立體幾何基本定義2016

1、側(cè)面積體積直棱柱S側(cè) chV S底 h正棱錐S側(cè)2c h1V3S底 h正棱臺(tái)1 S側(cè)2(c c) hV 1h SSS S3圓柱S側(cè) c h 2 rh2V S底 hr 2h圓錐S側(cè)S扇形rlV 1S底 h 1 r 2h3 底 3圓臺(tái)1S側(cè) S扇環(huán) (c c )l2(R r)lV 1h SSS S31 2 2 h R2Rr r23球S球 4 RV 4 R33邊長(zhǎng) a 外接圓 正三角形外接圓半徑 R3a3切圓半徑 r3a6面積 S32a4正多邊形的邊長(zhǎng) a、外接圓半徑 R、切圓半徑 r 、面積 S：知一求三正方形 2a2正六邊形相關(guān)棱柱幾何體系列a棱柱、斜棱柱、2直棱柱、正棱柱)的關(guān)系：32a4斜棱

2、柱棱柱棱垂直于底面直棱柱底面是正多形 正棱柱 直四棱柱 平行六面體 = 直平行六面體 .四棱柱底面是 平行六面體 平行四邊形其他棱柱側(cè)棱垂直底面直平行六面體底面是矩形長(zhǎng)方體底面是正方形正四棱柱底面?zhèn)冗吤骈L(zhǎng)與相等 正方體幾類特殊的平行六面體 ： 平行六面體 直平行六面體 長(zhǎng)方體 正四棱柱 正方體 ； 1.3 棱柱的性質(zhì)： 側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形； 過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，側(cè)面與對(duì)角面是矩形。1.4 長(zhǎng)方體的性質(zhì)： 1. 在長(zhǎng)方體 (a,b,c) 中： 體對(duì)角線長(zhǎng)為 a2 b2 c2 ，外接球直徑 2R a2 b

3、2 c2 ； 棱長(zhǎng)總和為 4(a b c) ；全 ( 表) 面積為 2(ab bc ca ) ，體積 V abc； 5. 在立方體中：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a ，則體對(duì)角線長(zhǎng)為 3a ，全面積為 6a2 ，體積 V a3 ，切球半徑為 r1 的球半徑為 r3,則 2r1a,2r23a, 2r22ar1:r2:r31:2 :3側(cè)面展開圖 ：正 n 棱柱的側(cè)面展開圖是由 n 個(gè)全等矩形組成的以底面周長(zhǎng)和側(cè) 棱長(zhǎng)為鄰邊的矩形 .外接球半徑為 r2, 與十二條棱均相切AB3.1 棱錐 有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，

4、并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3.2 棱錐的性質(zhì)： 平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比； 正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；正棱錐中六個(gè)元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面的射影、斜高在底面的射影、底面邊長(zhǎng)一半，構(gòu)成四個(gè)直角三 角形。）（如上圖： SOB, SOH, SBH, OBH 為直角三角形）二、（ 1）正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心. 注 ： i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形 . （不是等邊三角形）ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，

5、側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等） ；底面為正多邊形 在正三棱錐中： 側(cè)棱長(zhǎng)相等 （側(cè)棱與底面所成角相等 ） 頂點(diǎn)在底上射影為底面外心； 側(cè)棱兩兩垂直 （ 兩對(duì)對(duì)棱垂直 ） 頂點(diǎn)在底上射影為底面垂心； 斜高長(zhǎng)相等 （ 側(cè)面與底面所成角頂點(diǎn)在底上射影為底面心相等 ） 且頂點(diǎn)在底上在底面（ 2）在正四面體 中：設(shè)棱長(zhǎng)為 a ，則正四面體中的一些數(shù)量關(guān)系全面積 S 3a2 ；體積 V 2 a3 ；對(duì)棱間的距離 d 2 a ；12 21arccos ；外接球半徑3arccoarcco36333aaV 122a363a相鄰面所成二面角6

