高中數(shù)學優(yōu)秀教案(分享)

1、王新 敞王新 敞王新 敞王新 敞 王新 敞王新 敞王新 敞王新 敞王新 敞課題：7.5曲線和方程（一）曲線和方程教學目標：1 了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系，領會“曲線的方程” 與“方程的曲線”的概念及其關系，并能作簡單的判斷與推理2 在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié) 合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想，以及坐標法、待定系數(shù)法等常用的 數(shù)學方法3 培養(yǎng)學生實事求是、合情推理、合作交流及獨立思考等良好的個性品質(zhì)， 以及主動參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神教學重點：理解曲線與方程的有關概念與相互聯(lián)系教學難點：定義中規(guī)定兩個關系（純粹性和完備性）授課類型：新

2、授課王新 敞王新 敞課時安排：1 課時王新 敞教 具：多媒體、實物投影儀教材分析：王新 敞曲線屬于“形”的范疇，方程則屬于“數(shù)”的范疇，它們通過直角坐標系 而聯(lián)系在一起，“曲線和方程”這節(jié)教材，揭示了幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)” 的統(tǒng)一，為“依形判數(shù)”和“就數(shù)論形”的相互轉(zhuǎn)化奠定了扎實的基礎這正 體現(xiàn)了幾何的基本思想，對解析幾何教學有著深遠的影響曲線與方程的相互 轉(zhuǎn)化，是數(shù)學方法論上的一次飛躍本節(jié)教材中把曲線看成是動點的軌跡，蘊 涵了用運動的觀點看問題的思想方法；把曲線看成方程的幾何表示，方程看作 曲線的代數(shù)反映，又包含了對應與轉(zhuǎn)化的思想方法由于曲線和方程的概念是解析幾何中最基本的內(nèi)容，因而

3、學生用解析法研 究幾何圖形的性質(zhì)時，只有透徹理解曲線和方程的意義，才能算是尋得了解析 幾何學習的入門之徑求曲線的方程的問題，也貫穿了這一章的始終，所以應 該認識到，本節(jié)內(nèi)容是解析幾何的重點內(nèi)容之一根據(jù)大綱要求，本節(jié)內(nèi)容分為 3 個課時進行教學，具體的課時分配是：第 一課時講解“曲線與方程”與“方程與曲線”的概念及其關系；第二課時講解 求曲線方程的一般方法，第三課時為習題課，通過練習來總結(jié)、鞏固和深化本 節(jié)知識，并解決與曲線交點有關的問題?？紤]到本節(jié)內(nèi)容的基礎性和靈活性， 可以對課本例題和練習作適當?shù)恼{(diào)整，或進行變式訓練針對第一課時概念強、思維量大、例題習題不多的特點，整節(jié)課以啟發(fā)學 生觀察思考

4、、分析討論為主。當學生觀察例題回答不出“為什么”時，可以舉 幾個點的坐標作檢驗，這就是“從特殊到一般”的方法；或引導學生看圖，這 就是“從具體（直觀）到抽象”的方法；或引導學生回到最簡單的情形，這就 是以簡馭繁；或引導學生看（舉）反例，這就是正反對比，總之，要使啟發(fā)方 法符合學生的認知規(guī)律王新 敞1 / 7-11王新 敞教學過程：一、復習引入：溫故知新，揭示課題問題： (1)求如圖所示的 ab 的垂直平分線的方程；(2)畫出方程x +y =0和方程y =x2所表示的曲線觀察、思考，求得(1)的方程為 yy =x王新 敞，(2)題畫圖如下1a2.521.5y=x2-1 01bx10.51-2 -

5、10-0.51x+y=02 3 -1講解：第 (1) 題是從曲線到方程，曲線 c( 即 ab 的垂直平分線 )點的坐標(x,y)方程 f(x,y)=0第(2)題是從方程到曲線，即方程 f(x,y)=0 解(x,y)(即點的坐標) 曲 線 c教師在此基礎上揭示課題，并提出下面的問題讓學生思考問題:王新 敞方程 f(x,y)=0 的解與曲線 c 上的點的坐標，應具備怎樣的關系，才叫方程 的曲線，曲線的方程？設計意圖：王新 敞通過復習以前的知識來引入新課，然后提出問題讓學生思考，創(chuàng)設問題情 境，激發(fā)學生學習的欲望和要求二、講解新課： 1. 運用反例，揭示內(nèi)涵王新 敞由上面得出：“曲線上的點的坐標都是

