等腰三角形三線合一典型題型10001

1、v1.0 可編輯可修改等腰三角形三線合一 專題訓(xùn)練姓名例 1：如圖，四邊形 ABCD中，ABDC，BE、CE分別平分 ABC、 BCD，且點(diǎn) E在 AD上。求證： BC=AB+D。CAB2，BC3，CD1，E 是 AD邊中點(diǎn)。求證：CEBE。變 2： 如圖，四邊形ABCD中， ADBC，E是 CD上一點(diǎn)，且AE、 BE分別平分 BAD、 ABC.1）求證： AE BE；2）求證： E 是 CD的中點(diǎn)；3）求證： AD+BC=AB.11v1.0 可編輯可修改變 3： ABC是等腰直角三角形 ， BAC=90,AB=AC.若 D 為 BC的中點(diǎn)，過 D 作 DMDN分別交 AB、若 DMDN分別和

2、 BA、AC延長線交于 M、 N。問 DM和 DN有何數(shù)量關(guān)系。(1) 已知：如圖， AB=AC， E為 AB上一點(diǎn)， F是 AC延長線上一點(diǎn)，且 BE=CF，EF交 BC于點(diǎn) D求證： DE=DF22v1.0 可編輯可修改(2) 已知：如圖， AB=AC，E為 AB上一點(diǎn)， F是AC延長線上一點(diǎn)，且， EF交BC于點(diǎn) D，且 D為 EF的中 點(diǎn) 求證： BE=CF利用面積法證明線段之間的和差關(guān)系1、如圖，在 ABC中， AB=AC，P為底邊 BC上的一點(diǎn)， PDAB于 D，PEAC于 E，?CF AB于 F，那么 PD+PE與 CF相等嗎33v1.0 可編輯可修改變 1：若 P點(diǎn)在直線 BC

3、上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，則 PD 、PE與 CF的關(guān)系又怎樣，請(qǐng)你作 圖，證明。44v1.0 可編輯可修改腰三角形周長分成 15 和 6 兩部分，求這個(gè)三角形的腰長及底邊長1、已知等腰三角形的兩邊長分別為 4、 9，則它的周長為（）A 17 B 22 C 17 或 22 D 13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律11例 1在 ABC中， AB=AC， 1= ABC， 2= ACB， BD與 CE相交于點(diǎn) O，如圖， BOC的大小22與 A的大小有什么關(guān)系若1=1 ABC，312= ACB，則 BOC與 A大小關(guān)系如何311若 1= ABC， 2= ACB，則 BOC與 A大小關(guān)系如何 nn會(huì)用等腰三角

4、形的判定和性質(zhì)計(jì)算與證明例 2如圖，等腰三角形 ABC中， AB=AC，一腰上的中線 BD? 將這個(gè)等利用等腰三角形的性質(zhì)證線段相等例 3如圖， P 是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié) PA、 PB、 PC，? 以 BP為邊作 PBQ=60，且 BQ=BP， 連結(jié) CQ（1）觀察并猜想 AP與 CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論55v1.0 可編輯可修改2）若 PA： PB：PC=3：4：5，連結(jié) PQ，試判斷 PQC的形狀，并說明理由例 1、等腰三角形底邊長為 5cm，腰上的中線把三角形周長分為差是3cm 的兩部分，則腰長為（ ）A、 2cmB 、 8cm C 、2cm或 8cmD 、不能確

5、定例 2、已知 AD為 ABC的高， AB=AC， ABC周長為 20cm， ADC的周長為 14cm，求 AD 的長。例 3、如圖，已知 BC=3， ABC和 ACB的平分線相交于點(diǎn) O，OEAB，OF AC，求 OEF 的周長。例 4、如圖，已知等邊 ABC中， D 為 AC上中點(diǎn)，延長 BC到 E，使 CE=CD，連接 DE，試說明 DB=DE。例 5、等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為450 ，則這個(gè)三角形是（）A、銳角三角形B 、鈍角三角形 C 、等邊三角形 D 、等腰直角三角形例 6、（ 1）等腰三角形的腰長為10，底邊上的高為 6，則底邊的長為2）直角三角形的周長為12cm，斜邊

6、的長為 5cm，則其面積為3）若直角三角形三邊為1，2， c，則 c=66v1.0 可編輯可修改例 7、下列說法：若在 ABC中 a2+b2 c2，則 ABC不是直角三角形； 若 ABC是直角三角形， C=900，則 a2+b2=c2； 若在 ABC中， a2+b2=c2，則 C=900； 若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以判定這個(gè)三角形是直角三角形。正確的有 （把你認(rèn)為正確的序號(hào)填在橫線上） 。例 8、正三角形 ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn) P，使得 PAB、 PBC、 PCA都是等腰三角形，則這樣的 P 點(diǎn) 有（ ）（A）1 個(gè)（ B）4 個(gè)（C）7 個(gè)（ D）10 個(gè)9.四邊形ABCD中，