6、a ；切球半徑46 h a .3r 6 a ；正四面體任一點(diǎn)到各面距離之和為定值12外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式3） 直角四面體的性質(zhì)： （ 直角四面體三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體O ABC 中, OA,OB,OC 兩兩垂直 , 令 OA a,OB b,OC c , 則底面三角形 在底面的射影 H 為三角形 ABC 的垂心； S2BOC S BHCO）. 在直角四面體ABC 為銳角三角形R=Ra b2S ABC ； 外接球半徑直角頂點(diǎn) OB與 SOB相似 ，注意考慮相似比 .母線h軸S 頂點(diǎn)軸截面 rOA O B底面?zhèn)让?. 棱臺(tái) 用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間

7、的部分為棱臺(tái)5.2 正棱臺(tái)的性質(zhì)： 各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形； 正棱臺(tái)的兩個(gè)底面以及平行于底面的截面是正多邊形； 如右圖：四邊形 OMNO,OBBO 都是直角梯形 棱臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成棱錐研究 .如右圖： SOM與 SON, SO4.1 圓錐 以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍 成的幾何體叫圓錐。4.2 圓錐的性質(zhì)： 平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距 離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；軸截面是等腰三角形；如右圖： SAB如右圖： l2 h2 r 24.3 圓錐的側(cè)面展開圖： 圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心，以母線長(zhǎng)為半徑 的扇形。

8、6.1 圓臺(tái) 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做 圓臺(tái) . 圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)；6.2 圓臺(tái)的性質(zhì)： 圓臺(tái)的上下底面，與底面平行的截面都是圓；圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；軸母線lO 上底面 r O D側(cè)面 側(cè)面h 軸截面圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐來研究。如右圖：SOA與 SOB相似 ，注意相似比的應(yīng)用7.4 球面積、體積公式：S球 4 R2,V球 4 R3 （其中 R為球的半徑） 球 球 3三、球心與截面圓心的連線垂直于截面； rR d （球心到截面的距離為 d 、球的半徑為 R、截面的半徑為 r ）AOB 的弧度數(shù)；用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧掌握球面上兩點(diǎn) A、 B間的距離求法：計(jì)算

9、線段 AB的長(zhǎng)；計(jì)算球心角AB的長(zhǎng).【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】數(shù)學(xué)上，某點(diǎn)的經(jīng)度是：經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的平面與本初子午線（ 00 經(jīng)線）和地軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。某點(diǎn)的緯度是：經(jīng)過這 點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù)。如圖：圖（ 1）：經(jīng)度 P點(diǎn)的經(jīng)度，也是 AB或 AOB 的度數(shù)。圖（ 2）：緯度 P點(diǎn)的緯度，也是 PA或 POA 的度數(shù)。（2005 高考卷）設(shè)地球的半徑為 R ，若甲地位于北緯 45 東經(jīng) 120 ，乙地位于南緯D)23R75 東經(jīng) 120 ，則甲、乙兩地的球面距離為（ ） 5（A） 3R（B） R（C） 5 R66答案： D如圖所示東經(jīng) 120 與北緯 45 線

10、交于 A點(diǎn)東經(jīng)120 與南緯 75 線交于 C點(diǎn),設(shè)球心為 B 點(diǎn)從而 ABC 45 , DBC 75 ABD 120 以 B點(diǎn)為圓心過 A、C、D的大圓上 ACD即為所求 . ACD 2 R 120 2 R.360 3如右圖 , 設(shè) A、 B、C、D為球 O上四點(diǎn)，若 AB、AC、AD兩兩互相垂直，且 AB AC 6， AD 2，則 A、D兩點(diǎn)間的球面距離【解析】因?yàn)?AB、AC、AD兩兩互相垂直，所以分別以 AB、AC、AD為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，在長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的 直徑，球的直徑 2R （ 6）2 （ 6）2 2216 4 ，所以球半徑為 R 2 ,在正三角形 AOD 中， AOD ，

11、32所以 A、 D兩點(diǎn)間的球面距離為R 2 .336.3 （二）空間幾何體的三視圖與直觀圖1. 投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。2. 三視圖是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形； 正視圖 光線從幾何體的前面向后面 正投影，得到的投影圖； 側(cè)視圖 光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；正視圖 光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；注：（ 1）俯視圖畫在正視圖的下方， “長(zhǎng)度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊， “高度”與正視圖相等， “寬 度”與俯視圖。 （簡(jiǎn)記為“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長(zhǎng)，俯、側(cè)一樣寬” .（2）正視圖，側(cè)視圖，