6、方程的解”和“以方程的解為坐標的 點都在曲線上”后，不急于拋物線定義，而是讓學生判斷辨別問題：下列方程表示如圖所示的直線 c，對嗎？為什么？王新 敞y（1）x -y =0;1（2）x 2 -y 2 =0;-1 01x2 / 7王新 敞王新 敞（3）|x|-y=0.上題供學生思考，口答方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲線 c 的方程第（1）題中曲線 c 上的點不全都是方程x -y =0的解，如點(-1,-1)等，即不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”這一結(jié)論；第(2)題中，盡管“曲線 c 上的坐標都是方程的解”，但以方程x2 -y 2=0的解為坐標的點不全在曲線 c 上，如點(2，-2)等

7、，即不符合“以方程的解為坐 標的點都在曲線上”這一結(jié)論；第(3)題中，類似(1)(2)得出不符合“曲線上的點的坐標都是方程的解”， “以方程的解為坐標的點都在曲線上”事實上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲 線應該是下圖的三種情況：y1y1y1-1 0 1x-1 0 1x-1 0 1x(1) x- y=0(2)x2-y2 =0(3)|x|-y=0上面我們既觀察、分析了完整地用方程表示曲線，用曲線表示方程的例子， 又觀察、分析了以上問題中所出現(xiàn)的方程和曲線間所建立的不完整的對應關系 2討論歸納，得出定義討論題：在下定義時，針對（1）x -y =0中“曲線上有的點的坐標不是方程的解”以及（2）x

8、2-y2=0中“以方程的解為坐標的點不在曲線上”的情況，對“曲線的方程應作何規(guī)定？學生口答，老師順其自然地給出定義這樣，我們可以對“曲線的方程” 和“方程的曲線”下這樣的定義：在直角坐標系中，如果某曲線 c 上的點與一個二元方程 數(shù)解建立了如下關系：f ( x , y) =0的實(1) 曲線上的點的坐標都是這個方程的解；（純粹性）(2) 以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點（完備性）那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線王新 敞設計意圖：王新 敞 王新 敞上述概念是本課的重點和難點，讓學生自己通過討論歸納出來，老師再說3 / 7王新 敞王新 敞清楚這兩大性質(zhì)(純粹性和完備性)的

9、含義，使學生初步理解這個概念3變換表達，強化理解王新 敞曲線可以看作是由點組成的集合，記作 c；一個關于 x,y 的二元方程的解 可以作為點的坐標，因而二元方程的解也描述了一個點集，記作 f請大家思考：如何用集合 c 和點集 f 間的關系來表達“曲線的方程”和“方 程的曲線”定義中的兩個關系，進而重新表述以上定義關系(1)指集合 c 是點集 f 的子集，關系(2)指點集 f 是點集合 c 的子集 這樣根據(jù)集合的性質(zhì)，可以用集合相等的概念來定義“曲線的方程”與“方程 的曲線”，即：(1) c f(1) f c c =f 王新 敞設計意圖：通過集合的表述，使學生對曲線和方程的關系的理解得到加深和強

10、化，在 記憶中上也趨于簡化三、講解范例：例 1 解答下列問題，且說出各依據(jù)了曲線的方程和方程的曲線定義中的 哪一個關系？(1)點m (3, -4), m ( -2 5,2) 1 2是否在方程為x2+y2=25的圓上？(2)已知方程為x 2 +y 2 =25的圓過點m ( 7, m) 3，求 m 的值學生練習，口答；教師糾錯、小結(jié)王新 敞依據(jù)關系(1)，可知點 m 在圓上， m 不在圓上1 2依據(jù)關系(2)，求得m =3 2王新 敞例 2證明以坐標原點為圓心，半徑等于 5 的圓的方程是x 2 +y 2 =25由學生自己閱讀課本解答，教師適時插話，強調(diào)證明要緊扣定義，分兩步 進行給出推論，升華定義

11、：(1)兩曲線c : f ( x, y ) =0, c : f ( x , y ) =0 1 1 2 2的交點的坐標必為方程組f ( x, y) =0 1f ( x, y) =0 2的實根王新 敞4 / 7王新 敞王新 敞王新 敞王新 敞2（2）兩曲線c : y = f ( x), c : y =f 1 2( x )的交點的橫坐標必為方程f ( x ) =f( x )的實根王新 敞四、課堂練習：1如果曲線 c 上的點滿足方程 f（x,y)=0，則以下說法正確的是（ ） a.曲線 c 的方程是 f(x,y)=0b. 方程 f(x,y)=0 的曲線是 cc. 坐標滿足方程 f(x,y)=0 的點在