7、AB=BC， ABC=CDA=90，BEAD于點(diǎn) E，且四邊形 ABCD的面積為 8，則 BE=AB3C2 2D 2 310.已知 ABC為正三角形，P 為其內(nèi)一點(diǎn)，且AP=4，BP=2 3 ， CP=2，則 ABC 的邊長為A) 2 5B) 2 7C)4D) 4 2.140 呢三鞏固練習(xí)1、已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于 9，求它的周長。2、在 ABC中， AB=AC， B=400，則 A=。3、等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是 700，則它的頂角為。4、有一個(gè)內(nèi)角為 40的等腰三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為5、如圖，在 Rt ABC中， C105o，直線 BD交 AC于 D， 把直角三角形沿著

8、直線 BD翻折，點(diǎn) C恰好落在斜邊 AB上， 如果 ABD是等腰三角形，那么 A 等于（ ）（A）40 o （B） 30 o （C） 25o （D ） 15o6、若 ABC三邊分別為 a、 b、c，且滿足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則 ABC的形狀為（ ）77v1.0 可編輯可修改A）等腰三角形B）直角三角形C）等腰直角三角形D）等邊三角形7、判定兩個(gè)等腰三角形全等的條件可以是）。A、有一腰和一角對(duì)應(yīng)相等、有兩邊對(duì)應(yīng)相等C 、有頂角和一個(gè)底角對(duì)應(yīng)相等、有兩角對(duì)應(yīng)相等8、等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于（A、頂角 B 、底角 C 、頂角的一半D 、底角的一半9、在等腰三角

9、形 ABC中， A與 B度數(shù)之比為 52，則 A的度數(shù)是（A、 100 B 、 75 C 、150D 、 75或 100BAC（）0A、 12500、13000、9000、120011、如圖，ABC中， AB AC，BD、CE為中線，圖中共有等腰三角形（）個(gè)。A、 4 個(gè)10 題圖B 、 6 個(gè) C11 題圖12、如圖， AB AC，AEEC， ACE280，則 B 的度數(shù)是12 題圖A 、 600B、700C、 760D、45010、如圖， P、Q是 ABC邊 BC上的兩點(diǎn)，且 QCAP AQ BPPQ，則13、如圖是一個(gè)等邊三角形木框，甲蟲P 在邊框 AC上（端點(diǎn) A、 C除外）另外兩邊距

10、離之和為 d，等邊三角形 ABC的高為 h，則 d與 h的大小關(guān)系是（解題方法指導(dǎo) 】例 1. 已知，如圖， ABACCD，求證： B 2D88v1.0 可編輯可修改例 2. 已知，如圖， ABC是等邊三角形，AD2005 年蘇州）如圖，等腰三角形 ABC的頂角為 120，腰長為 10，則底邊上的高 AD 例 2. 已知，如圖，ABC中， C90，AB的垂直平分線交 AB于 E，交 AC于 D，AD8，A30，求 CD的長。B例 3. 已知，如圖， ABC是等邊三角形， E 是 AB 上一點(diǎn)， D 是 AC上一點(diǎn)，且 AECD，又 BD與 CE 交于點(diǎn) F，試求 BFE的度數(shù)。99v1.0 可

11、編輯可修改1.綜合測(cè)試】已知，如圖， AB AC， ABD ACD，求證： DBDCC2.已知，如圖， D、E是 BC上兩點(diǎn)， ABAC， ADAE，求證： BDCE3.已知，如圖， ABC中， DE已知，如圖， ABC中， ABAC，D是 AB上一點(diǎn)，E 是 AC延長線上一點(diǎn)， DE交 BC于 F，又 BD CE，求證： DF EF1010v1.0 可編輯可修改5. 已知，如圖， D是 BC上一點(diǎn)， ABC、 BDE都是等邊三角形，求證： ADCE6. 已知，如圖， ABC中， B90，AC的垂直平分線交 AC于 D，交 BC于 E，又 C15， EC 10，求 AB 的長。圖5例 6、如圖

12、 11，在 ABC中，A90， AB AC，D為 BC邊中點(diǎn)， E、F 分別在 AB、 AC上，且 DE DF，求證： AE AF是一個(gè)定值 .證明：連接 AD， ABAC，D 為 BC中點(diǎn)， ADBC， BAC90， AB AC， B C45， BAD45， CAD45， AD BD CD， EDF90， EDA ADF 90，又由 AD BC得 BDE ADE90， BDE ADF，在 BDE和 ADF中， B DAF，BDAD， BDE ADF， BDE ADF，1111v1.0 可編輯可修改例 5、如圖 10，在 ABC中， ACB90， AC BC，M是 AB上一點(diǎn)，求證：22AM