12、俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。3.1 直觀圖 是觀察著站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。3.2 斜二測(cè)法： step1 ：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、 Oy，（即取 xoy 90 ）；step2 ：畫直觀圖時(shí)，把它畫成對(duì)應(yīng)的軸ox,oy，取xoy 45 （or135 ） ，它們確定的平面表示水平平面；x 軸（或在 x 軸上）step3 ：在坐標(biāo)系 x o y 中畫直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變，平行于 的線段保持長(zhǎng)度不變，平行于 y 軸（或在 y 軸上）的線段長(zhǎng)度減半。結(jié)論：一般地，采用斜二測(cè)法作出的直觀圖面積是原平面

13、圖形面積的2 倍 . 結(jié)論： S直4直2 2S直1. 空間直線的位置關(guān)系：共面 :a b=A,a/b 異面:a 與b異面異面直線所成的角： （1）圍：0 ,90 ；2. 直線與平面的位置關(guān)系：llA直線與平面所成的角圍：0 ,90 ，42 S原4l /平行： /3. 平面與平面的位置關(guān)系：相交斜交： 垂直：=a3.2 面面斜交二面角：（1）定義：【如圖】OBl,OA lAOB 是二面角 l 的平面角圍： AOB 0 ,180 作二面角的平面角的方法：（1）定義法；（ 2）三垂線法（常用） ；（3）垂面法（1） 線面平行 : 思考途徑 I. 轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)； II. 轉(zhuǎn)化為線線平行；

14、III. 轉(zhuǎn)化為面面平行a/ /b支持定理 ba/配圖助記a/ / ； aa/ /（ 2）線線平行 ：思考途徑 I. 轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)； III. 轉(zhuǎn)化為線面平行； IV. 轉(zhuǎn)化為線面垂直； V. 轉(zhuǎn)化為面面平行 支持定理 a/a aba/b； aba/b；/II.a/b；轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行； a / /b c / /b a / /c3）面面平行：思考途徑 I. 轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)； II. 轉(zhuǎn)化為線面平行； III. 轉(zhuǎn)化為線面垂直/ ； a/ / ； /a ,b 支持定理 a b oa/ / ,b/4）線線垂直：思考途徑I. 轉(zhuǎn)化為相交垂直； II. 轉(zhuǎn)化為線面

15、垂直； III.IV. 轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直 .轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；支持定理a bPOb ；勾股定理； a aa AOPA（ 三垂線及逆定理 ） ；配圖助記思考途徑 I 轉(zhuǎn)化為該直線與平面相交二直線垂直；III 轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；（ 5）線面垂直 ：II 轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；IV 轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直 支持定理a ,b a b Oll a,l b；a/baabl,a； /a配圖助記見 ，馬上找 與 的交線， 需要作出交線的垂線，如 m1、 b ,都有 a b ,想 2、觀察到 a，則有具體與哪條直線平行，可借助線面平行的判定定理。5

16、、見等腰三角形 ，想取底邊的中點(diǎn)，后三線（高線、中線、角 6、直徑對(duì)的圓周角為 900.7、有中點(diǎn)，想再找一中點(diǎn)，運(yùn)用中位線平行且等于底邊的一半。 8、題中線段關(guān)系較多時(shí)，尤其長(zhǎng)度已知，可用勾股定理證明線線垂直。思路： 1、 沒有的話，2、見a且m。3、l,則分別在兩個(gè)面內(nèi)找交線的垂線，l,則m見到a，想 a與 內(nèi)與之同向的直線平行。.4 、見菱形，想對(duì)角線垂直。 平分線）合一。：做 取點(diǎn)連線； step2 ：指（指明出處） ； step3 ：。證步驟： 關(guān)鍵是做好“三步曲” ：step1 二、立體幾何常見題型歸納例講2）線線平行 ：支持定理 a / /b a / /cc/ /ba/aaa/b