12、曲線 c 上d. 坐標不滿足方程 f（x,y)=0 的點不在曲線 c 上分析：判定曲線和方程的對應關系，必須注意兩點：（1）曲線上的點的坐 標都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性；（2）以這個方 程的解為坐標的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性，只有 點和解一一對應，才能說曲線的方程，方程和曲線解：由已知條件，只能說具備純粹性，但不一定具備完備性.故選 d2.判斷下列結(jié)論的正誤，并說明理由.（1）過點 a（3，0）且垂直于 x 軸的直線的方程為 x=0; (2)到 x 軸距離為 2 的點的直線方程為 y=-2;王新 敞(3) 到兩坐標軸的距離乘積等于 1 的點的

13、軌跡方程為 xy=1;(4) abc 的頂點 a（0，-3），b（1，0），c（-1，0），d 為 bc 中點，則中 線 ad 的方程為 x=0分析：判斷所給問題的正誤，主要依據(jù)是曲線的方程及方程的曲線的定義， 即考查曲線上的點的純粹性和完備性.解：（1）滿足曲線方程的定義.結(jié)論正確（2） 因到 x 軸距離為 2 的點的直線方程還有一個；y=2，即不具備完備性. 結(jié)論錯誤.（3） 到兩坐標軸的距離的乘積等于 1 的點的軌跡方程應為xy=1, 即 xy=1.所給問題不具備完備性結(jié)論錯誤王新 敞（4）中線 ad 是一條線段，而不是直線，x=0(-3y0),所給問題不具備純粹性.結(jié)論錯誤.3.方程（

14、3x-4y-12)log (x+2y)-3=0 的曲線經(jīng)過點 a（0，-3）、b（0， 5 74）、c（ ,- ）、d（4，0）中的（ ）3 4a.0 個b.1 個 c.2 個 d.3 個5 / 7王新 敞王新 敞王新 敞分析：方程表示的兩條直線 3x-4y-12=0 和 x+2y-9=0，但應注意對數(shù)的真 數(shù)大于 0，x+2y0解：由對數(shù)的真數(shù)大于 0，得 x+2y0.a(0,-3)、c(53,-74)不合要求王新 敞將 b（0，4）代入方程檢驗，不合要求. 將 d（4，0）代入方程檢驗，合乎要求. 故選 b.4.已知點 a（-3，0），b（0， 5 ），c（4，-353），d（3sec,5

15、tan),其中在曲線 5 x2-9 y2=45上的點的個數(shù)為（ ）a.1 b.2 c.3 d.4 分析：由曲線上的點與方程的解的關系，只要把點的坐標代入方程，若滿足這個方程，說明這是這個方程的解，這個點就在該方程表示的曲線上.解：將點 a（-3，0）、b（0，5）、c（4，-353）、d（3sec,5tan)代入方程 5 x2-9 y2=45 5 x2-9 y2=45檢驗，只有點 a 和點 b 滿足方程.故選 b.5.如果兩條曲線的方程 f (x,y)=0 和 f (x,y)=0，它們的交點 m（x ,y )，求1 2 0 0證：方程 f (x,y)+f (x,y)=0 表示的曲線也經(jīng)過 m

16、點.（為任意常數(shù)） 1 2分析：只要將 m 點的坐標代入方程.f (x,y)+f (x,y)=0，看點 m 的坐標是否滿足方程即可1 2證明：m(x ,y )是曲線 f (x,y)=0 和 f (x,y)=0 的交點，0 0 1 2f （x ,y )=0,f (x ,y )=0.1 0 0 2 0 0f (x ,y )+f (x ,y )=0(r)1 0 0 2 0 0m(x ,y )在方程 f (x,y)+f (x,y)=0 所表示的曲線上.0 0 1 2評述：方程 f (x,y)+f (x,y)=0 也稱為過曲線 f (x,y)=0 和 f (x,y)=0 的1 2 1 2交點的曲線系方程

17、五、小結(jié) ： “曲線的方程”、“方程的曲線”的定義在領會定義時，要牢 記關系(1)、(2)兩者缺一不可，它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的 必要條件兩者滿足了，“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性只 有符合關系(1)、(2)，才能將曲線的研究轉(zhuǎn)化為方程來研究，即幾何問題的研6 / 7王新 敞王新 敞究轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題這種“以數(shù)論形”的思想是解析幾何的基本思想和基本方 法六、課后作業(yè)：1點 a(1，-2)、b(2，-3)、c(3，10)是否在方程 形上？王新 敞x 2 -xy +2 y +1 =0的圖2(1)在什么情況下，方程y =ax2+bx +c的曲線經(jīng)過原點？(2)在什么情況下，方程( x -a )2 +( y -b