13、2 BM 222CM 2. BEAF， AEAFAEBEAB（定值） . 思考：四邊形 AEDF的面積是否也是定值呢為什么 例 4、如圖 9，已知 AD為 ABC的高， E 為 AC上一點(diǎn)， BE 交 AD于 F，且有 BF AC，F(xiàn)D CD，你認(rèn)為 BE與 AC之間有 怎樣的位置關(guān)系你能證明它嗎 證明：線段 BE AC，理由如下： ADBC， ADB ADC90， FBD BFD90，在 RtBDF和 RtADC中， BFAC，F(xiàn)DCD，Rt BDF RtADC， BFD C， FBD C90， BEC180( FBD C) 1809090，即 BEAC.圖10證明：過 C 作 CDAB于點(diǎn)

14、 D， ACB90， AC BC，CDAB， A B45， ACD BCD45 A ACD， B BCD， ADBD，BDCD，即 ADBDCD， CDAB，22DM 2 CD 22CM 2 ，2 2 2 AM 2 BM 2 (AD DM )2 (BD22DM )2 2(DM 222CD2) 2CM 2.AF圖9C思考：請(qǐng)同學(xué)們?cè)囋囉昧硗獾姆椒▉碜C明本題 例 1、如圖 5，在 ABC中， ABAC，點(diǎn) O在 ABC內(nèi)， OB OC，求證： AOBC.證明：延長 AO交 BC于點(diǎn) D，1212v1.0 可編輯可修改ABAC，OBOC，OAOA， ABO ACO， BAO CAO，即 BAD CA

15、D， ADBC，即 AOBC.例 2、如圖 6，在等邊 ABC中， D、E 分別在邊 BC、BA的延長線上，且 AE BD，求證： CEDE. 證明：過 E 作 EFCD于點(diǎn) F， ABC是等邊三角形， B60， BEF30， BE2BF，即 BA AEBCBD2BC CD2（BCCF）， CD2CF， CF DF，在 CEF和 DEF中， CFDF， CFE DFE90， EFEF， CEF DEF， CEDE.PD AB于點(diǎn) D，PEAC于點(diǎn) E，求例 3、如圖 7，已知在 ABC中， ABAC，P 為底邊 BC上任意一點(diǎn)，解：連接 AP，過點(diǎn) C作 CF AB于點(diǎn) F，由SABC1 AB

16、CF ， S PAB1AB PD ，22SPAC1 AC1 PE ABPE ， S ABC S PAB S PAC ，22得：1 AB CF1AB PD1AB PE ，222即，PDPECF （定值） .證： PD PE是一個(gè)定值圖7說明：本例的結(jié)論可用文字語言敘述為： 等腰三角形底邊上一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于腰上的高拓展： 如果點(diǎn)P不是在邊 BC上， 而是在 BC的延長線上，其它條件保持不變，那么 PD與 PE 之間又有怎樣的關(guān)系呢解：連接 AP，過點(diǎn) C作 CF AB于點(diǎn) F，（如圖 8）由 S ABCS PAC1AB CF ，2S PAB1 AB21AB PD ，2PE ，1 AC2PE

17、SABCS PABS PAC得1 ABCF1 ABPD1AB PE ，222DFC圖8P1313v1.0 可編輯可修改即, PD PE CF （定值） .即，當(dāng)點(diǎn) P 在 BC延長線上時(shí)， PD與 PE之差為一定值 .基礎(chǔ)訓(xùn)練 ： 1、填空題：（ 1）等腰三角形中，如果底邊長為6，一腰長為 8，那么周長是。（ 2）如果等腰三角形有一邊長是6，另一邊長是 8，那么它的周長是；如果等腰三角形的兩邊長分別是 4、8，那么它的周長是。（ 3 ）等腰三角形的對(duì)稱軸最多有條。2、填空題：（ 1）如果 ABC是等腰三角形，那么它的邊長（或周長）可以是（）A、三條邊長分別是 5，5，11B 、三條邊長分別是

18、4，4， 8C、周長為 14，其中兩邊長分別是 4，5 D 、周長為 24，其中兩邊長分別是 6， 12（ 2）等腰三角形一邊長為 2，周長為 5，那么它的腰長為（）A、3 B 、2 C 、 D 、2 或3、已知等腰三角形的腰長是底邊的3 倍，周長為 35cm，求等腰三角形各邊的長。4、已知：如圖， AD平分 BAC， AB=AC，請(qǐng)你說明 DBC是等腰三角形。 x+2y=4的解，5、已知等腰三角形的底邊和一腰長是方程組求這個(gè)三角形的各邊長。1）等腰三角形的頂角平分線、 互相重合。2）等腰三角形有一個(gè)角是 120，那么其他兩個(gè)角的度數(shù)是和 。3） ABC中， A=B=2C，那么 C=。4）在等腰三角形中，設(shè)底角為 x ，頂角為 y，則用含 x 的代數(shù)式表示 y，得 y=；用含 y 的代數(shù)式表示 x，得 x= 2、選擇題：1414v1.0 可編輯可修改（ 1）等腰三角形的一個(gè)外角為 140，那么底角等于（）A、 40 B 、100 C 、70 D 、40或 70（ 2）等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于（）A、頂角 B 、底角 C 、頂