17、；注：一線 b 為兩平面的公共線 , 而線2014 卷 如圖 1- 5 所示，四棱錐 分別是棱 PB，AB，CD， PC上共面的四點(diǎn)，平面ba 在其中一面，與另一面平行。 P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為 8 的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為 GEFH平面 ABCD， BC平面 GEFH.ab2 17. 點(diǎn) G，E，F(xiàn)， H（1） 證明： GHEF；（2） 若 EB 2，求四邊形 GEFH的面積19解： （1） 證明：因?yàn)?BC平面 GEFH，BC? 平面 PBC，且平面 PBC平面 GEFH GH，所以 GHBC. 同理可證 EFBC， 因此 GHEF.（2） 連接 AC，BD交于點(diǎn) O，BD交 EF于點(diǎn)

18、 K，連接 OP， GK.因?yàn)?PAPC，O是 AC的中點(diǎn)，所以 POAC，同理可得 PO BD.又 BDACO，且 AC，BD都在平面 ABCD，所以 PO平 面 ABCD. 又因?yàn)槠矫?GEFH平面 ABCD，且 PO? 平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH. 因?yàn)槠矫?PBD平面 GEFH GK，所以 POGK，所以 GK平面 ABCD.又EF? 平面 ABCD，所以 GKEF，所以 GK是梯形 GEFH的高由AB8，EB2得 EBAB 1 1 1 1KBDB14，從而 KB4DB2OB，即 K是OB的中點(diǎn)再由 POGK得 GK2PO，所以 G是PB的中點(diǎn)，且 GH2BC 4. 由已

19、知可得 OB4 2，PO PB2 OB2 68326，所以 GK3，故四邊形 GEFH的面 積 SGH2 EF GK42 8318.18）（本小題滿分 12分） 如圖所示，在三棱錐 P-ABQ中， PB平面 ABQ，BA=BP=BQ，D，C， E， F分別是 AQ， BQ，AP，BP的中點(diǎn)， AQ=2BD，PD與 EQ交于點(diǎn) G，PC與 FQ交于點(diǎn) H，連接GH。 （）求證： AB/GH；（1）因?yàn)?C、D為中點(diǎn)，所以 CD/AB 同理： EF/AB ，所以 EF/CD，EF 平面 EFQ， 所以 CD/ 平面 EFQ，又（1） 線面平行 : 思考途徑a/ /bCD 平面 PCD,所以 CD/

20、GH，又 AB/CD，所以 AB/GH.I. 轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)； II. 轉(zhuǎn)化為線線平行； III. 轉(zhuǎn)化為面面平行支持定理 ba/ ；構(gòu)造中位線，想中點(diǎn)是哪條邊的，第三邊是誰 構(gòu)造平行四邊形證 a 注：中位線與平行四邊形思路的區(qū)別主要在與要證的平面中：頂點(diǎn)也是中點(diǎn)2、面面平行線面平行，需要過 a 找或作與 內(nèi)兩線平行的線1 、線線平行線面平行2 已知如圖幾何體，正方形 ABCD 和矩形 點(diǎn), BN CE。求證 : CF /平面BDM ； 注：發(fā)現(xiàn) M是中點(diǎn)，問題 1： M是誰的中點(diǎn)， 3、第三邊是連沒連？（若沒連，則連接） ，ABEF 所在平面互相垂直, AF 2AB 2AD , M

21、 為 AF 的中2、 AF與 CF 在那個(gè)三角形中其中點(diǎn)是？（常用平行四邊形對(duì)角線得中點(diǎn)連接兩中點(diǎn)，則在三角形如圖，直三棱柱 ABC A/B/C/ ， BAC 90 ，AB ACAA/,點(diǎn) M，N分別為 A/B和B/C/的中點(diǎn)。 （ ）證明：MN 平面 A/ACC/ ;段。如，四棱錐ABCD ，面 ABCD為梯形 ， AB/ DCABCCAD90 ，且 PA ABBC，點(diǎn) E是PB上的動(dòng)點(diǎn) .當(dāng) PD平面 EAC時(shí)，點(diǎn) E 在棱 PB 上的位置；【答案】 21. 解：（）在梯形 ABCD中，由 AB BC， AB BC，得 BAC ，4 DCA BAC 又 AC AD，故 DAC為等腰直角三角

