組解 2,1”，r，若滿足1）1, 2,1山r線性無關(guān)；2）（ 1）的任一解向量可由1, 2,川，r線性表出.則稱2,1, r為（1）的一個基礎(chǔ)解系.注：非齊次方程組沒有基礎(chǔ)解系。4 .基礎(chǔ)解系存在性定理7

15、在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于n -r , r =R(A).證：（先求出齊次線性方程組的通解，由于它有非零解，必有自由變量，在自由變量中取一 個數(shù)為1，其它數(shù)取為0）,也就是（1）的n -r個解“1 =(C11,C12,iH,C1r,1,0,川,0)n_,為（1 ）的一個基礎(chǔ)解系.(cn-r ,1, Cn-r ,2IH,Cn-r,r ,0,0,川，2 =(C21 , C22, 111, Qr ,0,1,川,0)例1 求齊次線性方程組Xix2 _X3 一x4 02x1 - 5x2 3x3 2x4 丁7x1 - 7x2 3x3 x4 = 0的基礎(chǔ)解

16、系.1023、n1-1-1、77解：At4T0-7 54T017,00 0 000007)原方程組的解為3x4x2x4令 X3 “,X4=0，得 i = (2； 7,3.71,0); 令 X3=0,&=1，得 2 =(5 7,4,70,1).原方程的基礎(chǔ)解系為1, 2,原方程組的一般解為k1 1 k2 2, k1, k R.般線性方程組解的結(jié)構(gòu)_La11X| 31 nxn = b1blllHIIIIIHIIHiniHIas1X1 asnXn =bs(3)anX1 |l|amXn = 0(令b =0, i =1,Ms)as1X1 |l| asnXn =0(4)稱（4）為（3）的導出組.1 解的性

17、質(zhì)性質(zhì)1廣2為（3）的兩個解=1- 2為其導出組（4）的解.性質(zhì)2 為（3）的一個解，為其導出組（4）的解y 仍為（3）的解.2 解的結(jié)構(gòu)定理若o為（3）的一個特解，則方程組（3）的任一解 皆可表成咐二；v0 ，其中 的其導出組（4）的一個解.從而有：方程組（3）的一般解為咐=飛川.kn# z 其中為（3）的一個特解，1, 2, III, n+為導出組的一個基礎(chǔ)解系.即（3）的解集為 :0 k 1k_r _n |r k i ,P illl, -, n r3求一般線性方程組（3）的一般解步驟：1）求出其導出組的基礎(chǔ)解系1， 2,1, t ；2）求出其一個特解 0 ;3）（ 3）的一般解為 =0 k1kt t.f Xi - x? - X2 X4 = 0例2 求解方程組 為-x2 - x2 -3x4 =1為一x2 -2x2 3x4 二-1 2解：1 -1-110 、n$與-1-110 乜 片卄2“-10 -11/2、A =1 -11-31T002-41T001-21/2J -1 -2 3-億00-12-億0000可見R（A） =R（A），方程組有解，并有區(qū)=x2 X 12X3 二 2x41 2取x2 =x4 =0，則x, =x3 =12，即