22、形 . DC2AC 2 2AB 2AB. 連4接 BD ，交 AC 于點(diǎn) M ，則 DM DC 2. PD 平面 EAC, 又平面 EAC 平面 PDB ME , PD / EM . MB AB在 BPD 中， PE DM 2，即 PE 2EB時(shí)， PD 平面 EAC.EB MB平行四邊形的思路主要找周轉(zhuǎn)第三方證與平行，須 3號(hào) 4號(hào)且相等找周轉(zhuǎn)第三方面面平行例：如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓 O的直徑， EF是上底面圓 O 的直徑， FB是圓臺(tái)的一條母線 .（I ）已知 G, H分別為 EC， FB的中點(diǎn)，求證： GH平面 AB證明：設(shè) FC的中點(diǎn)為 I ,連接 GI,HI ,在CEF ,

23、因?yàn)?G是CE的中點(diǎn)，所以GI/E F,又EF /OB ,所以 GI /OB ,在 CFB中，因?yàn)?H 是FB的中點(diǎn)，所以 HI /BC，又HIGI I ,所以平面 GHI /平面 ABC ，因?yàn)?GH 平面 GHI ，所以 GH / 平面 ABC .（18）在如圖所示的幾何體中， D是 AC的中點(diǎn)， EF DB. I ）已知 AB=BC，AE=EC. 求證： ACFB；（ II ）已知 G, H分別是 EC和 FB的中點(diǎn) .求證： GH平面 ABC. 試題分析：（）根據(jù) EF /BD，知EF 與BD確定一個(gè)平面， 連接 DE ，得到 DE AC，BD AC ，從而 AC 平面 BDEF ，證

24、得 AC FB .）設(shè) FC的中點(diǎn)為 I ，連 GI,HI ，在 CEF ，CFB 中，由三角形中位線定理可得線線平行，證得平面GHI /但lb不易證，此時(shí)可證 bl所在的面l a ；面面垂直找交線，a,al l al a線在面，線線垂直）垂直交線垂直（另共面直線，特殊圖形（如等腰三角形三線合一、菱形對(duì)角線垂直）線段長(zhǎng)度已知時(shí)，用勾股定理或證明正切值互為倒數(shù)，從而兩角和為面。a異面直線垂直：證 aa b ； baab。mabbmb900.發(fā)現(xiàn) a c易證，此時(shí)，下面讓 b、 c在同一平面 內(nèi)（若不在，平移直線 c到平面 在平面 內(nèi)找第三邊 d，此時(shí)一定有 a d（一般證 d垂直于 a所在的平面

25、）,）a: b cd. ac此時(shí) a d a, 而b, a bc d Ac ,d ,如證正方體的體對(duì)角線垂直于與之異面的面對(duì)角線面面垂直思路一、看平面與 誰的垂線好找，般水平面或豎直面的垂線好找，在哪兒找，在對(duì)方中找）如：正方體中，證：的垂線好找，在 中發(fā)現(xiàn)一線 a的垂直關(guān)系多，一般會(huì) 平面 ACD1 平面 BDD1.此時(shí) a發(fā)現(xiàn) a ，但 a思路二、 則 a ma, 可平移直線 a到平面 （即在平面，又 m內(nèi)，找一線 m,使 a m平面 ABC ，進(jìn)一步得到 GH / 平面 ABC. a ,b線面垂直 ： a b O l ；l a,l b一般，l a易證（此時(shí) l與a常是共面直線，特殊圖形（

26、如等腰三角形三線合一、菱形對(duì)角線垂直） 線段長(zhǎng)度已知時(shí)，用勾股定理或證明正切值互為倒數(shù)，從而兩角和為900.的垂面 好找 ，面面垂直找交線，垂思路二、看平面 與 誰的垂面好找，一般水平面或豎直面的垂面好找，如直交線垂直面。 若 =m,在平面 內(nèi)，找或做交線 m的垂線 a，即a,下走思路一或思路二am例：如圖，已知 AB 平面 ACD，DE/AB， ACD是正三角形， AD DE 2AB, 且 F 是 CD的中點(diǎn) . （I ）求證： AF/ 平面 BCE；（ II ）求證：平面 BCE . 平面 CDE .（ 19） 解：（）取 CE 中點(diǎn) P ，連結(jié) FP、BP ， 11 F 為 CD 的中點(diǎn)

27、， FP DE ，且 FP= DE.又 AB DE ，且 ABDE. AB FP ，且 AB=FP ，22四邊形 ABPF 為平行四邊形， AF /BP 又 AF 平面 BCE ， BP 平面 BCE ， AF 平面 BCE.（） ACD 為正三角形， AF CD , AB 平面 ACD ， DE / AB , DE 平面 ACD , 又 AF 平面 ACD , DE AF . 又 AF CD ， CD DE D, AF 平面 DCE . 又 BP AF BP 平面 DCE .又 BP 平面 BCE , 平面 BCE 平面 CDE .體積：用三棱錐換頂點(diǎn)： VA BCD VB ACD VC A

28、BD VD ACB若這 4 個(gè)點(diǎn)部無法解決時(shí)，可找外援發(fā)現(xiàn)點(diǎn) A l, 而l對(duì)任意的點(diǎn) P l,VA BCD VP BCD例：正方體中，三棱錐 D1 EDF 的體積為解析】法一：因?yàn)?E 點(diǎn)在線段 AA1 上，所以S DED111213 法二：使用特殊點(diǎn)的位置進(jìn)行求解，1 1 1VD1 EDF VD1 ADC S ADC DD111 1 3 3 2的距離為 1, 即 h 1，所以 VD1 EDF VF DED11 ，又因?yàn)?1132 般 性 令 E 1 1 1 。6S DED1不失F 點(diǎn)在線段 B1C 上，所以點(diǎn) F 到平面 DED11.6.在 A 點(diǎn) 處 ，折疊問題：注折疊前后，始終在同一個(gè)

29、半平面的，關(guān)系不變。注意找折疊前后，與折線垂直的線。練習(xí)1、如圖， ABCD是正方形， O是正方形的中心， PO 底面 ABCD，E 是 PC的中點(diǎn)。 求證：（1）PA平面 BDE ；（2）BD 平面 PAC2 已知如圖幾何體，正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直 , AF 2AB 2AD, M 為 AF 的中 點(diǎn), BN CE 。求證 : CF / 平面 BDM ；3、如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB AC 5，D，E 分別為 BC， BB1 的中點(diǎn)， BB1 的中點(diǎn)，四邊形 B1BCC1 是邊 長(zhǎng)為 6 的正方形 .（1）求證： A1B/ 平面 AC1D

30、；（2）求證： CE 平面 AC1D ；4、已知直三棱柱 ABC A1B1C1中， AB 5,AC 4,BC 3， AA1 4 ，點(diǎn) D在 AB上（ 1）若 D是 AB中點(diǎn)，求證： AC1 平面 B1CD ;A1DB1CDB第 4 題圖6、（ 2008）如圖，在四棱錐O ABCD 中，底面 ABCD 四邊長(zhǎng)為 1 的菱形， ABC , OA 底面 ABCD , 4OA 2, M 為 OA 的中點(diǎn)，N 為 BC 的中點(diǎn)。證明：直線 MN平面 OCD8、如圖，正方體 ABCDBD1D ；（ 3）求三棱錐 B-ACB1體積A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為 a （ 1）求證：直線 A1B/ 平面ACD1 （ 2）求證：平面ACD1平面9 四棱錐 S ABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形，側(cè)面 SBC 底面 ABCD 已知 ABC 45 ， AB 2 ， BC 2 2 ， SA SB 3 （）證明 SA BC ；10 （） 如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 A1BC 側(cè)面 A1ABB1. 求證： AB BC;證明：如右圖，過點(diǎn) A在平面 A1ABB1作 ADA1B于 D，則由平面 A1BC側(cè)面 A1ABB1, 且平面 A1BC側(cè)面 A1ABB1A1B，得 AD平面 A1BC.又 BC平面 A1BC所以 ADBC. 因?yàn)槿庵?ABCA1B1C1是直三棱柱 , 則 AA1